Cho hàm số $y = \dfrac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x + 2{{\cos }^3}x - 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x - 1}}$. Phương trình $y’=0$ có bao nhiêu nghiệm đoạn $[ -2019 \pi;2019 \pi ]$
Rút gọn biểu thức của $y$ sau đó tìm điều kiện xác định tính đạo hàm và cho đạo hàm $y’=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l} {\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x + 2{\cos ^3}x - 1\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\cos ^2}\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x - \cos x} \right) - 1\\ = 2{\cos ^2}x\left( {\cos x + \cos 2x} \right) \end{array}$
$\begin{array}{l} {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\cos ^4}x - 1\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3{\cos ^4}x - 1\\ = - 3{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 3{\cos ^2}x\cos 2x \end{array}$
Điều kiện xác định $\left\{ \begin{array}{l} \cos x \ne 0\\ \cos 2x \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z } \right)\\ x \ne \dfrac{\pi }{4} + m\dfrac{\pi }{2} (m \in Z) \end{array} \right.$
Trên tập xác định của hàm số ta có $y = \dfrac{2}{3}\left( {1 + \dfrac{{\cos x}}{{\cos 2x}}} \right)$
$\begin{array}{l} y’ = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{ - \sin x.\cos 2x + 2\sin 2x.\cos x}}{{{{\cos }^2}2x}} \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \sin x\left( {\cos 2x - 4{{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \cos 2x - 4{\cos ^2}x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ - 1 - 2{\cos ^2}x = 0\left( {VN} \right) \end{array} \right.\\ x \in \left[ { - 2019\pi ;2019\pi } \right] \Rightarrow k \in \left[ { - 2019;2019} \right] \end{array}$
Vậy có 4039 nghiệm
Đáp án B
Cho hàm số $y = \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x} } } $ với $x \in \left( {0;\pi } \right)$. Đạo hàm của hàm số là
Sử dụng công thức nhân đôi $1 + \cos \left( {2u\left( x \right)} \right) = 2{\cos ^2}\left( {u\left( x \right)} \right)$ để rút gọn hàm số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \cos \left( {\dfrac{x}{2}} \right);cos\left( {\dfrac{x}{4}} \right);\cos \left( {\dfrac{x}{8}} \right) > 0$
Ta có $y = \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos x} } } = \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2}\left( {1 + \cos x} \right)} } } $
$= \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2}.2{{\cos }^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right)} } } = \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos \left( {\dfrac{x}{2}} \right)} } = \sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\cos \left( {\dfrac{x}{4}} \right)} = \cos \left( {\dfrac{x}{8}} \right)$
$\Rightarrow y\' = - \dfrac{1}{8}\sin \left( {\dfrac{x}{8}} \right)$
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x - m}}{{\sin x + 2}}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m \in \left[ { - 10;10} \right]$ sao cho $f’\left( x \right) \ge 0\forall x \in \left( {\dfrac{{ - \pi }}{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$
Sử dụng công thức ${\left( {\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x - m}}{{\sin x + 2}}$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = \dfrac{{\cos x\left( {\sin x + 2} \right) - \cos x\left( {\sin x + m} \right)}}{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{\cos x.\left( {m + 2} \right)}}{{{{\left( {\sin x + 2} \right)}^2}}}$
Mặt khác $\forall x \in \left( {\dfrac{{ - \pi }}{2};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos x > 0$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 2$
$m \in \left[ { - 10;10} \right] \Rightarrow - 2 \le m \le 10( m \in \mathbb{Z})$
Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa mãn đề bài
Đáp án C
Cho hàm số $y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x.\cos x}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
+) Rút gọn hàm số
+) $(\sin x)\'=\cos x;(\cos x)\'=-\sin x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x.\cos x}}$
$ = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x.\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 - \sin x.\cos x}} = \sin x + \cos x$
Suy ra $y\' = \cos x - \sin x;y\'\' = - \sin x - \cos x$
Vậy $y\'\' + y = 0$
Đáp án D
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{8}{\left( {\cos x - \sin x} \right)^4}$. Phương trình $f’(x)=0$ có bao nhiêu nghiệm trên khoảng $(0; \dfrac{\pi}{4})$
- Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {\cos u} \right)’ = - \sin u.u’$
- Biến đổi hàm số về dạng đơn giản hơn để tính đạo hàm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$f\left( x \right) = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{8}{\left( {\cos x - \sin x} \right)^4} \\= - \dfrac{{\sqrt 2 }}{8}{\left[ {\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right]^4}\\ = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}{\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 2\sqrt 2 {\cos ^3}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \\= \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 + \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right)$
Với $x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow 1 + \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) > 0$
$\Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 \\\Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{2} = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$
$x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow x \in \emptyset $
Đáp án D
Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = {\sin ^2}\left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)$
- Chia nhỏ , đạo hàm từ trong ra ngoài
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đầu tiên áp dụng $({u^\alpha })\'$ với $u = \sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)$
$y\' = 2\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left[ {\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)} \right]\'$
Sau đó áp dụng $\left( {\sin u} \right)\'$ , với $u = \cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)$
$y\' = 2\sin \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\cos \left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right)\'$
Áp dụng $\left( {\cos u} \right)\'$ , với $\left( {\cos u} \right)\'$
$y\' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {{{\tan }^4}3x} \right)\'$
Áp dụng $\left( {{u^\alpha }} \right)\'$ với $u = \tan 3x$
$y\' = - \sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x.\left( {\tan 3x} \right)\'$
$=>y\' = - 3\sin \left( {2\cos \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).\left( {\sin \left( {{{\tan }^4}3x} \right)} \right).4{\tan ^3}3x\left( {1 + {{\tan }^2}3x} \right)$
Tính đạo hàm của hàm số sau: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\sin \frac{1}{x} (x \ne 0) \\ 0 (x=0) \end{array} \right.$
Xét đạo hàm theo từng miền của hàm số với $x \ne 0$ và tại $x=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $x \ne 0 = > f’(x) = 2x\sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x}$
Với $x = 0 = > f’(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = 0$
Vậy $f’(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x\sin \dfrac{1}{x} - \cos \dfrac{1}{x}(x \ne 0) \\ 0(x=0) \end{array} \right.$
Cho hàm số: $y = \ln \left( {\left| {\sin x} \right|} \right) + \ln \left( {\left| {\cos x} \right|} \right) + \ln \left( {\left| {\cot x} \right|} \right) - 2\cos 2x + 1$ . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình $y\'=0$.
