Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{B S C}=120^{0}, \widehat{C S A}=60^{0}, \widehat{A S B}=90^{0}$, $S A=S B=S C$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $m p(A B C)$. Chọn khẳng định đúng trong các các khẳng định sau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $S A=S B=S C=a$
Ta có: $\Delta S A C$ đều $\Rightarrow A C=S A=a$
$\Delta SAB$ vuông cân tại $S \Rightarrow A B=a \sqrt{2}$
$B C=\sqrt{S B^{2}+S C^{2}-2 S B \cdot S C \cdot \cos \widehat{B S C}}=a \sqrt{3}$
$\Delta ABC$ vuông tại $A$
Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ thì là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Do $S A=S B=S C \text { và } I A=I B=I C$ nên $S I \perp(A B C)$
Vậy $I$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(A B C)$
Đáp án: D
Cho hình chóp $S. A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a $, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và $S C=a \sqrt{2}$. Gọi $H, K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$. Khẳng định nào sau đây là sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $H$ là trung điểm của $AB$ và tam giác $SAB$ đều nên $S H \perp A B$
Lại có $S H=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}, S C=a \sqrt{2}, H C=\sqrt{B H^{2}+B C^{2}}=\dfrac{a \sqrt{5}}{2}$
Do đó $H C^{2}+H S^{2}=\dfrac{3 a^{2}}{4}+\dfrac{5 a^{2}}{4}=2 a^{2}=S C^{2}$
$\Rightarrow \Delta H S C$ vuông tại $H \Rightarrow S H \perp H C$ nên B đúng.
Vậy $\left\{\begin{array}{l}{S H \perp H C} \\ {S H \perp A B}\end{array} \Rightarrow S H \perp(A B C D)\right.$ nên A đúng.
Ta có $A C \perp H K$ và $A C \perp S H \Rightarrow A C \perp(S H K)$$\Rightarrow A C \perp S K$ nên C đúng.
Đáp án: D
Cho hai hình chữ nhật $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường thẳng $AC$ và $BF$ vuông góc với nhau. Gọi $CH$ và $FK$ lần lượt là đường cao của hai tam giác $BCE$ và $ADF$. Khẳng định nào sau đây là sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left. \begin{array}{l} AB \bot BC\\ AB \bot BE \end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot (BCE)$
Vậy $\left\{\begin{array}{l}{C H \perp A B} \\ {C H \perp B E}\end{array} \Rightarrow C H \perp(A B E F)\right.$
Ta có $C H \perp(A B E F) \Rightarrow C H \perp B F$, mặt khác
$A C \perp B F \Rightarrow B F \perp(A C H) \Rightarrow B F \perp A H$
Tương tự $\left. \begin{array}{l} AC \bot KF\\ AC \bot BF \end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot (BKF) \Rightarrow AC \bot BK$
Đáp án: B
Cho hình chóp $SABC$ có $S A \perp(A B C)$. Gọi $H, K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $SBC$ và $ABC$. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $B C \perp S A, B C \perp S H \Rightarrow B C \perp(S A H)$
Ta có $C K \perp A B, C K \perp S A \Rightarrow C K \perp(S A B)$ hay $C K \perp S B$
Mặt khác có $C H \perp S B$ nên $S B \perp(C H K)$ hay $S B \perp H K$, tương tự $S C \perp H K$ nên $H K \perp(S B C)$
Gọi $M$ là giao điểm của $S H$ và $BC$ . Do $B C \perp(S A H) \Rightarrow B C \perp A M$ hay đường thẳng
$AM$ trùng với đường thẳng $AK$. Hay $SH, AK$ và $BC$ đồng quy.
Do đó $B C \perp(S A B)$ là sai.
