Tính tổng $S=C_{100}^{0}-5 C_{100}^{1}+5^{2} C_{100}^{2}-\ldots+5^{100} C_{100}^{100}$
Sử dụng khai triển $(a+b)^{n}$ và thay $a,b$ bởi các giá trị thích hợp tính tổng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nhận thấy $(-5)^{k} C_{100}^{k}$ là hệ số của $x^k$ trong khai triển $(1-5 x)^{100}$
Xét $P(x)=(1-5 x)^{100}$ , theo khai triển nhị thức Newton, ta có:
$P(x)=(1-5 x)^{100}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1} 5 x+C_{100}^{2}(5 x)^{2}-\ldots+C_{100}^{100}(5 x)^{100}$
Thay $x=1$ vào ta được:
$P(x)=(4)^{100}=C_{100}^{0}-C_{100}^{1} 5+C_{100}^{2} 5^{2}-\ldots+C_{100}^{100} 5^{100}$
Cho khai triển nhị thức:
$\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}+2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{n}=C_{n}^{0}\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}\right)^{n}+C_{n}^{1}\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}\right)^{n-1} \cdot\left(2^{-\dfrac{x}{3}}\right)+\ldots+C_{n}^{n-1}\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}\right) \cdot\left(2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{n-1}+C_{n}^{n}\left(2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{n}$
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó $C_{n}^{3}=5 C_{n}^{1}$ và số hạng thứ tư bằng $20n$ . Tổng n và x
Giải phương trình tìm n sau đó dùng khai triển nhị thức Newton tìm ra x
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $n \in \mathbb{N} , n \geq 3$
Ta có
$\begin{aligned} C_{n}^{3}=5 C_{n}^{1} & \Leftrightarrow \dfrac{n !}{3 !(n-3) !}=5 \dfrac{n !}{(n-1) !} \\ & \Leftrightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6}=5 n \Leftrightarrow n^{2}-3 n-28=0 \\ & \Leftrightarrow n=7(\text { t/m }) \vee n=-4(\text { L }) \end{aligned}$
Với $n=7$ ta có $\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}+2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{7}=\sum\limits_{k=0}^{7} C_{7}^{k}\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}\right)^{7-k}\left(2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{7}$
Vậy số hạng thứ tư trong khai triển trên là $C_{7}^{3}\left(x^{\dfrac{x-1}{2}}\right)^{4}\left(2^{-\dfrac{x}{3}}\right)^{3}=35.2^{2 x-2} \cdot 2^{-x}$
Kết hợp với giả thiết ta được $35.2^{2 x-2} \cdot 2^{-x}=140 \Leftrightarrow 2^{x-2}=4 \Leftrightarrow x = 4$
Vậy tổng giá trị của n và x là 11
Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển nhị thức Newton
$\left(x^{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k}(-1)^{k}\left(x^{2}\right)^{n-k} \cdot\left(\dfrac{2}{x}\right)^{k}$ bằng 49. Khi đó tính hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển đó?
