Cho tứ diện $A B C D \cdot \operatorname{Gọi} G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $B C D \text { và } A C D$. Chọn câu sai?
- Sử dụng các tính chất của trọng tâm tam giác.
- Áp dụng định lí Ta-let đảo để suy ra các đường thẳng song song.
- Sử dụng định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $E \text { là trung điểm của } C D \Rightarrow G_{1} \in B E ; G_{2} \in A E \Rightarrow B G_{1} ; A G_{2} ; C D$ đồng quy tại E. Suy ra C đúng.
Ta có $\displaystyle \frac{E G_{1}}{E B}=\frac{E G_{2}}{E A}=\frac{1}{3} \Rightarrow G_{1} G_{2} / / A B \text{ và } G_{1} G_{2}=\frac{1}{3} A B$ (định lí Ta - lét đảo)
Mà $A B \subset(A B D) \Rightarrow G_{1} G_{2} / /(A B D)$
$A B \subset(A B C) \Rightarrow G_{1} G_{2} / /(A B C)$
Suy ra A, B đúng. Vậy D sai
Đáp án: D
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. $mp(\alpha)$ qua BD và song song với SA cắt SC tại K. Chọn khẳng định đúng?
- Tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng.
- Định lí đường trung bình của tam giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mặt phẳng SAC, qua O kẻ $\mathrm{O} K \perp A C(K \in S C), \text { suy ra } m p(\alpha)$ chính là mp(BDK).
$O K / / S A ; A O=O C \Rightarrow S K=K C$ (định lí đường trung bình của tam giác)
Đáp án: C
Cho tứ diện đều $SABC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, M là một điểm di động trên đoạn $AI$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua M và song song với $SI,IC$ ; biết $AM=x$ . Thiết diện tạo bởi $(P)$ và tứ diện $SABC$ có chu vi là:
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.
- Áp dụng định lí Ta-let đảo để chỉ ra các tỉ lệ bằng nhau.
- Công thức tính chu vi tam giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong $m p(A B C) \ \mathrm{kẻ} \ M F / / I C(F \in A C), \text { trong } m p(S A B) \text { kẻ } M E / / S I(E \in S A)$
Do đó $m p(P) \text { chính là }(M E F)$ và thiết diện tạo bởi $m p(P) \text { và tứ diện đều } S A B C$ là tam giác $M E F$
Gọi a là cạnh của tứ diện đều $SABC$
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $SAB$ là những tam giác đều cạnh $a$ nên $C I=S I=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$
Trong $(ABC)$ ta có $\dfrac{A M}{A I}=\dfrac{M E}{S I} \Leftrightarrow \dfrac{x}{\frac{a}{2}}=\dfrac{M E}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} \Leftrightarrow M E=x \sqrt{3}$
Trong $(SAB)$ ta có $\dfrac{A M}{A I}=\dfrac{M F}{C I} \Leftrightarrow \dfrac{x}{\dfrac{a}{2}}=\frac{M F}{\dfrac{a \sqrt{3}}{2}} \Leftrightarrow M F=x \sqrt{3}$
Ta lại có $\displaystyle \frac{A M}{A I}=\frac{A F}{A C}=\frac{A E}{A S} \Rightarrow E F / / S C(\text { Định lí Ta-let đảo })$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{E F}{S C}=\frac{A F}{A C}=\frac{A M}{A I} \Leftrightarrow \frac{E F}{a}=\frac{x}{\frac{a}{2}} \Leftrightarrow E F=2 x$
Vậy chu vi tam giác $M E F \text { bằng } M E+M F+E F=x \sqrt{3}+x \sqrt{3}+2 x=2 x(1+\sqrt{3})$
Đáp án: B
Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm cạnh CD, G là trọng tâm của tứ diện. Khi đó 2 đường thẳng AD và GM là hai đường thẳng:
- Định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi M là trung điểm của CD, E và F lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và ACD.