Đạo hàm từng phần hàm số đã cho
Biến đổi $\tan x$, $\cot x$về $\cos 2x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tập xác định: $D =\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\dfrac{\pi }{2}} \right\}$
Ta có: $y\' = \left( {\ln \left( {\left| {\sin x} \right|} \right) + \ln \left( {\left| {\cos x} \right|} \right) + \ln \left( {\left| {\cot x} \right|} \right) - 2\cos 2x + 1} \right)\'$
$= \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}{{\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}}} + 4\sin 2x$$ = \cot x - \tan x + 4\sin 2x - \dfrac{2}{{\sin 2x}}$
$y\' = 0 = > \cot x - \tan x + 4\sin 2x - \dfrac{2}{{\sin 2x}} = 0$
$ < = > \left( {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) + 4\sin 2x - \dfrac{2}{{\sin 2x}} = 0$$ < = > \dfrac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}} + 4\sin 2x - \dfrac{2}{{\sin 2x}} = 0$
$ < = > \cos 2x + 2(1 - {\cos ^2}2x) - 1 = 0$$ < = > - 2{\cos ^2}2x + \cos 2x + 1 = 0$
$< = > \left\{ \begin{array}{l}\n\cos 2x = 1(L)\\\n\cos 2x = - \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right.$ $ = > x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
Cho hàm số sau : $f(x)=x + 2\sin x + \dfrac{{\cos 2x}}{2} + \dfrac{2}{3}{\cos ^3}x$.
Tìm nghiệm tổng quát của $f\'(x)=0$
- Chú ý đạo hàm của hàm mũ $\left( {{u^\alpha }} \right)\' = \alpha {u^{\alpha - 1}}u\'$
- Giải phương trình biến đổi tìm nhân tử chung
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $f\'(x)=(x + 2\sin x + \dfrac{{\cos 2x}}{2} + \dfrac{2}{3}{\cos ^3}x)\'=1 + 2\cos x - \sin 2x - 2\sin x(1 + \cos 2x)$
$f\'(x)=0$
=>$1 + 2\cos x - \sin 2x - 2\sin x(1 + \cos 2x)$=0 $ < = > 2\sin x.2{\cos ^2}x + 2\sin x\cos x - \left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$
$ < = > 2\sin x\cos x\left( {2\cos x + 1} \right) - \left( {1 + 2\cos x} \right) = 0$ $ < = > \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x\cos x - 1} \right) = 0$
$<= > \left[ \begin{array}{l}\n2\cos x + 1 = 0\\\n2\sin x\cos x - 1 = 0\n\end{array} \right. < = > \left[ \begin{array}{l}\n\cos x = - \dfrac{1}{2}\\\n\sin 2x = 1\n\end{array} \right.$ $<=> \left[ \begin{array}{l}\nx = \dfrac{{4\pi }}{3} + m2\pi \\\nx = \dfrac{\pi }{4} + n\pi \n\end{array} \right.(m,n \in \mathbb{Z})$
Cho hàm số $f(x) = {\tan ^4}x - \dfrac{{\left( {2 - {{\sin }^2}x} \right)\sin 3x}}{{{{\cos }^4}x}}$. Đạo hàm của hàm số có dạng là:
Sử dụng công thức đạo hàm lượng giác $\left( {\tan u} \right)\' = \dfrac{{u\'}}{{{{\cos }^2}u}};\left( {\dfrac{u}{v}} \right)\' = \dfrac{{u\'v - uv\'}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f(x) = {\tan ^4}x - \dfrac{{\left( {2 - {{\sin }^2}x} \right)\sin 3x}}{{{{\cos }^4}x}}$
Tập xác định của hàm số $D = \mathbb{R}\backslash (\dfrac{\pi }{2} + k\pi )\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow f\'(x) = \left( {{{\tan }^4}x - \dfrac{{\left( {2 - {{\sin }^2}x} \right)\sin 3x}}{{{{\cos }^4}x}}} \right)\'\\ = 4{\tan ^3}x\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\left( {3\cos 3x\left( {2 - {{\sin }^2}x} \right) - 2\sin x\cos x\sin 3x} \right){{\cos }^4}x + 4\sin x{{\cos }^3}x\sin 3x\left( {2 - {{\sin }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^8}x}}\\ = \dfrac{{4{{\sin }^3}x - 3\cos 3x\cos x - 3\cos 3x{{\cos }^3}x - 2\sin x\sin 3x{{\cos }^2}x - 4\sin x\sin 3x}}{{{{\cos }^5}x}}\n\end{array}$
Đáp án A