Hai hình bình hành $A B C D \text { và } A B E F $ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $O \text { và } O^{\prime}$ lần lượt là tâm hình bình hành $A B C D \text { và } A B E F $. $O O^{\prime}$ song song với:
- Sử dụng định lí 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng thuộc mặt phẳng nào đó thì 1 đường thẳng đó song song với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
- Sử dụng tính chất hình bình hành và đường trung bình trong tam giác để tìm mối quan hệ song song giữa các đường thẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $O,O\'$ lần lượt là tâm hình bình hành $ABCD,ABEF$ nên O là trung điểm của $B D ; O^{\prime} $ là trung điểm của $FB$
Xét tam giác $B D F \text { có: } \mathrm{OO}^{\prime} $ là đường trung bình nên $OO\'//DF$
Mà $D F \subset(D C E F) ; D F \subset(A D F) ; D F \subset(B C E)$
Nên $O O^{\prime} / /(D C E F) ; O O^{\prime} / /(A D F) ; O O^{\prime} / /(B C E)$
Đáp án: D
Cho hình chóp $S . A B C D . \text { Gọi } M, N$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $S A B \text { và } A B C$. Khi đó $MN$ song song với:
Lấy E là trung điểm của AB rồi sử dụng định lí Ta-lét đảo để tìm MN song song với đường thẳng nào
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ ta có:
$\begin{array}{l}{M \in S E ; \dfrac{E M}{E S}=\dfrac{1}{3}} \\ {N \in E C ; \dfrac{E N}{E C}=\dfrac{1}{3}}\end{array}$
Xét tam giác $ESC$ có $ \dfrac{E M}{E S}=\dfrac{E N}{E C}=\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow M N / / S C(\text { Định lí Ta - let dáo })$
Mà $S C \subset(S C D) \Rightarrow M N / /(S C D)$
Đáp án: C
Số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng không thể là:
Số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng có thể là: 1 điểm ( cắt nhau); không có điểm chung ( song song) hoặc vô số điểm chung ( đường thẳng thuộc mặt phẳng)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng và mặt phẳng nếu có hai điểm chung thì sẽ có vô số điểm chung nên không thể chỉ có hai điểm chung.
Đáp án: A
Nếu đường thẳng $d$ và mặt phẳng $( \alpha )$ không có điểm chung thì chúng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu đường thẳng $d$ và mặt phẳng $( \alpha )$ không có điểm chung thì chúng song song.
Đáp án A
Cho đường thẳng d và mặt phẳng $( \alpha)$ như hình vẽ, số điểm chung của d và $( \alpha)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ hình vẽ ta thấy $d$ cắt $ (\alpha)$ tại duy nhất một điểm.
Đáp án: B
Cho tứ diện $A B C D$. Chọn kết luận đúng:
Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ hình vẽ ta thấy:
+ Đường thẳng $AD$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm duy nhất $A$ nên đáp án A, B đều sai.
+ $A \in(A B C), B \in(A B C) \Rightarrow A B \subset(A B C)$ nên C đúng.
+ Đường thẳng $AC$ cắt mặt phẳng $(ABD)$ tại điểm duy nhất $A$ nên D sai.
Đáp án: C
Nếu một đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $(\alpha) $ mà nó song song với đường thẳng $d\'$ trong $(\alpha) $ thì:
Sử dụng dấu hiệu đường thẳng song song với đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu một đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $(\alpha) $ mà $d$ song song với đường thẳng $d\'$ trong $(\alpha) $ thì $d$ song song với $(\alpha) $.
Đáp án: A
Cho $d / /(\alpha) ; d^{\prime} \subset(\alpha),$ số giao điểm của $d$ và $d’$ là:
Sử dụng tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $d / /(\alpha) ; d^{\prime} \subset(\alpha), $ nên $d$ và $d’$ chỉ có thể song song hoặc chéo nhau. Do đó chúng không có điểm chung.
Đáp án: C
Nếu đường thẳng $d / /(\alpha);d^{\prime} \subset(\alpha) $ thì $d$ và $d’$ có thể:
Sử dụng tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu đường thẳng $d / /(\alpha);d^{\prime} \subset(\alpha) $ thì $d$ và $d’$ có thể song song hoặc chéo nhau.
Đáp án D
Cho đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $( \alpha)$, nếu mặt phẳng $( \beta)$ chứa $d$ mà cắt $( \alpha)$ theo giao tuyến $d’$ thì:
Sử dụng định lí đường thẳng song song với mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $( \alpha)$, nếu mặt phẳng $( \beta)$ chứa $d$ mà cắt $( \alpha)$ theo giao tuyến $d’$ thì $d// d’$
Đáp án B
Cho hai đường thẳng chéo nhau, số mặt phẳng chứa đường thẳng này mà song song với đường thẳng kia có thể là:
Theo lí thuyết của đường thẳng song song với mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này mà song song với đường thẳng kia.
Đáp án: A
Cho tứ diện $ABCD$, gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$, M thuộc đoạn thẳng sao cho $CM=2MB$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
- Đưa về cùng một mặt phẳng.
- Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
- Áp dụng định lí Ta – let đảo để chứng minh hai đường thẳng song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi E là trung điểm của $AD$ ta có $G \in C E \text { và } \dfrac{C G}{C E}=\dfrac{2}{3}$
Vì $C M=2 M B \Rightarrow \dfrac{C M}{C B}=\dfrac{2}{3}$
Xét tam giác $BCE$ có $ \dfrac{C G}{C E}=\dfrac{C M}{C B}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow M G / / B E(\text { định lí Ta - let đảo })$
Mà $B E \subset(A B D) \Rightarrow M G / /(A B D)$
Đáp án: B
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Sử dụng các kiến thức về đường thẳng song song với đường thẳng và đường thẳng song song với mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A và D sai vì hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau hoặc trùng nhau.
B sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
Đáp án: C
Cho các mệnh đề sau:
a. Nếu $a//(P)$ thì a song song với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$
b. Nếu $a//(P)$ thì a song song với một đường thẳng nào đó nằm trong $(P)$
c. Nếu $a//(P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong $(P)$ và song song với a
d. Nếu $a//(P)$ thì có một đường thẳng d nào đó nằm trong P sao cho a và d đồng phẳng.
Số mệnh đề đúng là:
Vận dụng các kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các mệnh đề b và d đúng nên có 2 mệnh đề đúng.
Đáp án B
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) đồng thời song song với AC và SB lần lượt cắt các đoạn SA, AB, BC, SC, SD và BD tại M, N, E, F, I, J. Xét các khẳng định sau
$\begin{array}{ll}{(1) \mathrm{MN} / /(\mathrm{SCD})} & {(2) \mathrm{EF} / /(\mathrm{SAD})} \\ {(3) \mathrm{NE} / /(\mathrm{SAC})} & {(3) \mathrm{IJ} / /(\mathrm{SAB})}\end{array}$
Có bao nhiêu khẳng định đúng?
- Đưa về cùng mặt phẳng
- Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trước hết ta lấy điểm $M \in(P) $ sao cho $M \in SA$
Trong mặt phẳng $(SAB)$ kẻ $MN//SA( N \in AB)$, trong mặt phẳng đáy kẻ $NE//AC (E \in BC)$
$N E \cap B D=\{J\}$
Trong mặt phẳng $(SBC)$ kẻ $EF//SB (F \in SC)$, trong mặt phẳng $(SBD)$ kẻ $JI//SD(I \in SD)$
Giả sử $\mathrm{MN} / /(\mathrm{SCD})$
Lại có $\mathrm{MN} / / \mathrm{SB} \Rightarrow S B \subset(S C D)$ (vô lí) nên (1) sai
Tương tự ta chứng minh được (2) sai.
$\mathrm{NE} / / \mathrm{AC} \subset(S AC) \Rightarrow NE // (SAC)$ Do đó (3) đúng.
$\mathrm{IJ} / / \mathrm{SB} \subset(S AB) \Rightarrow IJ // (SAB)$ Do đó (4) đúng.
Đáp án: B
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Khi đó, số đường thẳng phân biệt nằm trong (P) và song song với a có thể là:
- Sử dụng định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường thẳng $a / /(P)$ thì có vô số đường thẳng nằm trong (P) và song song với a.
Đáp án: D
Cho hai đường thẳng $a,b$ song song với nhau. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ phân biệt tương ứng chứa $a,b$ đồng thời cắt nhau theo giao tuyến $d.$ Khi đó đường thẳng $d:$
Dựa vào cách xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng chứa các đường thẳng song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng có thể song song hoặc trùng với $a$, nó cũng có thể song song hoặc trùng $b$. Trường hợp trùng xảy ra khi $a=(P) \cap(Q)$ hoặc $b=(P) \cap(Q)$
Đáp án: D.
Cho trước hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Khi đó:
Sử dụng định lý đường thẳng song song với mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cho hai đường thẳng chéo nhau, khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với mặt phẳng kia.
Đáp án: B.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d′ thì giao tuyến của (α)và (β) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d′
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $S \in(S A D)$ và $S \in(S B C)$ nên $S \in d$
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{A D \subset(S A D)} \\ {B C \subset(S B C)} \\ {A D / / B C} \\ {d=(S A D) \cap(S B C)}\end{array} \Rightarrow d / / A D / / B C\right.$
Đáp án: A.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang đáy lớn $AB$. Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $C D ;(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $SA$ và $BC$. Thiết diện của $m p(\alpha)$ với hình chóp là:
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung MM và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d′ thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d′ .
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{M \in(\alpha) \cap(A B C D)} \\ {B C \|(\alpha)} \\ {B C \subset(A B C D)}\end{array} \Rightarrow(\alpha) \cap(A B C D)=M N \| B C(N \in A B)(1)\right.$
Tương tự:$\left\{\begin{array}{l}{N \in(\alpha) \cap(S A B)} \\ {S A \|(\alpha)} \\ {S A \subset(S A B)}\end{array} \Rightarrow(\alpha) \cap(S A B)=N P \| S A(P \in S B)\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{P \in(\alpha) \cap(S B C)} \\ {B C \|(\alpha)} \\ {B C \subset(S B C)}\end{array} \Rightarrow(\alpha) \cap(S B C)=P Q \| B C(Q \in S C)(2)\right.$
Từ (1) và (2) suy ra $MN//PQ$
Vậy thiết diện là hình thang $MNPQ.$
Đáp án: B.