$\Rightarrow E \in B M, F \in A M$
Trong $(A M B) : G=A E \cap B F \Rightarrow G$ là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Giả sử 4 điểm A, D, G, M đồng phẳng
$A, D, M \in(A C D) \Rightarrow G \in(A C D) \Rightarrow A G \subset(A C D) \Rightarrow E \in(A C D)$ (vô lí)
Do đó A, D, M , G không đồng phẳng.
Vậy AD và GM là 2 đường thẳng chéo nhau.
Đáp án: A
Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M và song song với SA cắt các mặt (SBC), (SAC), (SAB) lần lượt tại A', B', C'. $\dfrac{M A^{\prime}}{S A}+\dfrac{M B^{\prime}}{S B}+\dfrac{M C^{\prime}}{S C}$ có giá trị không đổi bằng bao nhiêu khi M di động trong tam giác ABC?
- Sử dụng định lí Ta – let để suy ra các tỉ lệ bằng nhau.
- Tỉ lệ diện tích tam giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong (SAD) ta kẻ đường thẳng qua M và song song với SA cắt (SBC) tại A'.
Trong (SCF) kẻ đường thẳng qua M và song song với SC cắt SF tại C'
$M A^{\prime} / / S A \Rightarrow \dfrac{M A^{\prime}}{S A}=\dfrac{D M}{D A}=\dfrac{S_{M B C}}{S_{A B C}}$
Tương tự ta chứng minh được $\displaystyle \frac{M B^{\prime}}{S B}=\frac{E M}{E B}=\frac{S_{M A C}}{S_{A B C}}$ và $\displaystyle \frac{M C^{\prime}}{S C}=\frac{F M}{F C}=\frac{S_{M A B}}{S_{A B C}}$
Do đó, $\displaystyle \frac{M A^{\prime}}{S A}+\frac{M B^{\prime}}{S B}+\frac{M C^{\prime}}{S C}=\frac{S_{M B C}}{S_{A B C}}+\frac{S_{M A C}}{S_{A B C}}+\frac{S_{M A B}}{S_{A B C}}=1$
Đáp án: C
Cho tứ diện $A B C D \operatorname{có} A B=C D=4, B C=A D=5, A C=B D=6 . M$ là điểm thay đổi trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) tại A', B', C'. Giá trị lớn nhất của $M A^{\prime} \cdot M B^{\prime} \cdot M C^{\prime}$ là
- Kéo dài AM,BM,CM cắt các đoạn thẳng BC,CA,AB lần lượt tại H,G,F.
- Dựng các đường thẳng qua M và song song với AD,BD,CD suy ra các điểm A′,B′,C′.
- Sử dụng định lý Ta – let tính MA′,MB′,MC′.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong tam giác ABC, kéo dài AM, BM, CM cắt các đoạn thẳng BC, CA, AB lần lượt tại H, G, F.
Trong mặt phẳng (HAD) kẻ $M A^{\prime} / / A D$
Trong mặt phẳng (GBD) kẻ $M B^{\prime} / / B D$
Trong mặt phẳng (FCD) kẻ $M C^{\prime} / / C D$
Từ đó ta được các điểm A', B', C' cần tìm.
