Số phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
(1) Phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đều biến đường thẳng thành đường thẳng song song, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
(2) Tứ giác $ABCD$ là hình thang cân đáy $AD//BC$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên $AB$ và $CD$. Khi đó, đường thẳng $MN$ là trục đối xứng của $ABCD$.
(3) Cho đường thẳng $d: y=-x$. Ảnh của đường tròn $(C) :(x-5)^{2}+(y-3)^{2}=7$ qua phép đối xứng trục $d$ là $\left(C^{\prime}\right) :(x-5)^{2}+(y+3)^{2}=7$
(4) Ảnh của đường phân giác ứng với góc phần tư thứ nhất qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường thẳng $d$ có phương trình $y=-x$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đường thẳng đối xứng qua đường thẳng $d$ không song song. Suy ra (1) sai
Xét 2: $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên $AB$ và $CD$. nên $MN$ là đường trung bình của hình thang chứ không phải trục đối xứng. Suy ra (2) sai
Xét (3): Đường tròn $(C)$ có tân $I(5 ; 3)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$, đường tròn $(C\')$ có tâm $I^{\prime}(5 ;-3)$ bán kính $R^{\prime}=\sqrt{7}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $II\'$ $\Rightarrow H(5 ; 0) \notin(y=-x) \Rightarrow$ (3) sai
Xét (4): Đường phân giác ứng với góc phần tư thứ nhất có phương trình $y=x$ có ảnh qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường phân giác của góc phần tư thứ $II$ có phương trình: $y=-x$. Suy ra (4) đúng
Đáp án: A
Cho $x,y$ thỏa mãn $x-2 y+2=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\sqrt{(x-3)^{2}+(y-5)^{2}}+\sqrt{(x-5)^{2}+(y-7)^{2}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M(x;y)$ thỏa mãn $x-2 y+2=0 \Rightarrow M$ thuộc đường thẳng $x-2 y+2=0(d)$
Gọi $A(3 ; 5) ; B(5 ; 7) \Rightarrow T=M A+M B$
Ta cần tìm điểm $M \in d$ sao cho $M A+M B$ nhỏ nhất
Dễ thấy $A, B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$
Gọi $A\'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$ ta có: $M A=M A^{\prime}$
$\Rightarrow M A+M B=M A^{\prime}+M B \geq A^{\prime} B$
$\Rightarrow M A+M B$ Nhỏ nhất $\Leftrightarrow M, A^{\prime}, B$ thẳng hàng hay $M=A^{\prime} B \cap d$
Đường thẳng $AA\'$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ nên có phương trình $2 x+y-11=0\left(d^{\prime}\right)$
Gọi $H=d \cap d^{\prime} \Rightarrow$ tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{array}{l}{x-2 y+2=0} \\ {2 x+y-11=0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=4} \\ {y=3}\end{array} \Rightarrow H(4 ; 3)\right.\right.$l à trung điểm của $A A^{\prime} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x_{A^{\prime}}=2 x_{H}-x_{A}=5} \\ {y_{A^{\prime}}=2 y_{H}-y_{H}=1}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(5 ; 1)\right.$
Phương trình đường thẳng $A\'B$ là: $ x=5$
$\Rightarrow M A+M B$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M=A^{\prime} B \cap d \Rightarrow$ tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}{x-2 y+2=0} \\ {x=5}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=5} \\ {y=\dfrac{7}{2}}\end{array} \Rightarrow M\left(5 ; \dfrac{7}{2}\right) \Rightarrow T_{\min }=6\right.\right.$
Đáp án: A
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $d$ có phương trình $x-y+1=0$ và hai điểm $A(3 ; 1) ; B(7 ; 5)$. Tìm điểm $M$ thuộc $d$ sao cho $M A+M B$ nhỏ nhất?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta dễ dàng kiểm tra được $A,B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$
Gọi $A\'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$, ta có: $M A=M A^{\prime}$
$\Rightarrow M A+M B=M A^{\prime}+M B \geq A^{\prime} B$
$\Rightarrow M A+M B$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M, A^{\prime}, B$ thẳng hàng hay $M=A^{\prime} B \cap d$
Đường thẳng $AA\'$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ nên có phương trình $x+y-4=0 \quad\left(d^{\prime}\right)$
Gọi $H=d \cap d^{\prime} \Rightarrow$ tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ
$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0} \\ {x+y-4=0}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{3}{2}} \\ {y=\dfrac{5}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)\right.\right.$ là trung điểm của $A A^{\prime} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x_{A^{\prime}}=2 x_{H}-x_{A}=0} \\ {y_{A^{\prime}}=2 y_{H}-y_{H}=4}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}(0 ; 4)\right.$
Phương trình đường thẳng $A\'B$ là:
$\displaystyle\frac{x-0}{7-0}=\frac{y-4}{5-4} \Leftrightarrow \frac{x}{7}=y-4 \Leftrightarrow x-7 y+28=0$
$\Rightarrow M A+M B$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M=A^{\prime} B \cap d \Rightarrow$ Tọa độ điểm là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0} \\ {x-7 y+28=0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r}{x=\dfrac{7}{2}} \\ {y=\dfrac{9}{2}}\end{array} \Rightarrow M\left(\dfrac{7}{2} ; \dfrac{9}{2}\right)\right.\right.$
Đáp án: C
Cho hai điểm $B$ và $C$ cố định trên đường tròn $(O;R)$. Điểm $A$ thay đổi trên $(O;R)$. Gọi $H$ là trục tâm của $\Delta ABC$ và $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua đường thẳng $BC$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm $H$ qua một cạnh của nó nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh
Kẻ các đường cao $A M, B N, C P$ và gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$.
