Phương trình $\sin 2 x+3 \sin 4 x=0$ có nghiệm là:
Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 4 x=2 \sin 2 x \cos 2 x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{\sin 2 x+3 \sin 4 x=0 \Leftrightarrow \sin 2 x+6 \sin 2 x \cos 2 x=0} \\ {\Leftrightarrow \sin 2 x(1+6 \cos 2 x)=0} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin 2 x=0} \\ {1+6 \cos 2 x=0}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin 2 x=0} \\ {\cos 2 x=-\frac{1}{6}}\end{array}\right.\right.}\end{array}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{2 x=k \pi} \\ {2 x=\pm \arccos \left(-\frac{1}{6}\right)+k 2 \pi}\end{array} (k \in \mathbb{Z})\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\frac{k \pi}{2}} \\ {x=\pm \frac{1}{2} \arccos \left(-\frac{1}{6}\right)+k \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$
Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình $4 \sin ^{2} x-4 \sin x-3=0$ trên đường tròn lượng giác là
Giải phương trình bậc hai đối với $\sin x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $4 \sin ^{2} x-4 \sin x-3=0$
Đặt $\sin x=t(-1 \leq t \leq 1)$ khi đó phương trình có dạng
$4 t^{2}-4 t-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{t=\frac{3}{2} \quad(k t m)} \\ {t=-\frac{1}{2}(t m)}\end{array}\right.$
$t=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x=\frac{7 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Vậy số vị trí biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là 2
Số nghiệm của phương trình $(2 \cos x-1)(2 \sin x+\cos x)=\sin 2 x-\sin x$ trên khoảng $\left[\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ là :
Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình tương đương $(2 \cos x-1)(2 \sin x+\cos x)=\sin x(2 \cos x-1)$
$\Leftrightarrow(2 \cos x-1)(\sin x+\cos x)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{\cos x=\frac{1}{2}} \\ {\sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi} \\ {x=-\frac{\pi}{4}+k \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Vì $x \in\left[\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]$ nên phương trình có nghiệm là $x=\pm \frac{\pi}{3} ; x=-\frac{\pi}{4}$
Nghiệm của phương trình $\sin ^{2} x-\sin x=0$ thỏa mãn điều kiện $0< x<\pi$
Đưa về phương trình tích
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin ^{2} x-\sin x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin x=0} \\ {\sin x=1}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=k \pi} \\ {x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z} )\right.\right.$
Vì $0< x<\pi$ nên nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi}{2}$
Phương trình $\sin ^{2} x+3 \sin x-4=0$ có nghiệm là :
Đặt ẩn đối với $\sin x$ rồi giải phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=\sin x(-1 \leq t \leq 1)$ phương trình trở thành $t^{2}+3 t-4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{t=1} \\ {t=-4(l)}\end{array}\right.$
Với $t=1$ ta có : $\sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Phương trình $2 \sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin 2 x=2$ có nghiệm là :
Sử dụng công thức hạ bậc
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$2 \sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin 2 x=2 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{1-\cos 2 x}{2}+\sqrt{3} \sin 2 x=2 \Leftrightarrow \sqrt{3} \sin 2 x-\cos 2 x=1 \Leftrightarrow \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)=\sin \frac{\pi}{6}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{2 x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {2 x-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array} (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{2 x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi} \\ {2 x=\pi+k 2 \pi}\end{array} ( k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{6}+k \pi} \\ {x=\frac{\pi}{2}+k \pi}\end{array}\right.\right.\right.(k \in \mathbb{Z})$
Nghiệm của phương trình lượng giác $2 \cos ^{2} x+3 \sin x-3=0$ thỏa mãn điều kiện $0< x<\frac{\pi}{2}$ là:
Giải phương trình bậc hai đối với $\sin x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $2 \cos ^{2} x+3 \sin x-3=0 \Leftrightarrow 2\left(1-\sin ^{2} x\right)+3 \sin x-3=0$
$\Leftrightarrow 2 \sin ^{2} x-3 \sin x+1=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin x=1} \\ {\sin x=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=k \pi} \\ {x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} } \\ {x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array}\right.$
Vì $0< x<\frac{\pi}{2}$ nên $x=\frac{\pi}{6}$
Nghiệm của phương trình $\cos ^{2} x-\cos x=0$ thỏa mãn điều kiện $0< x<\pi :$
Giải phương trình bậc hai đối với $\cos x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $\cos ^{2} x-\cos x=0 \Leftrightarrow \cos x(\cos x-1)=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\cos x=0} \\ {\cos x-1=0}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{2}+k \pi} \\ {x=k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$
Với $0< x<\pi$ , phương trình có nghiệm $x=\frac{\pi}{2}$
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $3 \cos ^{2} x=-8 \cos x-5$ là:
Giải phương trình bậc hai đối với $\cos x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$3 \cos ^{2} x=-8 \cos x-5 \Leftrightarrow 3 \cos ^{2} x+8 \cos x+5=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\cos x=-1} \\ {\cos x=-\frac{5}{3}<-1}\end{array} \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})\right.$
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $-\pi$
