Phương trình $4 \sin ^{4} x+12 \cos ^{2} x-7=0$ có nghiệm là :
Giải phương trình bậc hai đối với $\sin^2 x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$4 \sin ^{4} x+12 \cos ^{2} x-7=0 \Leftrightarrow 4 \sin ^{4} x-12 \sin ^{2} x+5=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin ^{2} x=\frac{5}{2}(L)} \\ {\sin ^{2} x=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \cos 2 x=0 \Leftrightarrow 2 x=\frac{\pi}{2}+k \pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$
Phương trình $\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{5}{2}$ là :
Biến đổi sin thành cos rồi giải phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\cos 2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{5}{2} \Leftrightarrow 1-2 \sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)=\frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow 1-2 \sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{5}{2} \Leftrightarrow 2 \sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-4 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{3}{2}=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}} \\ {\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{6} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x+\frac{\pi}{3}=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi}\end{array},(k \in Z)\right.\right.\right.$
Tìm m để phương trình $2 \sin ^{2} x-(2 m+1) \sin x+m=0$ có nghiệm $x \in\left(-\frac{\pi}{2} ; 0\right)$
Giải phương trình bậc hai với $\sin x ;m$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $x \in\left(-\frac{\pi}{2} ; 0\right) \Rightarrow-1<\sin x<0$
$2 \sin ^{2} x-(2 m+1) \sin x+m=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin x=\frac{1}{2}} \\ {\sin x=m}\end{array}\right.$
Vậy $-1< m<0$
Giải phương trình $\tan ^{2} x+5 \tan x-6=0$
Giải phương trình bậc hai với $\tan x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=\tan x$, phương trình trở thành $t^{2}+5 t-6=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{t=1} \\ {t=-6}\end{array}\right.$
Với $t=1$ ta có $\tan x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$
Với $t=-6$ ta có $\tan x=-6 \Leftrightarrow x=\arctan (-6)+k \pi(k \in \mathbb{Z})$
Giải phương trình $\tan x+3 \cot x=4$ với $k \in \mathbb{Z}$
Chuyển cot thành tan rồi giải phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $x \neq k \pi$
Ta có: $\tan x+3 \cot x=4 \Leftrightarrow \tan ^{2} x-4 \tan x+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \pi} \\ {\tan x=3 \Rightarrow x=\arctan 3+k \pi}\end{array}(k \in Z)\right.$
Số nghiệm của phương trình $2 \tan x-2 \cot x-3=0$ trong khoảng $\left(-\frac{\pi}{2} ; \pi\right)$ là :
Chuyển cot thành tan rồi giải phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\sin 2 x \neq 0$
Phương trình $2 \tan x-2 \cot x-3=0$
$\Leftrightarrow 2 \tan ^{2} x-3 \tan x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\tan x=2} \\ {\tan x=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
Dùng đường tròn lượng giác ta thấy trên khoảng $\left(-\frac{\pi}{2} ; \pi\right)$ phương trình có 3 nghiệm
Phương trình $\frac{\tan x}{1-\tan ^{2} x}=\frac{1}{2} \cot \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ có nghiệm là
Chuyển cot thành tan rồi giải phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ; x \neq \frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2}, k \in Z$
Ta có $\begin{array}{l}{\frac{\tan x}{1-\tan ^{2} x}=\frac{1}{2} \cot \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow \frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}=\frac{1-\tan x \cdot \tan \frac{\pi}{4}}{\tan x+\tan \frac{\pi}{4}}} \\ {\Leftrightarrow \frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}=\frac{1-\tan x}{1+\tan x} \Rightarrow 2 \tan x=(1-\tan x)^{2}}\end{array}$
$\Leftrightarrow \tan ^{2} x-4 \tan x+1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\tan x=2+\sqrt{3}} \\ {\tan x=2-\sqrt{3}}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi} \\ {x=\frac{\pi}{12}+k \pi}\end{array}\right.\right.$
Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
