Cho hàm số $f(x)=x^{3}-1000 x^{2}+0,01$. Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng:
I. $(-1;0)$
II. $(0;1)$
III. $(1;2)$
IV. $(2;1000)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb R$
Hàm số $f(x)=x^{3}-1000 x^{2}+0,01$ liên tục trên $\mathbb R$ nên liên tục trên $[-1 ; 0],[0 ; 1],[1 ; 2], [2 ; 1000](1)$
Ta có: $f(-1)=-1000,99;f(0)=0,01 \Rightarrow f(-1).f(0)<0 (2)$
Từ (1) và (2) suy ra pt $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng $(0;1)$.
Ta có $f(1)=-999,99 ; f(2)=-39991,99 \Rightarrow f(1) \cdot f(2)>0,(4)$
Từ (1) và (4) ta chưa thể kết luận về nghiệm của pt $f(x)=0$ trên khoảng $(1;2)$.
Ta có $f(2)=-39991,99<0,f(1000)=0,01>0$ nên phương trình $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(2;1000)$.
Mà pt bậc 3 chỉ có nhiều nhất 3 nghiệm nên ở mỗi khoảng I, II, IV thì pt đều có 1 nghiệm và trên khoảng $(1;2)$ không có nghiệm.
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\dfrac{\sqrt{x+6}-a}{\sqrt{x+1}-2}} & {\text { khi } x \neq 3} \\ {x^{3}-(2 b+1) x} & {\text { khi } x=3}\end{array}\right.$ trong đó $a,b$ là các số thực. Biết hàm số liên tục tại $x=3$. Số nhỏ hơn trong hai số $a$ và $b$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f(3)=27-3(2b+1)$
Đặt $g(x)=\sqrt{x+6}-a$
Ta có: $g(3)=3-a$
Nếu $a=3$ thì
$\lim\limits _{x \rightarrow 3} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}=\lim\limits _{x \rightarrow 3}(x-3)\dfrac{(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)}(\sqrt{x+6}+3)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
Để hàm số liên tục tại $x=3$ $\Leftrightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 3} f(x)=f(3)\Leftrightarrow 27-3(2 b+1)=\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow b=\dfrac{35}{9}$
Nếu $a \neq 3 \Leftrightarrow g(3) \neq 0\Rightarrow \lim\limits _{x \rightarrow 3} \dfrac{g(x)}{\sqrt{x+1}-2}=\infty \Rightarrow$ Hàm số không thể liên tục tại $x=3$.
Vậy $a=3, b=\dfrac{35}{9}$
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;4]$ sao cho $f(-1)=2, f(4)=7$. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình $f(x)=5$ trên đoan $[-1;4]$:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f(x)=5 \Leftrightarrow f(x)-5=0$
Đặt $g(x)=f(x)-5$ khi đó
$\left\{\begin{array}{c}{g(-1)=f(-1)} \ {-5=2-5=-3} \\ {g(4)=f(4)-5} \ {=7-5=2}\end{array}\right.$ $\begin{array}{l}{\Rightarrow g(-1).g(4)} \ {<0}\end{array}$
Vậy phương trình $g(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$ hay phương trình $f(x)=5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(1;4)$.
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\sin x} & {k h i|x| \leq \dfrac{\pi}{2}} \\ {a x+b} & {k h i|x|>\dfrac{\pi}{2}}\end{array}\right.$ liên tục trên $\mathbb R$. Khi đó giá trị của $a$ và $b$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\sin x} & {k h i|x| \leq \dfrac{\pi}{2}} \\ {a x+b} & {k h i|x|>\dfrac{\pi}{2}}\end{array}\right.$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \sin x\,\,\,\,\,\,\,\,;\, - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}\\ ax + b\,\,\,\,;\,\left[ \begin{array}{l} x > \dfrac{\pi }{2}\\ x < - \dfrac{\pi }{2} \end{array} \right. \end{array} \right.\,\,\\ \end{array}$
Ta có hàm số liên tục trên các khoảng $\left(-\infty ;-\dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(\dfrac{\pi}{2} ;+\infty\right)$
Để hàm số liên tục trên $\mathbb R$ thì hàm số phải liên tục tại các điểm $x=\pm \dfrac{\pi}{2}$
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x)=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)} \\ {\lim _{x \rightarrow-\frac{\pi}{2}} f(x)=f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)}\end{array}\right.$
Ta có:
$\begin{array}{l}{\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}}(a x+b)=a \cdot \dfrac{\pi}{2}+b} \\ {\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}}(\sin x)=\sin \dfrac{\pi}{2}=1} \\ {f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin \dfrac{\pi}{2}=1}\end{array}$
$\Rightarrow \lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}} f(x)=f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow a \cdot \dfrac{\pi}{2}+b=1$ (1)
$\begin{array}{l}{\lim _{x \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}\right)^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow\left(-\frac{-\pi}{2}\right)^{+}}(\sin x)=-1} \\ {\lim _{x \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}\right)^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}\right)^{-}}(a x+b)=-a \cdot \dfrac{\pi}{2}+b} \\ {f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin \dfrac{-\pi}{2}=-1}\end{array}$
$\Rightarrow \lim _{x \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}\right)^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}\right)^{-}} f(x)=f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow-a \cdot \dfrac{\pi}{2}+b=-1$ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{a \cdot \dfrac{\pi}{2}+b=1} \\ {-a \cdot \dfrac{\pi}{2}+b=-1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=\dfrac{2}{\pi}} \\ {b=0}\end{array}\right.\right.$
Đáp án: D
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x \sin \dfrac{2}{x}} & {\text { khi } x>0} \\ {a \cos x-5} & {\text { khi } x \leq 0}\end{array}\right.$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb R$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng $(-\infty ; 0),(0 ;+\infty)$. Để hàm số liên tục trên $\mathbb R$ ta cần chứng minh hàm số liên tục tại $x=0$.