Theo định lí Ta - lét ta có: $\displaystyle \frac{M A^{\prime}}{A D}=\frac{H M}{H A} \Rightarrow M A^{\prime}=5 \cdot \frac{M H}{A H}$
$\displaystyle \frac{M B^{\prime}}{B D}=\frac{G M}{G B} \Rightarrow M B^{\prime}=6 . \frac{M G}{B G};$ $\displaystyle \frac{M C^{\prime}}{C D}=\frac{F M}{F C} \Rightarrow M C^{\prime}=4 \cdot \frac{M F}{C F}$
$\displaystyle \Rightarrow M A^{\prime} \cdot M B^{\prime} M C^{\prime}=120 \cdot \frac{M H}{A H} \cdot \frac{M G}{B G} \cdot \frac{M F}{C F}$
Trong tam giác ABC ta có $\displaystyle 1 = \frac{{MH}}{{AH}} + \frac{{MG}}{{BG}} + \frac{{MF}}{{CF}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{MH}}{{AH}} \cdot \frac{{MG}}{{BG}} \cdot \frac{{MF}}{{CF}}}}$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{{MH}}{{AH}} \cdot \frac{{MG}}{{BG}} \cdot \frac{{MF}}{{CF}} \le \frac{1}{{27}}$
Do đó $\displaystyle M{A^\prime } \cdot M{B^\prime } \cdot M{C^\prime } = 120.\frac{{MH}}{{AH}} \cdot \frac{{MG}}{{BG}} \cdot \frac{{MF}}{{CF}} \le 120 \cdot \frac{1}{{27}} = \frac{{40}}{9}$
$\Rightarrow\left(M A^{\prime} \cdot M B^{\prime} \cdot M C^{\prime}\right)_{\max }=\dfrac{40}{9}$
Đáp án: A
Cho hình chóp $S.ABCD,O$ là điểm nằm bên trong tam giác $ACD$. Thiết diện của hình chóp cắt bởi $mp(\alpha)$ đi qua $O$ và song song với $AC$ và $SD$ có số cạnh bằng:
- Từ những giả thiết ban đầu xác định mp(α).
- Dựng thiết diện của mp(α) với hình chóp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong $(ABCD)$ qua $O$ kẻ $G F / / A C(G \in A D, F \in C D)$
Trong $(SCD)$ qua $F$ kẻ $F H / / S D(H \in S C)$
$\Rightarrow(\alpha)$ là $(GFH)$
$(\alpha) \cap(A B C D)=G F,(\alpha) \cap(S C D)=H F$
Ta có: $(\alpha)$ và $(SAC)$ có $H$ chung, $(\alpha) \supset G F,(S A C) \supset A C, G F / / A C$
$\Rightarrow$ Qua $H$ kẻ $H I / / A C(I \in S A)$
$\Rightarrow(\alpha) \cap(S A C)=H I,(\alpha) \cap(S A D)=G I$
Trong $(ABCD)$ gọi $J=G F \cap A B \Rightarrow J \in A B \Rightarrow J \in(S A B)$
Trong $(SAB)$ gọi $K=I J \cap S B(K \in S B)$
$\Rightarrow(\alpha) \cap(S A B)=I K,(\alpha) \cap(S B C)=H K$
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi $mp(\alpha)$ là $GFHKI$ là đa giác có 5 cạnh.
Đáp án: C.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $SC$ và $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa $AM$ và song song với $BD$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ với các cạnh $SB,SD$. Gọi $I$ là giao điểm của $ME$ và $BC,J$ là giao điểm của $MF$ và $CD$. Nhận xét gì về ba điểm $I,J,A?$
- Dựa vào tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d′ thì giao tuyến của (α)và (β) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d′ để xác định thiết diện của hình chóp.
- Các điểm cùng thuộc 2 mặt phẳng thì sẽ thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Do đó chúng thẳng hàng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử dựng được điểm $E,F$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{E F=(\alpha) \cap(S B D)} \\ {(\alpha) \| B D} \\ {B D \subset(S B D)}\end{array}\right.\Rightarrow E F \| B D$
Do đó các điểm $E,F,A,M$ cùng thuộc mặt phẳng $(\alpha)$
Trong mặt phẳng $(\alpha)$, gọi $K=E F \cap A M$
Ta có: $K \in E F, E F \subset(S B D) \Rightarrow K \in(S B D)$
$K \in A M, A M \subset(S A C) \Rightarrow K \in(S A C) \Rightarrow K \in(S B D) \cap(S A C)$
Mà $(S A C) \cap(S B D)=S O$ với $O=A C \cap B D \Rightarrow K \in S O$
Cách dựng $E;F:$ Dựng giao điểm $K$ của $AM$ và $SO.$ Qua $K$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $SB$ tại $E$ và cắt $SD$ tại $F.$
Do $\begin{array}{l}{I=M E \cap B C} \\ {I \in M E, M E \subset(\alpha) \Rightarrow I \in(\alpha)} \\ {I \in B C, B C \subset(A B C D) \Rightarrow I \in(A B C D)}\end{array}$
Do đó $I \in(\alpha) \cap(A B C D)$
Tương tự ta cũng có $J \in(\alpha) \cap(A B C D)$ và $A \in(\alpha) \cap(A B C D)$
Vậy $I,J,A$ cùng thuộc giao tuyến của $mp(\alpha)$ và $(ABCD)$
Vậy $I,J,A$ thẳng hàng.