Sử dụng công thức khai triển $(a+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}$ để tìm n sau đó tìm hệ số của số hạng cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {( - 1)^k}{\left( {{x^2}} \right)^{n - k}} \cdot {\left( {\dfrac{2}{x}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_6^k} {( - 1)^k} \cdot {2^k}{x^{2n - 3k}}$
Tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển bằng 49 nên $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{0}-2 \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{1}+2^{2} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{2}=49(*)$
Điều kiện $\mathbb{n} \in \mathbb{N}^{*}, \mathbb{n} \geq 2$
Khi đó $\left(^{*}\right) \Leftrightarrow 1-2 n+2^{2} \cdot \dfrac{n(n-1)}{2}=49 \Leftrightarrow 2 n^{2}-4 n-48=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=-4(L)} \\ {n=6(N)}\end{array}\right.$
Với $n=6$ ta có nhị thức $\left(x^{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{6}$
Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{6}^{k}(-1)^{k} \cdot 2^{k} x^{12-3 k}(k \in \mathbb{N}, 0 \leq k \leq 6)$
Số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=3$
Vậy hệ số của số hạng chứa $x^3$ trong khai triển là $C_{6}^{3}(-1)^{3} \cdot 2^{3}=-160$
Gọi ${a}_{2018}$ là hệ số của số hạng chứa $x^{2018}$ trong khai triển nhị thức Newton $(x-\sqrt{x})^{n}$ với $x \geq 0 ; n$ là số nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{1}{2 ! 2017 !}+\dfrac{1}{4 ! .2015 !}+\dfrac{1}{6 ! .2013 !}+\ldots+\dfrac{1}{2016 ! .3 !}+\dfrac{1}{2018 !}=\dfrac{2^{2018}-1}{P_{n}}$ . Tìm $a_{2018}$
- Ta thấy mỗi thành phần của tổng có dạng tổng quát là $\dfrac{1}{{k!\left( {2019 - k} \right)!}} = \dfrac{{C_{2019}^k}}{{2019!}}$
- Sử dụng khai triển nhị thức newton để tìm hệ số của số hạng cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết ta có $\dfrac{1}{2019 !}\left(C_{2019}^{2}+C_{2019}^{4}+C_{2019}^{6}+\ldots+C_{20 i 9}^{2016}+C_{2019}^{2019}\right)=\dfrac{2^{2018}-1}{n !}\left(^{*}\right)$
Ta lại có
$\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{2^{2019}} = {\rm{C}}_{2019}^0 + {\rm{C}}_{2019}^1 + {\rm{C}}_{2019}^2 + \ldots + {\rm{C}}_{2019}^{2019} + {\rm{C}}_{2019}^{2019}}\\ {{0^{2019}} = {\rm{C}}_{2019}^0 - {\rm{C}}_{2019}^1 + {\rm{C}}_{2019}^2 - \ldots + {\rm{C}}_{2019}^{2018} - {\rm{C}}_{2019}^{2019}} \end{array} \Rightarrow 2{\rm{C}}_{2019}^0 + 2{\rm{C}}_{2019}^2 + \ldots + 2{\rm{C}}_{2019}^{2018} = {2^{2019}}} \right.\\ \Rightarrow C_{2019}^2 + C_{2019}^4 + \ldots + C_{2019}^{2018} = \dfrac{{{2^{2019}} - 2}}{2} = {2^{2018}} - 1\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{2018}} - 1}}{{2019!}} = \dfrac{{{2^{2018}} - 1}}{{n!}} \Rightarrow n = 2019 \Rightarrow {(x - \sqrt x )^n} = {(x - \sqrt x )^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k} {x^{2019 - k}}{( - \sqrt x )^k} \end{array}$
Số hạng tổng quát của khai triển là ${\left( { - 1} \right)^k}C_{2019}^k{x^{2019 - k}}.{x^{\dfrac{k}{2}}}$
$\Rightarrow x^{2018}=x^{2019-k} \cdot x^{\dfrac{k}{2}} \Leftrightarrow 2018=2019-k+\dfrac{k}{2} \Leftrightarrow k=2$
Vậy $a_{2018}=(-1)^{2} C_{2019}^{2}=C_{2019}^{2}$
Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5^{n} C_{n}^{0}-5^{n-1} C_{n}^{1}+5^{n-2} C_{n}^{2}-\ldots+(-1)^{n} C_{n}^{n}=1024$ . Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(3-x)^{n}$
- Sử dụng công thức ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $ chọn a,b thích hợp để tìm n sau đó xác định hệ số của số hạng cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $5^{n} C_{n}^{0}-5^{n-1} C_{n}^{1}+5^{n-2} C_{n}^{2}-\ldots+(-1)^{n} C_{n}^{n}=1024 \Leftrightarrow(5-1)^{n}=1024$
$\Leftrightarrow 2^{2 n}=2^{10} \Leftrightarrow n=5$
Với $n=5$ ta có ${{{(3 - x)}^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {3^{5 - k}} \cdot {{( - x)}^k} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} \cdot {3^{5 - k}} \cdot {{( - 1)}^k}{x^k}}$
Vậy hệ số của $x^5$ là $C_{s}^{3} \cdot 3^{2} \cdot(-1)^{3}=-90$
Cho n là số nguyên dươn thỏa mãn điều kiện $6 . C_{n+1}^{n-1}=A_{n}^{2}+160$ . Tìm hệ số của $x^7$ trong khai triển $\left(1-2 x^{3}\right)(2+x)^{n}$
- Sử dụng các công thức tổ hợp và chỉnh hợp để tìm n
- Sử dụng công thức khai triển ${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} $ để tìm hệ số của số hạng cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $n \geq 2$
Từ giả thiết ta có
$\begin{array}{l}{6 . C_{n+1}^{n-1}=A_{n}^{2}+160 \Leftrightarrow 6 \cdot \dfrac{(n+1) !}{(n-1) ! .2 !}=\dfrac{n !}{(n-2) !}+160} \\ {\Leftrightarrow 3 n(n+1)=n(n-1)+160} \\ {\Leftrightarrow 2 n^{2}+4 n-160=0 \Leftrightarrow n=8}\end{array}$
Khi đó ta được khai triển $\left(1-2 x^{3}\right)(2+x)^{8}=(2+x)^{8}-2 x^{3}(2+x)^{8}$
Theo khai triển nhị thức Newton ta có $(2+x)^{8}=\sum_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{k}$
Số hạng chứa $x^7$ ứng với $k=7$
Hệ số của $x^7$ trong khai triển $(2+x)^8$ là $2.C_8^7$
$x^{3}(2+x)^{8}=x^{3} \cdot \sum\limits_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{k}=\sum\limits_{k=0}^{8} C_{8}^{k} \cdot 2^{8-k} \cdot x^{k+3}$
Số hạng chứa $x^7$ ứng với $k=4$
Hệ số của $x^7$ trong khai triển $x^{3}(2+x)^{8}$ là $2^{4} \cdot C_{8}^{4}$Vậy hệ số cần tìm là $2 \cdot C_{8}^{7}-2 \cdot 2^{4} \cdot C_{8}^{4}=-2224$
Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện $720\left(C_{7}^{7}+C_{8}^{7}+\ldots . C_{n}^{7}\right)=\dfrac{1}{4032} A_{n+1}^{10}$. Hệ số của $x^7$ trong khai triển $\left(x-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{n}(x \neq 0)$ bằng
- Sử dụng công thức $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ để tìm n
- Sử dụng khai triển ${(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}(0 \le k \le n;k,n \in N )$ để tìm hệ số cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Sử dụng công thức $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$ ta có
$\begin{array}{l}{C_{n+1}^{8}=C_{n}^{8}+C_{n}^{7}} \\ {C_{n}^{8}=C_{n-1}^{7}+C_{n-1}^{8}} \\ {C_{n-1}^{8}=C_{n-2}^{7}+C_{n-2}^{8}} \\ {\cdots} \\ {C_{9}^{8}=C_{8}^{8}+C_{8}^{7}} \\ {C_{8}^{8}=C_{8}^{8}}\end{array}$
Cộng vế với vế rồi rút gọn ta được $C_8^8 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8$ mà $C_8^8 = C_7^7 = 1$ nên
$C_{7}^{7}+C_{8}^{7}+\ldots+C_{n}^{7}=C_{n+1}^{8}$