$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}(a \cos x-5)=a-5=f(0)$
Ta có: $0 \leq\left|x \sin \dfrac{2}{x}\right| \leq|x|, \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}}|x|=0 \Rightarrow \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x \sin \dfrac{2}{x}\right)=0$
Để hàm số liên tục tại điểm $x=0$ thì
$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0) \Leftrightarrow a-5=0 \Leftrightarrow a=5$
Đáp án: A
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(i): $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a) \cdot f(b)>0$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in(a ; b)$ sao cho $f(c)=0$.
(ii) Nếu $f(x)$ liên tục trên đoạn $(a ; b]$ và trên $[b;c)$ thì không liên tục $(a;c)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
(I) sai vì: $f(a) \cdot f(b)>0$ vẫn có thể xảy ra trường hợp $f(x)=0$ vô nghiệm trên khoảng $(a;b)$
(II) sai vì: Nếu $f(x)$ liên tục trên đoạn $(a;b]$ và trên $[b;c)$ thì liên tục trên $(a;c)$
Đáp án: D
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[a ; b]$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb R$
Ta có:
$\lim\limits _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 3^{-}} \displaystyle\frac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}=\lim\limits _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{|x-3|}{x-3}=\lim\limits _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{-(x-3)}{x-3}=\lim\limits_{x \rightarrow 3^{-}}(-1)=-1$
$\lim\limits _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 3^{+}} \displaystyle\frac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3}=\lim\limits _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{|x-3|}{x-3}=\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x-3}{x-3}=\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}}(1)=1$
Vậy $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}} f(x) \neq \lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}} f(x) \Rightarrow$ không tồn tại $\lim\limits _{x \rightarrow 3} f(x)$
Vậy không có giá trị nào của $m$ để hàm số liên tục tại $x=3$
Đáp án: A
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\sqrt{2 x-4}+3} & {k h i x \geq 2} \\ {\dfrac{x+1}{x^{2}-2 m x+3 m+2}} & {k h i x<2}\end{array}\right.$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số liên tục trên $\mathbb R$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số liên tục trên $\mathbb R$, liên tục trên $(2 ;+\infty)$
Ta có $f(2)=\sqrt{2.2-4}+3=3 ; \lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}}(\sqrt{2 x-4}+3)=3$
Khi $m=6$ ta có
$\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \displaystyle\frac{x+1}{x^{2}-12 x+20}=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x+1}{(x-2)(x-10)}=+\infty \Rightarrow$ Không tồn tại $\lim _{x \rightarrow 2} f(x) \Rightarrow$ hàm số gián đoạn tại $x=2$.
Khi $m \neq 6$ ta có $\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} \dfrac{x+1}{x^{2}-2 m x+3 m+2}=\dfrac{3}{6-m}$
Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì
$\lim\limits _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=f(2) \Leftrightarrow \dfrac{3}{6-m}=3 \Leftrightarrow m=5$
Thử lại khi $m=5$ thì khi $x<2$, $f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}-10 x+17}$ liên tục trên $(-\infty ; 2)$
Vậy với $m=5$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb R$
Đáp án: C
Cho $a$ và $b$ là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\dfrac{\sqrt{a x+1}-1}{x}} & {\text{khi} x \neq 0} \\ {4 x^{2}+5 b} & {\text{khi} }x=0\end{array}\right.$ liên tục tại $x=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{a x+1}-1}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0}\dfrac{a x+1-1}{x(\sqrt{a x+1}+1)}=\lim\limits _{x \rightarrow 0}\dfrac{a}{\sqrt{a x+1}+1}=\dfrac{a}{\sqrt{a \cdot 0+1}+1}=\dfrac{a}{2}$
$f(0)=5b$
Để hàm số liên tục tại $x=0$ thì $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)\Leftrightarrow \dfrac{a}{2}=5 b \Leftrightarrow a=10b$
Đáp án: B
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2}\left( {x \ge 1} \right)\\\n\dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}}\left( {0 \le x < 1} \right)\\\nx\sin x\left( {x < 0} \right)\n\end{array} \right.$. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
(I). Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ (II). Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \backslash \left\{ 0 \right\}$
(III). Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}$ (IV). Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \backslash \left\{ 0;1 \right\}$
Hàm số liên tục tại điểm $x = {x_0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1 = f\left( 1 \right)$
$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ nên hàm số liên tục tại điểm $x=1$
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x\sin x = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{2{x^3}}}{{1 + x}} = 0 = f\left( 0 \right)$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ nên hàm số liên tục tại điểm $x=0$
Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$
Suy ra cả 4 phương án đều đúng.
Đáp án C