Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{\tan x}{x} \text {khi} x \neq 0, x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)} \\ {0 \quad \text {khi} x=0}\end{array}\right.$. Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên các khoảng nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\tan x}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\cos x}} \\ {=1 \cdot \dfrac{1}{1}=1} \\ {\Rightarrow \lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x) \neq f(0)}\end{array}$
Suy ra hàm số gián đoạn tại điểm $x=0$, do đó loại các đáp án B, C, D
Đáp án: A
Biết rằng $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$. Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^{2}}} & {\text { khi } x \neq \pi} \\ {m} & {\text { khi } x=\pi}\end{array}\right.$ liên tục tại $x=\pi$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb R$. Điều kiện của bài toán trở thành:
$m=f(\pi)=\lim\limits _{x \rightarrow \pi} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow \pi} \dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^{2}}=\lim\limits _{x \rightarrow \pi} \dfrac{2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}}{(x-\pi)^{2}}$
$=\lim \limits _{x \rightarrow \pi} \dfrac{2 \sin ^{2}\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)}{(x-\pi)^{2}}=\dfrac{1}{2} \lim\limits _{x \rightarrow \pi}\left[\frac{\sin \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)}{\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)}\right]^{2}$ (*)
Đặt $t=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{2} \rightarrow 0$ khi $x \rightarrow 1$. Khi đó (*) trở thành:
$m=\displaystyle\frac{1}{2} \lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2}=\frac{1}{2} \cdot 1^{2}=\frac{1}{2}$
Đáp án: C
Biết rẳng $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\dfrac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}} & {\text { khi } x\neq 1} \\ {a} & {\text { khi }x=1}\end{array}\right.$ liên tục trên đoạn $[0 ; 1]$ (với $a$ là tham số). Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định và liên tục trên $[0 ; 1)$. Khi đó $f(x)$ liên tục trên $[0 ; 1]$ khi và chỉ khi $\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=f(1) \cdot(*)$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{f(1)=a} \\ {\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} \dfrac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}}[(x+1)(\sqrt{x}+1)]=4}\end{array}\right.$
$\Rightarrow(*) \Leftrightarrow a=4$
Đáp án: A
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $(-4 ;+\infty)$ với $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+4}-2}$ với $x \neq 0$. Tính $f(0)$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $f(x)$ liên tục trên $(-4 ;+\infty)$ nên suy ra $f(0)=\lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{\sqrt{x+4}-2}=\lim\limits _{x \rightarrow 0}(\sqrt{x+4}+2)=4$
Đáp án: C
Chọn giá trị của $f(0)$ để hàm số $f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{2 x+8}-2}{\sqrt{3 x+4}-2}$ liên tục tại điểm $x=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sqrt[3]{2 x+8}-2}{\sqrt{3 x+4}-2}=\lim\limits _{x \rightarrow 0}\dfrac{(2 x+8-8)(\sqrt{3 x+4}+2)}{\left(\sqrt[3]{2 x+8}^{2}+2 \sqrt[3]{2 x+8}+4\right)(3 x+4-4)}$
$=\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{2(\sqrt{3 x+4}+2)}{3(\sqrt[3]{2 x+8}+2 \sqrt[3]{2 x+8}+4)}=\dfrac{2 \cdot(2+2)}{3\left(2^{2}+2.2+4\right)}=\dfrac{2}{9}$
Để hàm số liên tục tại điểm $x=0$ khi và chỉ khi $\lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x)=f(0) \Leftrightarrow f(0)=\dfrac{2}{9}$
Đáp án: C
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\dfrac{\sin 5 x}{5 x}} & {\text { khi } x \neq 0} \\ {a+2} & {\text { khi } x=0}\end{array}\right.$. Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin 5 x}{5 x}=1} \\ {f(0)=a+2}\end{array}$
Vậy để hàm số liên tục tại $x=0$ thì $\begin{array}{l}{a+2=1 \Leftrightarrow a=} \ {-1}\end{array}$
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\cos \dfrac{\pi x}{2}} & {k h i|x| \leq 1} \\ {|x-1|} & {k h i|x|>1}\end{array}\right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\cos \dfrac{\pi x}{2}} & {k h i|x| \leq 1} \\ {|x-1|} & {k h i|x|>1}\end{array} \Leftrightarrow f(x)\right.=\left\{\begin{array}{ll}{\cos \dfrac{\pi x}{2}} & {k h i-1 \leq x \leq 1} \\ {|x-1|} & {k h i\left[\begin{array}{l}{x>1} \\ {x<-1}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
Ta có:
$\begin{array}{l}{\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}}|x-1|=0} \\ {\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 1^{-}} \cos \dfrac{\pi x}{2}=\cos \dfrac{\pi}{2}=0} \\ {f(1)=\cos \dfrac{\pi}{2}=0}\end{array}$
$\Rightarrow \lim\limits _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=f(1)=0 \Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x=1$.