Từ đó ta có $720\left(C_{7}^{7}+C_{8}^{7}+\ldots . C_{n}^{7}\right)=\dfrac{1}{4032} A_{n+1}^{10}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 720 . C_{n+1}^{8}=\dfrac{1}{4032} A_{n+1}^{10} \Rightarrow 720 \cdot \dfrac{(n+1) !}{8 !(n-7) !}=\dfrac{1}{4032} \dfrac{(n+1) !}{(n-9) !}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{1}{56} \dfrac{(n+1) !}{(n-9) !(n-8)(n-7)}=\dfrac{1}{4032} \cdot \dfrac{(n+1) !}{(n-9) !}(n>9)} \\ {\Leftrightarrow(n-7)(n-8)=72 \Leftrightarrow n^{2}-15 n+56=72} \\ {\Leftrightarrow n^{2}-15 n-16=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=-1(k t m)} \\ {n=16(t m)}\end{array}\right.}\end{array}$
Với $n=16$ ta có
${\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k} \cdot {x^{16 - k}}{\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k} \cdot {x^{16 - k}}{x^{ - 2k}}{( - 1)^k} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k} \cdot {x^{16 - 3k}}{( - 1)^k}$
Số hạng chứa $x^7$ ứng với k=3
Nên số hạng cần tìm là -560
Tính tổng $\left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\right)^{2}+\left(C_{n}^{2}\right)^{2}+\ldots+\left(C_{n}^{n}\right)^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(x+1)^{n}(1+x)^{n}=(x+1)^{2 n}$
Vế trái của hệ thức trên chính là $\left(C_{n}^{0} x^{n}+C_{n}^{1} x^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n}\right)\left(C_{n}^{0}+C_{n}^{1} x+\ldots+C_{n}^{n} x^{n}\right)$
Và ta thấy hệ số của $x^n$ trong vế trái là $\left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\right)^{2}+\left(C_{n}^{2}\right)^{2}+\ldots+\left(C_{n}^{n}\right)^{2}$
Do đó $\left(C_{n}^{0}\right)^{2}+\left(C_{n}^{1}\right)^{2}+\left(C_{n}^{2}\right)^{2}+\ldots+\left(C_{n}^{n}\right)^{2}=C_{2 n}^{n}$
Số hạng thứ 3 của khai triển $\left(2 x+\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{n}$ không chứa $x$. Tìm $x$ biết số hạng này bằng số hạng thứ hai của khai triển $\left(1+x^{3}\right)^{30}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left(2 x+\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot(2 x)^{n-k} \cdot\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{k}$
Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k=2 nên số hạng thứ ba của khai triển là$C_{n}^{2} \cdot 2^{n-2} \cdot x^{n-6}$
Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa $x$ nên $n=6$
Số hạng thứ hai của khai triển $\left(1+x^{3}\right)^{30}$ là $C_{30}^{1} \cdot x^{3}=30 x^{3}$
Khi đó ta có $C_{6}^{2} \cdot 2^{4}=30 x^{3} \Leftrightarrow x=2$
Biểu thức $\dfrac{x^{10}}{10 !}+\dfrac{x^{9}}{9 !} \cdot \dfrac{(1-x)}{1 !}+\dfrac{x^{8}}{8 !} \cdot \dfrac{(1-x)^{2}}{2 !}+\ldots+\dfrac{(1-x)^{10}}{10 !}$ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{x^{k}}{k !} \cdot \dfrac{(1-x)^{10-k}}{(10-k) !}=\dfrac{1}{10 !} \cdot \dfrac{10 !}{k !(10-k) !} x^{k} \cdot(1-x)^{10-k}=\dfrac{1}{10 !} \cdot C_{10}^{k} x^{k} \cdot(1-x)^{10-k}$ với $0 \leq k \leq 10$
Suy ra
$\begin{array}{l}{\dfrac{x^{10}}{10 !}+\dfrac{x^{9}}{9 !} \cdot \dfrac{(1-x)}{1 !}+\dfrac{x^{8}}{8 !} \cdot \dfrac{(1-x)^{2}}{2 !}+\ldots+\dfrac{(1-x)^{10}}{10 !}=\dfrac{1}{10 !} \sum\limits_{k=0}^{10} x^{k} \cdot(1-x)^{10-k}} \\ {=\dfrac{1}{10 !}(x+1-x)^{10}=\dfrac{1}{10 !}}\end{array}$