Ta có tứ giác $ANHP$ là một tứ giác nội tiếp suy ra:
$\widehat{P A N}+\widehat{P H N}=180^{\circ}$ hay $\widehat{B A C}+\widehat{B H C}=180^{\circ}$
Mặt khắc, có $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$ nên $\widehat{B D C}=\widehat{B H C}$
Do đó $\widehat{B A C}+\widehat{B D C}=180^{\circ}$
Suy ra $D$ nằm trên đường tròn $(O)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$.
Đáp án: D
Cho tam giác $ABC$ có $A$ là góc nhọn và các đường cao là $A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $H’$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$. Tứ giác nào sau đây là tứ giác nội tiếp?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $H’$ đối xứng với $H$ qua $BC$ suy ra $\widehat{B H C}=\widehat{B H^{\prime} C}$
Mặt khác $\widehat{B H C}=\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}$ (hai góc đối đỉnh).
Suy ra $\widehat{B H^{\prime} C}=\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}$ (1)
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{B B^{\prime} \perp A C} \\ {C C^{\prime} \perp A B}\end{array} \Rightarrow \widehat{A C^{\prime} H}=\widehat{A B^{\prime} H}=90^{0}\right.$
Tứ giác $A B^{\prime} H C^{\prime}$ là tứ giác nội tiếp
Suy ra $\widehat{B^{\prime} A C^{\prime}}+\widehat{B^{\prime} H C^{\prime}}=180^{0}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{B H^{\prime} C}+\widehat{B A C}=180^{0}$
Vậy tứ giác$A B H^{\prime} C$ là tứ giác nội tiếp.
Đáp án: B
Cho điểm $A(2;1)$. Tìm điểm $B$ trên trục hoành và điểm $C$ trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất để chu vi tam giác $ABC$ nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là điểm đối xứng với $A$ qua trục $Ox$ và đường thẳng $y=x$ ta có: $A B=B B^{\prime}, A C=C C^{\prime}$
$C=A B+B C+C A=B^{\prime} B+B C+C C^{\prime} \geq B^{\prime} C^{\prime}$
$ \Rightarrow C_{\min }=B^{\prime} C^{\prime} \Leftrightarrow B=O x \cap B^{\prime} C^{\prime}, C=(y=x) \cap B^{\prime} C^{\prime}$
Dễ thấy $B^{\prime}(2 ;-1)$
$AC’$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $y=x$ nên có phương trình $x+y-3=0$
Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $y=x$ và $x+y-3=0 \Rightarrow H\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{3}{2}\right)$ là trung điểm của $A C^{\prime} \Rightarrow C^{\prime}(1 ; 2)$
Chi vi tam giác $ABC$ là:
$\begin{array}{l}{C=A B+B C+C A=B^{\prime} B+B C+C C^{\prime} \geq B^{\prime} C^{\prime}} \\ {\Rightarrow C_{\min }=B^{\prime} C^{\prime} \Leftrightarrow B=O x \cap B^{\prime} C^{\prime}, C=(y=x) \cap B^{\prime} C^{\prime}}\end{array}$
Phương trình $B’C’$
$\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{x-2}{1-2}=\frac{y+1}{2+1} \Leftrightarrow-x+2=\frac{y+1}{3} \Leftrightarrow-3 x+6=y+1 \Leftrightarrow 3 x+y-5=0} \\ {\Rightarrow B\left(\dfrac{5}{3} ; 0\right), C\left(\dfrac{5}{4} ; \dfrac{5}{4}\right)}\end{array}$
Đáp án: B
Cho hàm số $(C) : y=|x|$. Giả sử $(C’)$ đối xứng với $(C)$ qua đường thẳng $x=1$. Khi đó hàm số có đồ thị $(C’)$ có dạng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $d_{1}$là đường thẳng của hàm số $(C) : y=|x|$
$d_{1} \cap(x=1)=A(1 ; 1)$
Lấy $B(2 ; 2) \in d_{1} \Rightarrow$ đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $x=1$ có phương trình $y=2$.
Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $x=1$ và $y=2\Rightarrow H(1 ; 2)$.
Gọi $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $x=1\Rightarrow H$ là trung điểm của $B B^{\prime} \Rightarrow B^{\prime}(0 ; 2)$
Suy ra phương trình đường thẳng $AB’$ là: $\dfrac{x-1}{0-1}=\dfrac{y-1}{2-1} \Leftrightarrow-x+1=y-1 \Leftrightarrow x+y=2$
$\Rightarrow x+y=2$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $y=x$ qua đường thẳng $x=1$.
$d_{2} \cap(x=1)=C(1 ;-1)$
Lấy $D(0 ; 0) \in d_{2} \Rightarrow$ đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với đường thẳng $x=1$ có phương trình $y=0$.
Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $x=1$ và $y=0\Rightarrow K(1 ; 0)$
Gọi $D’$ là điểm đối xứng với $D$ qua đường thẳng $x=1$ suy ra $K$l là trung điểm của $DD’\Rightarrow D^{\prime}(2 ; 0)$
phương trình đường thẳng $C D^{\prime}$ là: $\dfrac{x-1}{2-1}=\dfrac{y+1}{0+1} \Leftrightarrow x-1=y+1 \Leftrightarrow x-y=2$
$\Rightarrow x-y=2$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $y=-x$ qua đường thẳng $x=1$.
$\Rightarrow\left(C^{\prime}\right) :\left[\begin{array}{l}{x+y=2} \\ {x-y=2}\end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}{y=-x+2} \\ {y=x-2}\end{array} \Leftrightarrow y=|x-2|\right.\right.$
Đáp án: D
Trên tia phân giác ngoài $Cx$ của góc $C$ của tam giác $ABC$ lây điểm $M$ không trùng với $C$, Tìm mệnh đề đúng nhất?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Lấy $A\'$ đối xứng với $A$ qua $Cx$ ta có:
$\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{M A=M A^{\prime}} \\ {C A=C A^{\prime}}\end{array} \Rightarrow M A+M B=M A^{\prime}+M B\right.} \ {>A^{\prime} B=C A^{\prime}+C B=C A+C B}\end{array}$
Đáp án: A
Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$, một đường thẳng $c$ vuông góc với chúng.
Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ và $c$ thành chính nó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để biến đường thẳng $c$ thành chính nó thì trục đối xứng có dạng trùng với $c$ hoặc vuông góc với $c$.
TH1: Trục đối xứng trùng với $c$ suy ra trục đối xứng vuông góc với $a$ và $b$ .
Suy ra trục đối xứng biến $a$ và $b$ thành chính nó. Do đó trường hợp này không thỏa mãn.
TH2: Trục đối xứng vuông góc với $c$, tức là trục đối xứng song song (hoặc trùng) với $a$ và $b$. Khi đó, đề trục đối xứng biến $a$ thành $b$ thì trục đối xứng phải cách đều $a$ và $b$.
Do đó trường họp này có 1 trục đối xứng thỏa mãn,
Đáp án: B
Với mọi tứ giác $ABCD$, kí hiệu $S$ là diện tích của tứ giác $ABCD$. Chọn mệnh đề đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $d$ là đường trung trực của cạnh đoạn thẳng $AC$.
Lấy $D\'$ đối xứng với $D$ uqa đường thẳng $d \Rightarrow A D=C D^{\prime} ; A D^{\prime}=C D$
$\Rightarrow S=S_{A B C D^{\prime}}=S_{A B D^{\prime}}+S_{B C D^{\prime}}$
Ta có
$\begin{array}{l}{S_{A B D^{\prime}}=\displaystyle\frac{1}{2} A B \cdot A D^{\prime} \cdot \sin \widehat{B A D^{\prime}} \leq \frac{1}{2} A B \cdot A D^{\prime}=\frac{1}{2} A B \cdot C D} \\ {S_{B C D^{\prime}}=\displaystyle\frac{1}{2} B C \cdot C D^{\prime} \cdot \sin \widehat{B C D^{\prime}} \leq \frac{1}{2} B C \cdot C D^{\prime}=\frac{1}{2} B C \cdot A D} \\ {\Rightarrow S \leq \dfrac{1}{2}(A B . C D+B C . A D)}\end{array}$
Đáp án: B