Phương trình $\sin ^{2} x+\sin ^{2} 2 x=1$ có nghiệm là:
Sử dụng công thức hạ bậc và giải phương trình bậc hai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin ^{2} x+\sin ^{2} 2 x=1 \Leftrightarrow 1-\cos 2 x+2\left(1-\cos ^{2} 2 x\right)=2 \Leftrightarrow 2 \cos ^{2} 2 x+\cos 2 x-1=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\cos 2 x=-1} \\ {\cos 2 x=\frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{2 x=\pi+k 2 \pi} \\ {2 x=\pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+k \pi} \\ {x=\pm \frac{\pi}{6}+k \pi}\end{array}(k \in Z)\right.\right.\right.$
Phương trình nào sau đây vô nghiệm
Sử dụng điều kiện có nghiệm đối với bậc nhất sin và cos là : $a^{2}+b^{2} \geq c^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
D vô nghiệm vì $a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25<6^{2}$
Nghiệm của phương trình $\cos x+\sin x=1$ là :
Sử dụng sin tổng để biến đổi thành phương trình bậc nhất đối với sin
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\cos x+\sin x=1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi} \\ {x+\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi}\end{array}\right.} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=k 2 \pi} \\ {x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.}\end{array}$
Phương trình lượng giác $\cos x-\sqrt{3} \sin x=0$ có nghiệm là :
Sử dụng công thức sin tổng(hiệu) để đưa về phương trình bậc nhất đối với sin
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\cos x-\sqrt{3} \sin x=0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x-\frac{1}{2} \cos x=0 \Leftrightarrow \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Số nghiệm của phương trình $\sin x+\cos x=1$ trên khoảng $(0 ; \pi)$ là :
Sử dụng công thức sin tổng (hiệu) để đưa về phương trình bậc nhất đối với sin
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\sin x+\cos x=1 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1 \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ {\Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi} \\ {x=k 2 \pi}\end{array}\right.}\end{array}$
Trên khoảng $(0 ; \pi)$ phương trình có 1 nghiệm $x=\frac{\pi}{2}$
Điều kiện có nghiệm cảu phương trình $a \sin 5 x+b \cos 5 x=c$ là :
Điều kiện có nghiệm là $a^{2}+b^{2} \geq c^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện có nghiệm là $a^{2}+b^{2} \geq c^{2}$
Cho phương trình lượng giác $3 \sin x+(m-1) \cos x=5$ . Tìm m để phương trình vô nghiệm là
Sử dụng điều kiện vô nghiệm là $a^{2}+b^{2}< c^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : Phương trình $3 \sin x+(m-1) \cos x=5$ vô nghiệm khi và chỉ khi
$3^{2}+(m-1)^{2}<5^{2} \Leftrightarrow m^{2}-2 m-15<0 \Leftrightarrow-3< m<5$
Phương trình $\sin x+\cos x=\sqrt{2} \sin 5 x$ có nghiệm là :
Sử dụng công thức sin tổng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chia cả 2 vế cho $\sqrt2$ ta được
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x=\sin 5 x \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin 5 x \Leftrightarrow$$\left[\begin{array}{l}{5 x=x+\frac{\pi}{4}+k 2 \pi} \\ {5 x=\pi-x-\frac{\pi}{4}+k 2 \pi}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{16}+k \frac{\pi}{2}} \\ {x=\frac{\pi}{8}+k \frac{\pi}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Nghiệm của phương trình $\cos 2 x-3 \cos x=4 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}$ là:
Sử dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi rồi đưa về phương trình bậc hai đối với cos
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\cos 2 x-3 \cos x=4 \cos ^{2} \dfrac{x}{2} \Leftrightarrow 2 \cos ^{2} x-1-3 \cos x=2(1+\cos x)} \\ {\Leftrightarrow 2 \cos ^{2} x-5 \cos x-3=0}\end{array}$
Đặt $\cos x=t(-1 \leq t \leq 1)$ khi đó phương trình có dạng
$\begin{array}{l}{2 t^{2}-5 t-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}{t=-\dfrac{1}{2}} & {(t m)} \\ {t=3} & {(k t m)}\end{array}\right.} \\ {t=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{2 \pi}{3}+k 2 \pi(k \in Z)}\end{array}$
Với giá trị nào của m thì $\sqrt{3} \sin 2 x-m \cos 2 x=1$ luôn có nghiệm?
Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sin và cos có nghiệm là $a^{2}+b^{2} \geq c^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}} \\ {b=-m} \\ {c=1}\end{array}\right.$
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
$a^{2}+b^{2} \geq c^{2} \Leftrightarrow 3+m^{2} \geq 1 \Leftrightarrow m^{2} \geq-2 $ luôn đúng với mọi m
Nghiệm của phương trình $\cos 7 x \cos 5 x-\sqrt{3} \sin 2 x=1-\sin 7 x \sin 5 x$ là :
Chuyển vế biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{aligned} & \cos 7 x \cos 5 x-\sqrt{3} \sin 2 x=1-\sin 7 x \sin 5 x \\ \Leftrightarrow & \cos 7 x \cos 5 x+\sin 7 x \sin 5 x-\sqrt{3} \sin 2 x=1 \\ \Leftrightarrow & \cos (7 x-5 x)-\sqrt{3} \sin 2 x=1 \\ \Leftrightarrow & \cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x=1 \end{aligned}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \cos 2 x-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x=\dfrac{1}{2}} \\ {\Leftrightarrow \cos 2 x \cos \dfrac{\pi}{3}-\sin 2 x \sin \dfrac{\pi}{3}=\cos \dfrac{\pi}{3}} \\ {\Leftrightarrow \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos \dfrac{\pi}{3}}\end{array}$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{2 x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+k 2 \pi} \\ {2 x+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=k \pi} \\ {x=-\dfrac{\pi}{3}+k \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$