$\begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow(-1)^{+}} f(x) &=\lim \limits_{x \rightarrow(-1)^{+}} \cos \frac{\pi x}{2}=\cos \frac{-\pi}{2}=0 \\ \lim _{x \rightarrow(-1)^{-}} f(x) &=\lim\limits _{x \rightarrow(-1)^{-}}|x-1|=2 \end{aligned}$
$\Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow(-1)^{+}} f(x) \neq\lim\limits _{x \rightarrow(-1)^{-}} f(x) \Rightarrow$ Hàm số không liên tục tại $x=-1$
Đáp án: B
Giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{2} \sin \dfrac{1}{x}} & {\text { khi } x \neq 0} \\ {m} & {\text { khi } x=0}\end{array}\right.$ liên tục tại $x=0$ thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với mọi $x \neq 0$ ta có: $0 \leq|f(x)|=\left|x^{2} \sin \dfrac{1}{x}\right| \leq x^{2} \rightarrow 0 \text { khi } x \rightarrow 0 \Rightarrow \lim\limits _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
Theo giả thiết ta phải có: $m=f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
Đáp án: C
Cho hàm số $f(x)=x^{3}-3 x-1$. Số nghiệm của phương trình $f(x)=0$ trên $\mathbb R$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số $f(x)=x^{3}-3 x-1$ là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb R$ nên liên tục trên $\mathbb R$. Do đó hàm liên tục trên mỗi khoảng $(-2 ;-1),(-1 ; 0),(0 ; 2)$
Ta có:
+ $\left\{\begin{array}{l}{f(-2)=-3} \\ {f(-1)=1}\end{array} \Rightarrow f(-2) f(-1)<0 \Rightarrow(1)\right.$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-2;-1)$.
+ $\left\{\begin{array}{l}{f(-1)=1} \\ {f(0)=-1}\end{array} \Rightarrow f(-1) f(0)<0 \Rightarrow(1)\right.$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(-1;0)$.
+ $\left\{\begin{array}{l}{f(2)=1} \\ {f(0)=-1}\end{array} \Rightarrow f(2) f(0)<0 \Rightarrow(1)\right.$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0;2)$.
Như vậy phương trình (1) có ít nhất 3 nghiệm thuộc khoảng $(-2;2)$.
Tuy nhiên phương trình $f(x)=0$ là phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm.
Vậy phương trình $f(x)=0$ có đúng 3 nghiệm trên $\mathbb R$
Đáp án: D
Cho phương trình $2 x^{4}-5 x^{2}+x+1=0$ (1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=\mathbb R$. Hàm số $f(x)=2 x^{4}-5 x^{2}+x+1$ liên tục trên $\mathbb R$.
Ta có $f(-1)=-3,f(0)=1\Rightarrow f(-1).f(0)<0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trong $(-1 ; 0) \subset(-2 ; 1)$
Ta có: $f(0)=1,f(1)=-1\Rightarrow f(0).f(1)<0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0 ; 1) \subset(-2 ; 1)$
$\Rightarrow$ phương trình (1) có ít nhất 2 nghiệm trong $(-2;1) \Rightarrow$ Đáp án A sai
Ta có $f(-1)=-3,f(0)=1 \Rightarrow f(-1).f(0)<0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm trong $(-1 ; 0) \subset(-2 ; 0) \Rightarrow$ Đáp án C sai
Ta có: $f(0)=1,f(1)=-1 \Rightarrow f(0).f(1)<0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuốc $(0 ; 1) \subset(-1 ; 1) \Rightarrow$ Đáp án D sai
Đáp án: B
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\dfrac{x^{3}-x^{2}+2 x-2}{x-1}} & {\text { khi }x \neq 1} \\ {3 x+m} & {\text { khi }x=1}\end{array}\right.$ liên tục tại $x=1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb R$. Theo giả thiết ta phải có
$3+m=f(1)=\lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 1} \dfrac{x^{3}-x^{2}+2 x-2}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \dfrac{(x-1)\left(x^{2}+2\right)}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(x^{2}+2\right)=3 \Leftrightarrow m=0$
Đáp án: A
Cho hàm số $f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x-1}$. Hàm số $f(x)$ liên tục tại:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số $y=f(x)$ có TXĐ: $D=\mathbb R$
Dễ thấy hàm số $y=f(x)$ liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty ; 1),(1 ; 3),(3 ;+\infty)$
Ta có: $\left\{\begin{aligned} f(1)=4 & \\ \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \ \frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} (x+1)=2 \end{aligned}\right.$ $\Rightarrow f(x)$ gián đoạn tại $x=1$
Ta có: $\left\{\begin{aligned} f(3) &=2 \\ \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x) &=\lim _{x \rightarrow 3^{-}}\ \frac{x^{2}-1}{x-1} =\lim _{x \rightarrow 3^{-}} (x+1) =4 \end{aligned}\right.$
$\Rightarrow f(x)$ gián đoạn tại $x=3$.
