Hệ số của số hạng chứ $x^5$ trong khai triển $(x+1)^{10}$ là
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số hạng tổng quát sau khi khai triển $T_{k+1}=C_{10}^{k} x^{k}$
Số hạng chứa $x^5$ trong khai triển là $C_{10}^{5} x^{5}$. Đề bài hỏi hệ số nên đáp án là $C_{10}^5$
Trong khai triển $\left(a^{2}-\dfrac{1}{b}\right)^{7}=C_{7}^{0} a^{14}+\ldots+C_{7}^{7}\left(-\dfrac{1}{b}\right)^{7}$, số hạng thứ 5 là
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của khai triển: $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$( số hạng thứ k+1)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo công thức tổng quát ở lý thuyết thì ta có số hạng thứ 5 là $C_{7}^{4}\left(a^{2}\right)^{3}\left(-\dfrac{1}{b}\right)^{4}=35 a^{6} b^{-4}$
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển $\left(x^{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{15}$
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
${\left( {x + y} \right)^n} = \sum\limits_{i = 0}^{n} {C_n^i{x^i}{y^{n - i}}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left(x^{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{15}=\sum\limits_{k=0}^{15} C_{15}^{k}\left(x^{2}\right)^{k}\left(-2 x^{-1}\right)^{15-k}=\sum\limits_{k=0}^{15} C_{15}^{k}(-2)^{15-k} x^{3 k-15}$
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k thỏa mãn
$3 k-15=0 \Leftrightarrow k=5$
Số hạng đó là $C_{15}^{5}(-2)^{15-5}=2^{10} C_{15}^{10}$
Trong khai triển $(a+2)^{n+6} \quad(n \in \mathbb{N})$ có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng
Trong khai triển $(a+b)^n$ có tất cả $n+1$ số hạng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(n+6)+1=17 \Rightarrow n=10$
Hệ số của $x^7$ trong khai triển của $(3-x)^{9}$ là
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(3-x)^{9}=\sum\limits_{k=0}^{9} C_{9}^{k} 3^{-k} \cdot(-1)^{k} x^{k}$
Hệ số của $x^7$ trong khai triển là $C_{9}^{7} .3^{2} \cdot(-1)^{7}=-9 . C_{9}^{7}$
Trong khai triển $(a-2 b)^{8}$, hệ số của số hạng chứa $a^{4} b^4$ là
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(a-2 b)^{8}=\sum\limits_{k=0}^{8} C_{8}^{4} a^{8-k} \cdot(-2)^{k} b^{k}$
Số hạng chứa $a^4b^4$ thì $\left\{\begin{array}{l}{8-k=4} \\ {k=4}\end{array} \Leftrightarrow k=4\right.$
Vậy hệ số của số hạng chứa $a^4b^4$ là $C_{8}^{4} \cdot(-2)^{4}=1120$
Trong khai triển của nhị thức $(x-y)^{11}$, hệ số của $x^8y^3$ là
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(x-y)^{11}=\sum\limits_{k=0}^{11} C_{11}^{k} x^{11-k} \cdot(-1)^{k} \cdot y^{k}$
Với số hạng chứa $x^8y^3$ thì $k=3$
Hệ số của $x^8y^3$ là $C_{11}^{3} \cdot(-1)^{3}=-C_{11}^{3}$
Tổng $T=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+\ldots+C_{n}^{n}$ bằng
Ta thấy tổng các hệ số của khai triển $(x+1)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{k}^{n} x^{n-k}=C_{n}^{0} x^{n}+C_{n}^{1} x^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n-1} x+C_{n}^{n}$ bằng tổng cần tìm nên chọn x=1
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét khai triển $(x+1)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{k}^{n} x^{n-k}=C_{n}^{0} x^{n}+C_{n}^{1} x^{n-1}+\ldots+C_{n}^{n-1} x+C_{n}^{n}$
Thay $x=1$ vào khai triển trên ta được
$(1+1)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\ldots+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n} \Leftrightarrow C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\ldots+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=2^{n}$
Ba số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển của $(1+2 x)^{10}$ là
Sử dụng công thức khai triển $(a+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(1+2 x)^{10}=\sum\limits_{k=0}^{10} C_{20}^{k} 1^{10-k} (2x)^{k}=C_{10}^{0}+C_{10}^{1} \cdot(2 x)+C_{10}^{2} \cdot(2 x)^{2}+\cdots$
$=1+20 x+180 x^{2}+\ldots$
Vậy 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x là: $1,20 x, 180 x^{2}$
Trong khai triển $(3+0,02)^{7}$, tìm tổng số ba số hạng đầu tiên
Sử dụng công thức khai triển $(a+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(3+0,02)^{7}=C_{7}^{0} \cdot(3)^{7}+C_{7}^{1}(3)^{6}(0,02)+C_{7}^{2}(3)^{5}(0,02)^{2}+\ldots$
Tổng ba số hạng đầu tiên là $C_{7}^{0} \cdot(3)^{7}+C_{7}^{1}(3)^{6}(0,02)+C_{7}^{2}(3)^{5}(0,02)^{2}=2291,1012$
Trong khai triển $\left(3 x^{2}-y\right)^{10}$, hệ số của số hạng chính giữa là :
Sử dụng công thức khai triển $(a+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong khai triển $\left(3 x^{2}-y\right)^{10}$ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 tương ứng với $k=5$
Ta có ${\left( {3{x^2} - y} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{.3}^{10 - k}}{x^{20 - 2k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}{y^k}} $ ứng với $k = 5 \to $hệ số là $C_{10}^5{.3^5}\left( { - 1} \right)$
Biểu thức $C_{9}^{7}(5 x)^{2}\left(-6 y^{2}\right)^{7}$ là một số hạng trong khai triển nhị thúc nào dưới đây?