Sử dụng điều kiện phương trình có nghiệm đối với sin và cos là : $a^{2}+b^{2} \geq c^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình $2 \sin x+3 \cos x=1$ có $2^{2}+3^{3}>1$ nên phương trình có nghiệm
Nghiệm của phương trình $\sin x+\sqrt{3} \cos x=\sqrt{2}$ là ;
Sử dụng công thức sin tổng để biến đổi về phương trình bậc nhất đối với sin
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\sin x+\sqrt{3} \cos x=\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin x+\sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos x=\sin \frac{\pi}{4}$
$\Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi} \\ {x+\frac{\pi}{3}=\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=-\frac{\pi}{12}+k 2 \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{12}+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$
Phương trình $(\sqrt{3}-1) \sin x-(\sqrt{3}+1) \cos x+\sqrt{3}-1=0$ có nghiệm là :
Sử dụng công thức sin tổng (hiểu) để đưa về phương trình bậc nhất đối với sin
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\tan \frac{5 \pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ . Chia cả 2 vế của phương trình cho $\sqrt{3}-1$ là :
$\sin x-\tan \frac{5 \pi}{12} \cdot \cos x+1=0 \Leftrightarrow \sin x \cdot \cos \frac{5 \pi}{12}-\cos x \cdot \sin \frac{5 \pi}{12}+\cos \frac{5 \pi}{12}=0 \} \Leftrightarrow \sin \left(x-\frac{5 \pi}{12}\right)=-\cos \frac{5 \pi}{12}$
$\Leftrightarrow \sin \left(x-\frac{5 \pi}{12}\right)=\sin \left(-\frac{\pi}{12}\right) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x-\frac{5 \pi}{12}=-\frac{\pi}{12}+k 2 \pi} \\ {x-\frac{5 \pi}{12}=\pi+\frac{\pi}{12}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi} \\ {x=\frac{3 \pi}{2}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi} \\ {x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\right.$
Phương trình $3 \cos x+2|\sin x|=2$ có nghiệm là :
Chuyển sin về cos rồi giải phương trình bậc hai đối với cos
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{3 \cos x+2|\sin x|=2 \Leftrightarrow 2|\sin x|=2-3 \cos x} \\ {\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}{4 \sin ^{2} x=4-12 \cos x+9 \cos ^{2} x} \\ {\cos x \leq \frac{2}{3}}\end{array}\right.}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{4\left(1-\cos ^{2} x\right)=4-12 \cos x+9 \cos ^{2} x} \\ {\cos x \leq \frac{2}{3}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n13{\cos ^2}x - 12\cos x = 0\\\n\cos x \le \frac{2}{3}\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\n\cos x = 0\\\n\cos x = \frac{{12}}{{13}}\left( L \right)\n\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $(m+1) \sin x+\cos x=\sqrt{5}$ có nghiệm
Sử dụng điều kiện có nghiệm đối với phương trình bậc nhất sin và cos là : $a^{2}+b^{2} \geq c^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
$a^{2}+b^{2} \geq c^{2} \Leftrightarrow(m+1)^{2}+1 \geq 5 \Leftrightarrow(m+1)^{2} \geq 4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{m+1 \geq 2} \\ {m+1 \leq-2}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{m \geq 1} \\ {m \leq-3}\end{array}\right.\right.$
Cho phương trình $\left(m^{2}+2\right) \cos ^{2} x-2 m \sin 2 x+1=0$. Để phương trình có nghiệm thì tham số $m$ thỏa mãn điều kiện nào là ?
Áp dụng công thức hạ bậc
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phương trình tương đương
$\left(m^{2}+2\right)+\left(m^{2}+2\right) \cos 2 x-4 m \sin 2 x+2=0 \Leftrightarrow$$4 m \sin 2 x-\left(m^{2}+2\right) \cos 2 x=m^{2}+4$
Điều kiện phương tình có nghiệm là $(4 m)^{2}+\left(m^{2}+2\right)^{2} \geq\left(m^{2}+4\right)^{2} \Leftrightarrow m^{2} \geq 1 \Leftrightarrow|m| \geq 1$
Điều kiện để phương trình $m \sin x+8 \cos x=10$ vô nghiệm là :
Điều kiện phương tình vô nghiệm là $a^{2}+b^{2}< c^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}< c^{2} \Leftrightarrow m^{2}+64<100$
$\Leftrightarrow m^{2}<36 \Leftrightarrow-6< m<6$
Tìm m để phương trình $2 \sin x+\operatorname{mcos} x=1-m$ có nghiệm $x \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ là :