Đáp án: D
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{x^2} - \sqrt {6 - 5x} }}{{x + 2}},x \ne - 2\\ \dfrac{{7ax}}{{16}} + 1,x = - 2 \end{array} \right.$ với a là tham số. Giá trị của tham số a để hàm số liên tục tại $x=-2$
+) Hàm số liên tục tại $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$
+) Nhân liên hợp để khử dạng vô định $\dfrac{0}{0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - \sqrt {6 - 5x} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{{x^2} - 4 + \left( { - \sqrt {6 - 5x} + 4} \right)}}{{x + 2}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2 + \dfrac{5}{{4 + \sqrt {6 - 5x} }}} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2 + \dfrac{5}{{4 + \sqrt {6 - 5x} }}} \right) = \dfrac{{ - 27}}{8}$
$f\left( { - 2} \right) = - \dfrac{{7a}}{8} + 1$
Để hàm số liên tục tại điểm $x = - 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 27}}{8} = \dfrac{{ - 7a}}{8} + 1 \Leftrightarrow a = 5$
Đáp án D
Tìm tham số m để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}\left( {x > 1} \right)\\ mx\left( {x \le 1} \right) \end{array} \right.$ liên tục tại $x=1$
- Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$
$\begin{array}{l} f\left( 1 \right) = m\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx} \right) = m\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} = \dfrac{1}{4} \end{array}$
Vậy để hàm số liên tục tại $x=1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{4}$
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}\left( {x \ne 0} \right)\\\na + 2\left( {x = 0} \right)\n\end{array} \right.$. Tìm a để $f(x)$ liên tục tại $x=0$
- Áp dụng công thức $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1$
- Hàm số liên tục tại điểm $x=0$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)=f(0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 5x}}{{5x}} = 1$
Để hàm số liên tục tại $x=0$ khi và chỉ khi
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a + 2 = 1 \Leftrightarrow a = - 1$
Đáp án B
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 6x}}{{3x}}\left( {x \ne 0} \right)$. Phải bổ sung giá trị $f(0)$ bằng bao nhiêu để hàm số đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$?
Hàm số liên tục tại điểm $x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} - 6x}}{{3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x - 6}}{3} = - 2$
Hàm số liên tục tại mọi điểm $x \ne 0$.
Để hàm số liên tục tại điểm $x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = - 2$
Đáp án B
Cho hàm số: $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{\tan x}}{x}\left( {x \ne 0} \right)\\\n0\left( {x = 0} \right)\n\end{array} \right.$. Hàm số liên tục trên các khoảng nào sau đây?
- Hàm số liên tục tại điểm $x = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$
- Tìm tập xác định của hàm số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ $D = \mathbb{R} \backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ;k \in \mathbb{Z} } \right\}$
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{{x\cos x}} = 1$
Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x=0$
Đáp án A
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(I). $f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 1}}$ liên tục với mọi $x \ne 1$
(II). $f(x)=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$
(III). $f\left( x \right) = \dfrac{{\left| x \right|}}{x}$ liên tục tại $x=1$
- Tìm tập xác định của các hàm số đã cho
- Xét từng phương án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 1}}$ có tập xác định là $D= \left[ { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$
Suy ra (I) sai
Hàm số $f(x)=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$
Suy ra (II) đúng
Hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\left| x \right|}}{x}$ có tập xác định là $D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right)$
Suy ra (III) đúng
Đáp án D
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\n2{x^2} - 3x\left( {x > 2} \right)\\\n2{x^3} - 2x - 5\left( {x < 2} \right)\n\end{array} \right.$. Kết luận nào sau đây không đúng?
- Hàm số liên tục 1 điểm nào đó thì hàm số xác định tại điểm đó
- Hàm số không xác định tại 1 điểm nào đó thì hàm số không liên tục tại điểm đó
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $x=2$ không thuộc tập xác định của hàm số
Đáp án B
Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {4 - {x^2}}$. Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I). Hàm số liên tục tại $x=2$
(II). Hàm số gián đoạn tại $x=-2$
(III). Hàm số liên tục trên đoạn $[-2;2]$
Tìm tập xác định của hàm số
Xét từng phương án và xét tính đúng sai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tập xác định của hàm số là $[-2;2]$
Nên hàm số liên tục tại điểm $x=2 $ và trên đoạn $[-2;2]$
Đáp án A