Trong các hình dưới đây, hình nào có nhiều trục đối xứng nhất?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đoạn thăng có 1 trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng.
Đường tròn có vô số trục đói xứng là các đường thẳng đi qua tâm.
Tam giác đều có 3 trục đối xứng là các đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.
Hình vuông có 4 trục đối xứng
Vậy hình tròn có nhiều trục đối xứng nhất
Đáp án: B
HÌnh nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình thoi có 2 trục đối xứng (hai đường chéo).
Hình vuông có 4 trục đối xứng (hai đường chéo và hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối)
Elip có hai trục đối xứng (hai trục của elip)
Hình thang cân có 1 trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của 2 đáy
Đáp án: B
Cho điểm $N(-2 ; 3)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điểm $M(-2 ;-3)$ là ảnh đối xứng của điểm $N$ qua phép đối xứng trục $Ox$.
Đáp án: B
Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hình gồm 2 đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có trục đối xứng duy nhất là đường thẳng nối tâm của 2 đường tròn đó.
Đáp án: B
Trong mặt phẳng $Oxy $ cho tam giác $ABC $ với $A(1 ; 3), B(2 ;-4), C(3 ;-2)$ và điểm $G$ là trọng tân tan giác $ABC$. Ảnh $G’$ của $G$ qua phép đối xứng trục $Ox$ có tọa độ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{\begin{array}{l}{x_{G}=\displaystyle\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}=\frac{1+2+3}{3}=2} \\ {y_{G}=\displaystyle\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}=\frac{3-4-2}{3}=-1}\end{array} \Rightarrow G(2 ;-1) \Rightarrow G^{\prime}(2 ; 1)\right.$
Đáp án: B
Khẳng định nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép đối xứng trục không bảo toàn hướng của vecto
Đấp án: A
Ảnh $A’$ của $A(4 ;-3)$ qua phép đối xứng trục $d$ với $d : 2 x-y=0$ có tọa độ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A’$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $d$. Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$, khi đó phương trình $d’$ có dạng: $x+2 y+c=0$.
Vì $A \in d^{\prime}$ nên $4+2(-3)+c=0 \Rightarrow c=2$. Khi đó $\left(d^{\prime}\right) : x+2 y+2=0$
Gọi $H=d \cap d^{\prime} \Rightarrow H\left(-\dfrac{2}{5} ;-\dfrac{4}{5}\right) \Rightarrow H$ là trung điểm của $AA’$. khi đó
$\left\{\begin{array}{l}{x_{A^{\prime}}=2 x_{H}-x_{A}} \\ {y_{A^{\prime}}=2 y_{H}-y_{A}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x_{A^{\prime}}=2 \cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)-4=-\dfrac{24}{5}} \\ {y_{A^{\prime}}=2\left(-\dfrac{4}{5}\right)+3=\dfrac{7}{5}}\end{array} \Rightarrow A^{\prime}\left(-\dfrac{24}{5} ; \dfrac{7}{5}\right)\right.\right.$
Đáp án: B
Mệnh đề nào sau đây là sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trường hợp đường thẳng không song song hoặc không trùng với trục đối xứng thì ảnh của nó sẽ cắt đường thẳng đã cho.
Đáp án B
Trong mặt phẳng cho điểm $M(2;3)$. Hỏi trong 4 điểm sau điểm nào là ảnh của $M$ qua phép đối xứng đường thẳng: $d : x-y=0 $?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nhận xét: Đường thẳng $d : x-y=0 \Leftrightarrow d : y=x$ là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục đường phân giác: $y=x$ là
Gọi $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)=D_{d}[M(x ; y)]$ thì $\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=y} \\ {y^{\prime}=x}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=3} \\ {y^{\prime}=2}\end{array}\right.\right.$
Đáp án: A
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho parabol $(P) : y=4 x^{2}-7 x+3$. Phép đối xứng trục $Oy$ biến $(P)$ thành $(P’)$ có phương trình:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phép đối xứng trục $Oy$ có $\left\{\begin{array}{l}{x=-x^{\prime}} \\ {y=y^{\prime}}\end{array}\right.$
Thay vào phương trình $(P)$ ta có: $y=4(-x)^{2}-7(-x)+3=4 x^{2}+7 x+3$
Đáp án: B
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường tròn $(C) :(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4$ và $\left(C^{\prime}\right) :(x-3)^{2}+y^{2}=4$. Viết phương trình trục đối xứng của $(C)$ và $(C’)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1 ; 2)$ đường tròn $(C’)$ có tâm $I^{\prime}(3 ; 0)$
Gọi $H$ là trung điểm của $II’$ ta có $H(2;1)$
Trục đối xứng của hai đường tròn là đường thẳng đi qua $H$ và nhận $\overrightarrow{I I^{\prime}}=(2 ;-2)=2(1 ;-1)$ là 1 VTPT. Suy ra trục đối xứng của hai đường tròn đã cho có phương trình $1(x-2)-1(y-1)=0\Leftrightarrow x-2-y+1=0 \Leftrightarrow y=x-1$
Đáp án: B
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left(C\right) : x^{2}+y^{2}-10 x-2 y+23=0$ và đường thẳng $d : x-y+2=0$, phương trình đường tròn $(C’)$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép đối xứng trục $d$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường ròn $(C)$ có tâm $I(5 ; 1)$ bán kính $R=\sqrt{25+1-23}=\sqrt{3}$.