Đáp án: C
Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh 1 và đội dài các cạnh bên $S A=S B=S C=2$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$. Độ dài đoạn thẳng $S G$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $S A=S B=S C$ và $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$
Suy ra $G$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $(A B C)$
Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ suy ra $B M=C M=\dfrac{B C}{2}=\dfrac{1}{2}$
Tam giác $A B C$ đều cạnh $a$, có $G M=\dfrac{A M}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
Tam giác $S B M$ vuông tại $M$, có
$S M=\sqrt{S B^{2}-M B^{2}}=\sqrt{2^{2}-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Tam giác $S G M$ vuông tại $G$, có
$S G=\sqrt{S M^{2}-G M^{2}}=\sqrt{\dfrac{15}{4}-\dfrac{1}{12}}=\dfrac{\sqrt{33}}{3}$
Đáp án: C
Cho hình chóp $S.A B C$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ và đội dài các cạnh bên $S A=S B=S C=b$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$. Độ dài đoạn thẳng $S G$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $S A=S B=S C$ và $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$
Suy ra $G$ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $(A B C)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $B M=C M=\dfrac{B C}{2}=\dfrac{a}{2}$
Tam giác $A B C$ đều cạnh $a$, có $G M=\dfrac{A M}{3}=\dfrac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{a \sqrt{3}}{6}$
Tam giác $S B M$ vuông tại $M$, có $S M=\sqrt{S B^{2}-M B^{2}}=\sqrt{b^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}}$
Tam giác $S G M$ vuông tại $G$, có
$S G=\sqrt{S M^{2}-G M^{2}}=\sqrt{b^{2}-\dfrac{a^{2}}{4}-\dfrac{a^{2}}{12}}=\dfrac{\sqrt{9 b^{2}-3 a^{2}}}{3}$
Đáp án: C
Cho hình tứ diện $A B C D$ có $A B, B C, C D$ đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm $O$ cách đều bốn điểm $A, B, C, D$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $O$ là trung điểm của $AD$
Từ giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}{A B \perp C D} \\ {B C \perp C D}\end{array} \Rightarrow C D \perp(A B C) \Rightarrow C D \perp A C\right.$. Vậy $\Delta A C D$ vuông tại $C$
Do đó $O A=O C=O D$ (1)
Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}{A B \perp C D} \\ {A B \perp B C}\end{array} \Rightarrow A B \perp(B C D) \Rightarrow A B \perp B D \Rightarrow \Delta A B D\right.$vuông tại $B$.
Do đó $O A=O B=O D$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $O A=O B=O C=O D$
Đáp án: D
Cho hình hộp $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có đáy là hình thoi $\widehat{B A D}=60^{0} \mathrm{}$ và $A^{\prime} A=A^{\prime} B=A^{\prime} D$. Gọi $O=A C \cap B D$. Hình chiếu của $A\'$ trên $(A B C D)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $A^{\prime} A=A^{\prime} B=A^{\prime} D \Rightarrow$hình chiếu của $A\'$ trên $(A B C D)$ trùng với $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta A B D$ (1)
Mà tứ giác $A B C D$ là hình thoi và $\widehat{B A D}=60^{\circ}$ nên $\Delta BAD$ là tam giác đều (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow H$ là trọng tâm $\Delta ABD$
Đáp án: B
Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Đường AC' vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\left\{\begin{array}{c}{A^{\prime} D \perp A D^{\prime}(\mathrm{t} / \mathrm{c} \text { hình vuông })} \\ {A^{\prime} D \perp C^{\prime} D^{\prime}\left(C^{\prime} D^{\prime} \perp\left(A^{\prime} D^{\prime} D A\right)\right)}\end{array}\right.$
$\Rightarrow A^{\prime} D \perp\left(A C^{\prime} D^{\prime}\right) \Rightarrow A^{\prime} D \perp A C^{\prime}(1)$
$\left\{\begin{array}{c}{A^{\prime} B \perp A B^{\prime}(\mathrm{t} / \mathrm{c} \text { hình vuông })} \\ {A^{\prime} B \perp B^{\prime} C^{\prime}\left(B^{\prime} C^{\prime} \perp\left(A^{\prime} D^{\prime} D A\right)\right)}\end{array}\right.$
$\Rightarrow A^{\prime} B \perp\left(A B^{\prime} C^{\prime}\right) \Rightarrow A^{\prime} B \perp A C^{\prime}(2)$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow A C^{\prime} \perp\left(A^{\prime} B D\right)$
Đáp án: A
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật $S A \perp(A B C D)$. Gọi $A E ; A F$ lần lwowtu là các đường cao của tam giác $S A B$ và tam giác $S A D$. Gọi $M$ là giao điểm của $SC$ với $(A E F)$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{A B \perp B C} \\ {S A \perp B C}\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A B) \Rightarrow B C \perp A E\right.$
Vậy: $\left\{\begin{array}{l}{A E \perp S B} \\ {A E \perp B C}\end{array} \Rightarrow A E \perp S C\right.$ (1)
Tương tự: $A F \perp S C$ (2)
Từ (1); (2) $\Rightarrow S C \perp(A E F)$
Mà $A M \subset(A E F)$ nên $A M \perp S C$
Đáp án: D