Chuyển sin và cos về tan rồi biện luận theo phương trình bậc hai đối với tan
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$m(1+\cos x)=1-2 \sin x$
Vì $x \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ nên $1+\cos x>0$ do đó :
$\begin{array}{l}{m=\dfrac{1-2 \sin x}{1+\cos x} \Leftrightarrow m=\frac{1-4 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}}{2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}} \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\left(\tan ^{2} \dfrac{x}{2}+1\right)-2 \tan \dfrac{x}{2}} \\ {\Leftrightarrow 2 m=\tan ^{2} \dfrac{x}{2}-4 \tan \dfrac{x}{2}+1}\end{array}$
$\Leftrightarrow 2 m=\left(2-\tan \dfrac{x}{2}\right)^{2}-3$
Vì $x \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ nên $-1 \leq \tan \dfrac{x}{2} \leq 1 \Leftrightarrow 1 \leq 2-\tan \dfrac{x}{2} \leq 3 \Leftrightarrow 1 \leq\left(2-\tan \dfrac{x}{2}\right)^{2} \leq 9 \Leftrightarrow-2 \leq\left(2-\tan \dfrac{x}{2}\right)^{2}-3 \leq 6$
Vậy $-2 \leq 2 m \leq 6 \Leftrightarrow-1 \leq m \leq 3$
Giá trị nguyên lớn nhất để phương trình $\cos x+\sin x=m$ có nghiệm là :
Sử dụng điều kiện có nghiệm là $a^{2}+b^{2} \geq c^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình có nghiệm
$\Leftrightarrow 1^{2}+1^{2} \geq m^{2} \Leftrightarrow m^{2}-2 \leq 0 \Leftrightarrow m \in[-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]$
Do m là số nguyên lớn nhất nên m=1
Cho phương trình $m \sin x-\sqrt{1-3 m} \cos x=m-2$ . Tìm m để phương trình có nghiệm là :
Sử dụng điều kiện có nghiệm đối với phương trình bậc nhất sin và cos
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : Phương trình $m \sin x-\sqrt{1-3 m} \cos x=m-2$ có nghiệm khi và chỉ khi
$\left\{\begin{array}{l}{m^{2}+(-\sqrt{1-3 m})^{2} \geq(m-2)^{2}} \\ {m \leq \frac{1}{3}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{m \geq 3} \\ {m \leq \frac{1}{3}}\end{array}\right.\right.$( Vô lý )
Vậy không có giá trị m thỏa mãn
Giải phương trình $5 \sin 2 x-6 \cos ^{2} x=13$
Sử dụng công thức hạ bậc và giải phương bậc nhất đối với sin và cos
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $5 \sin 2 x-6 \cos ^{2} x=13 \Leftrightarrow 5 \sin 2 x-3 \cos 2 x=16(\text { vô nghiệm }) \text { do } 5^{2}+(-3)^{2}<16^{2}$
Phương trình $\sin 8 x-\cos 6 x=\sqrt{3}(\sin 6 x+\cos 8 x)$ có nghiệm là :
Sử dụng công thức sin tổng (hiệu)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\sin 8 x-\cos 6 x=\sqrt{3}(\sin 6 x+\cos 8 x) \Leftrightarrow \sin 8 x-\sqrt{3} \cos 8 x=\sqrt{3} \sin 6 x+\cos 6 x} \\ {\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 8 x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 8 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6 x+\frac{1}{2} \cos 6 x \Leftrightarrow \sin \left(8 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left(6 x+\frac{\pi}{6}\right)}\end{array}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{8 x-\frac{\pi}{3}=6 x+\frac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {8 x-\frac{\pi}{3}=\frac{5 \pi}{6}-6 x+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{4}+k \pi} \\ {x=\frac{\pi}{12}+k \frac{\pi}{7}}\end{array},(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$
Phương trình $3 \sin 3 x+\sqrt{3} \cos 9 x=1+4 \sin ^{3} 3 x$ có nghiệm là :
Sử dụng công thức nhận ba
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{3 \sin 3 x+\sqrt{3} \cos 9 x=1+4 \sin ^{3} 3 x \Leftrightarrow 3 \sin 3 x-4 \sin ^{3} 3 x+\sqrt{3} \cos 9 x=1} \\ {\Leftrightarrow \sin 9 x+\sqrt{3} \cos 9 x=1 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 9 x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 9 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left(9 x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{6}}\end{array}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{9 x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {9 x+\frac{\pi}{3}=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{9 x=-\frac{\pi}{54}+\frac{k 2 \pi}{9}} \\ {9 x=\frac{\pi}{18}+\frac{k 2 \pi}{9}}\end{array},(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$