Đáp án: A.
Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạh $a$. Gọi $M$ và $P$ lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $MA=PC=x(0. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $MP$ song song với $CD$ cắt tứ diện theo một thiết diện là hình gì?
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các tính chất về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân.
- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết một số tứ giác đặc biệt
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{M \in(\alpha) \cap(A C D)} \\ {C D \|(\alpha)} \\ {C D \subset(A C D)}\end{array}\right.$
Suy ra $(\alpha) \cap(A C D)=M N \| C D$ với $N\in A C$
Tương tự $(\alpha) \cap(B C D)=P Q \| C D$ với $Q \in B D$
Vì $MN//CD//PQ$ nên thiết diện $MNPQ$ là hình thang.
Ta có $D Q=C P=x, D M=a-x$
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác $DMQ$ ta có:
$M Q=\sqrt{D M^{2}+D Q^{2}-2 D M \cdot D Q \cdot \cos 60}=\sqrt{3 x^{2}-3 a x+a^{2}}$
Tương tự ta cũng tính được $N P=\sqrt{3 x^{2}-3 a x+a^{2}}$
Suy ra $M Q=N P$
Vậy thiết diện $MNPQ$ là hình thang cân.
Đáp án: D.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $M$ là một điểm nằm trên đoạn đường chéo $BD$. Thiết diện của hình chóp cắt bởi $mp(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $AC$ và $SB$ có thể là những hình gì?
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các yếu tố về song song để xác định mp(α).
- Xác định thiết diện của hình chóp bằng cách xác định giao tuyến của mp(α) với các mặt của hình chóp.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $O=A C \cap B D$
TH1: $M$ nằm giữa $O$ và $B$
Trong $(ABCD)$ qua $M$ kẻ $F G / / A C(F \in A B, G \in B C)$
Trong $(SAB)$ qua $F$ kẻ $F H / / S B(H \in S A)$
$\Rightarrow m p(\alpha) $ là $(FHG)$
Ta có: $(\alpha) \cap(A B C D)=F G,(\alpha) \cap(S A B)=F H$
Ta có: $m p(\alpha)$ và $(SAC)$ có $H$ chung.
$\begin{array}{l}{(\alpha) \supset F G} \\ {(S A C) \supset A C} \\ {F G / / A C}\end{array}$
$\Rightarrow$ Qua $H$ kẻ $H I / A C(I \in S C), m p(\alpha) \cap(S A C)=H I, m p(\alpha) \cap(S B C)=G I$
Trong $(ABCD)$ kéo dài $FG$ cắt $CD$ và $AD$ lần lượt tại $K$ và $J(K \in C D, J \in A D)$
Trong $(SCD)$ gọi $L=K I \cap S D \Rightarrow(\alpha) \cap(S C D)=I L,(\alpha) \cap(S A D)=H L$
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi $mp(\alpha)$ là ngũ giác $HFGIL$
TH2: $M$ nằm giữa $O$ và $D$
Trong $(ABCD)$ qua $M$ kẻ $E F / / A C(E \in A D, F \in C D)$
Trong $(SBD)$ qua $M$ kẻ $M G / / S B(G \in S D)$
$\Rightarrow m p(\alpha)$ là $(EFG)$ và $EFG$ cũng chính là thiết diện của hình chóp khi cắt bởi $mp(\alpha)$
Tóm lại, tùy vào vị trí điểm $M$ trên đoạn $BD$, thiết diện của hình chóp cắt bởi $mp(\alpha)$ có thể là tam giác hoặc ngũ giác.
Đáp án: B.