Ảnh của $(C)$ qua phép đối xứng trục $d$ là đường tròn có tâm là ảnh của $I$ qua phép đối xứng trục $d$ và có bán kính bằng $\sqrt{3}$.
Gọi $I’$ là ảnh của $I$ qua phép đối xứng trục $d$. Gọi $d’$ là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với $d$ ta có phương trình $d’$ có dạng: $x+y+c=0$.
$I \in d^{\prime} \Rightarrow 5+1+c=0 \Rightarrow c=-6 \Rightarrow\left(d^{\prime}\right) : x+y-6=0$
Gọi $H=d \cap d^{\prime} \Rightarrow H(2 ; 4)$ là trung điểm của $II’$, ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{x_{I^{\prime}}=2 x_{H}-x_{I}} \\ {y_{I^{\prime}}=2 y_{H}-y_{I}}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x_{I^{\prime}}=2.2-5=-1} \\ {y_{I^{\prime}}=2.4-1=7}\end{array} \Rightarrow I^{\prime}(-1 ; 7)\right.\right.$
Vậy phương trình đường tròn $(C’)$ là: $(x+1)^{2}+(y-7)^{2}=3\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2 x-14 y+47=0$
Đáp án: B
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $(C) :(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4$. Phép đối xứng trục $Ox$ biến đường tròn $(C)$ thành đường tròn $(C’)$ có phương trình là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đương tròn $(C)$ có tâm $I(1 ;-2)$ và bán kính $R=2$.
Ta có $I(1 ;-2) \Rightarrow I^{\prime}(1 ; 2)$ đối xứng với $I$ qua $Ox$ và $R=2 \Rightarrow R^{\prime}=R=2$.
Do đó $(C’)$ có phương trình $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4$
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $(C) :(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=1$ và đường thẳng $d: y-x=0$. Phép đối xứng trục $d$ biến đường tròn $(C)$ thành đường tròn $(C’)$ có phương trình là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $d : y-x=0$ (đường phân giác goc phần tư thứ nhất) là: $\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=y} \\ {y^{\prime}=x}\end{array}\right.$
Thay vào $(C)$ ta được $\left(y^{\prime}+1\right)^{2}+\left(x^{\prime}-4\right)^{2}=1$ hay $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=1$
Đáp án: B
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $a$ là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta xét đường thẳng $\Delta : 3 x-4 y+5=0$. Phép đối xứng trục $D_{a}$ biến đường thẳng $\Delta$ thành đường thẳng $\Delta\'$ có phương trình là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng $D_{a}$ là: $\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=y} \\ {y^{\prime}=x}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=y^{\prime}} \\ {y=x^{\prime}}\end{array}\right.\right.$.
Thay vào $\Delta$ ta được: $3 y^{\prime}-4 x^{\prime}+5=0$ hay $4 x^{\prime}-3 y^{\prime}-5=0$
Đáp án: A
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại điểm $O$. Nhận định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $p$ và $q$ là phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng $a$ và $b$. Ta thấy ngay có hai phép đối xứng trục biến $a$ thành $b$ là các phép đối xứng trục $D_{p}$ và $D_{q}$
Đáp án: C
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d : x+y-2=0$. Ảnh của đường thẳng $d$ qua phép đối xứng trục $Ox$ có phương trình là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trục $Ox$ có phương trình $y=0$
Tọa độ giao điểm $A$ của $d$ và $Ox$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0} \\ {y=0}\end{array} \Rightarrow A(2 ; 0)\right.$
Vì $A \in O x$ nên qua phép đối xứng trục $Ox$ biến thành chính nó, tức là $A^{\prime} \equiv A(2 ; 0)$
Chọn điểm $B(1 ; 1) \in d \Rightarrow B^{\prime}(1 ;-1)$ là ảnh của $B$ qua phép đối xứng trục $Ox$
Vậy đường thẳng $d\'$ là ảnh của $d$ qua phép đối xứng trục $Ox$ đi qua hai điểm $A^{\prime}(2 ; 0) $ và $B^{\prime}(1 ;-1)$ nên có phương trình $x-y-2=0$
Đáp án: A
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
- Xét từng phương án
- Chỉ ra các trục đối xứng của hình nếu có
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương án A. Tam giác đều chỉ có ba trục đối xứng là ba đường trung tuyến
Phương án B. Đường thẳng cũng có vô số trục đối xứng ( là đường thẳng bất kì vuông góc với đường thẳng đã cho)
Phương án C. Hình gồm hai đường thẳng vuông góc có 4 trục đối xứng ( là chính hai đường thẳng đó và hai đường phân giác của góc tạo hai đường thẳng đó)
Suy ra Đáp án D
Trong mặt phẳng, hình nào sau đây có trục đối xứng ?
- Xét từng phương án
- Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình có trục đối xứng để xác định
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có tam giác cân có đường cao ứng từ đỉnh xuống đáy là trục đối xứng của hình
Đáp án D
Trong mặt phẳng, cho hình thang cân ABCD có AD=BC. Tìm mệnh đề đúng:
Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của cả 2 đáy
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hình thang cân ABCD có AD=BC nên trục đối xứng là đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và CD.
Suy ra đường thẳng d là trục đối xứng biến DA thành CB nên DA=CB