Trong khai triển $(x+y)^{n}$ thì mỗi số hạng tổng số mũ của x và y luôn bằng n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong khai triển $(x+y)^{n}$ thì mỗi số hạng tổng số mũ của x và y luôn bằng n
Nên hệ số của mũ ở đây là 9
Cho khai triển $(1-2 x)^{20}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{20} x_{20}$. Giá trị của $T=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\dots+a_{20}$ bằng
Tổng T là tổng số hạng của khai triển khi $x=1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(1-2 x)^{20}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{20} x_{20}(1)$
Thay $x=1$ vào $(1)$ ta có $T=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{20}=(-1)^{20}=1$
Trong khai triển $(2 a-1)^{6}$ , đặt tổng ba số hạng đầu là T. Khi $T=112a^4$ thì a nhận bao nhiêu giá trị nguyên dương
- Sử dụng công thức khai triển $(a+b)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}$
- Giải phương trình ẩn a đối chiếu điều kiện
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${(2a - 1)^6} = \sum\limits_{k = 0}^6 {C_6^k} {.2^{6 - k}}{a^{6 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k} = C_6^0 \cdot {2^6}{a^6} - C_6^1 \cdot {2^5}{a^5} + C_6^2 \cdot {2^4}{a^4} - \ldots $
Nên tổng ba số hạng đầu là $T = 64{a^6} - 192{a^5} + 240{a^4}$
Mặt khác:
$\begin{array}{l}\nT = 112{a^4} \Leftrightarrow 64{a^6} - 192{a^5} + 240{a^4} = 112{a^4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\na = 0\\\na = 1\\\na = 2\n\end{array} \right.\n\end{array}$
Vậy có hai giá trị nguyên dương của a thỏa mãn
Tìm số hạng chứa $x^{28}$ trong khai triển $\left(x^{3}+x y\right)^{10}$
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số hạng tổng quát là $T_{k+1}=C_{10}^{k}\left(x^{3}\right)^{10-k}(x y)^{k}=C_{10}^{k} x^{30-2 k} y^{k}$
Số hạng chứa $x^{28}$ ứng với $30-2 k=28 \Leftrightarrow k=1$
Vậy số hạng cần tìm là $C_{10}^{1} x^{28} y$
Tổng của số hạng thứ 4 trong khai triển $(5 a-1)^{5}$ và số hạng thứ 5 trong khai triển $(2 a-3)^{6}$ là :
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$( số hạng thứ k+1)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số hạng thứ 4 trong khai triển $(5 a-1)^{5}$ là $T_{4}=C_{5}^{3} \cdot(5 a)^{2} \cdot(-1)^{3}=-250 a^{2}$
Số hạng thứ 5 trong khai triển $(2 a-3)^{6}$ là $T_{\mathrm{s}}=C_{6}^{4} \cdot(2 a)^{2} \cdot(-3)^{4}=4860 a^{2}$
Vậy tổng của hai số hạng trên là $4610 a^{2}$
Trong khai triển $\left(3 x^{2}+\dfrac{1}{x}\right)^{n}$, hệ số của $x^3$ là $3^{4} C_{n}^{5}$. Giá trị n là
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số hạng tổng quát trong khai triển là $T_{k+1}=C_{n}^{k} \cdot\left(3 x^{2}\right)^{n-k} \cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{k}=C_{n}^{k} \cdot(3)^{n-k} x^{2 n-3 k}$
Theo đề: số hạng chứa $x^3$ ứng với $k=5$
Ta có $n-k=4 \Leftrightarrow n-5=4 \Leftrightarrow n=9$
Trong khai triển $(x-2)^{100}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{100} x^{100}$. Hệ số $a_{97}$ là
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $(x-2)^{100}=\sum\limits_{k=0}^{100} C_{100}^{k} x^{k} \cdot(-2)^{100-k}=\sum\limits_{k=0}^{100} C_{100}^{k} \cdot(-2)^{100-k}.x^{k}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{100} x^{100}$
Từ đó suy ra $a_{k}=C_{100}^{k} \cdot(-2)^{100-k}$
Vậy $a_{97}=C_{100}^{97} \cdot(-2)^{3}=-2^{3} \cdot C_{100}^{97}$
Trong khai triển $f(x)=\left(x-\dfrac{2}{x^{2}}\right)^{40}$, hãy tìm hệ số của $x^{31}$
Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát $T^{k+1} C_{n}^{k} a^{n-k} b^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số hạng tổng quát của khai triển là $C_{40}^{k} x^{40-k} \cdot\left(-2 x^{-2}\right)^{k}=C_{40}^{k}(-2)^{k} x^{40-3 k}$
Số hạng chứa $x^{31}$ ứng với $k=3$
Vậy hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^3.(-2)^3=-79040$
Tổng $C_{2016}^{1}+C_{2016}^{2}+C_{2016}^{3}+\ldots+C_{2016}^{2016}$ bằng
Sử dụng $C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $C_{2016}^{1}+C_{2016}^{2}+\ldots+C_{2016}^{2016}=C_{2016}^{0}+C_{2016}^{1}+C_{2016}^{2}+\ldots+C_{2016}^{2016}-1=(1+1)^{2016}-1=2^{2016}-1$