Đạo hàm của hàm số $y=x(2 x-1)(3 x+2)(\sin x-\cos x)$ là:
Sử dụng công thức $(u.v)’=u’.v+u.v’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{y=x(2 x-1)(3 x+2)(\sin x-\cos x)=\left(6 x^{3}+x^{2}-2 x\right)(\sin x+\cos x)} \\ {\Rightarrow y^{\prime}=\left(6 x^{3}+x^{2}-2 x\right)^{\prime}(\sin x+\cos x)+\left(6 x^{3}+x^{2}-2 x\right)(\sin x+\cos x)^{\prime}} \\ {y^{\prime}=\left(18 x^{2}+2 x-2\right)(\sin x+\cos x)+\left(6 x^{3}+x^{2}-2 x\right)(\cos x-\sin x)}\end{array}$
$\begin{aligned} y^{\prime}=\sin x &\left(18 x^{2}+2 x-2-6 x^{3}-x^{2}+2 x\right)+\cos \\ & x\left(18 x^{2}+2 x-2+6 x^{3}+x^{2}-2 x\right) \end{aligned}$
$y^{\prime}=\sin x\left(-6 x^{3}+17 x^{2}+4 x-2\right)+\cos x\left(6 x^{3}+19 x^{2}-2\right)$
Đáp án: C
Tính đạo hàm của hàm số sau $y = \dfrac{{\sin x}}{{\sin x - \cos x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$y\' = \dfrac{{\cos x\left( {\sin x - \cos x} \right) - \sin x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}$
Đáp án A
Cho hàm số $f\left( x \right) = 3\sin \left( {2\sqrt x } \right)$. Đạo hàm của hàm số $f(x)$ là
Sử dụng công thức đạo hàm $\sin u(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\'\left( x \right) = {\left( {3\sin \left( {2\sqrt x } \right)} \right)^\prime } = \dfrac{3}{{\sqrt x }}\cos \left( {2\sqrt x } \right)$
Đáp án A
Cho hàm số $y = {\sin ^3}2x + 2x$. Đạo hàm của hàm số là
Sử dụng đạo hàm của hàm hợp là ${\left({f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right)^\prime } = g’\left( x \right).f’\left( {g\left( x \right)} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l} y’ = {\left( {{{\sin }^3}2x + 2x} \right)^\prime } = {\left( {{{\sin }^3}2x} \right)^\prime } + 2\\ = 3.{\left( {\sin 2x} \right)^\prime }.{\left( {\sin 2x} \right)^2} + 2 = 6\cos 2x.{\left( {\sin 2x} \right)^2} + 2 \end{array}$
Đáp án A
Cho hàm số $y = \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x - 4x$. Giá trị nhỏ nhất của $y’$ là
+) Tính đạo hàm
+) Sử dụng bất đẳng thức ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x - 4x \Rightarrow y’ = 2\sqrt 3 \cos 2x - 2\sin 2x - 4$
Sử dụng bất đẳng thức ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$
Ta có ${\left( {2\sqrt 3 \cos 2x - 2\sin 2x} \right)^2} \le \left( {16\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)} \right) = 16$
$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\sqrt 3 \cos 2x - 2\sin 2x \ge - 4\\ \Rightarrow 2\sqrt 3 \cos 2x - 2\sin 2x - 4 \ge - 8 \Rightarrow y’ \ge - 8 \end{array}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $y’$ là $-8$
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\cos x - x\sin x}}$. Giả sử $f’\left(\pi \right)$ có dạng $a+b{\pi ^c}$. Giá trị $a+b+c$ là
Sử dụng công thức ${\left({\dfrac{u}{v}} \right)^\prime } = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\cos x - x\sin x \ne 0$
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\cos x - x\sin x}}$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = \dfrac{{\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - x\sin x} \right) - \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( { - 2\sin x - x\cos x} \right)}}{{{{\left( {\cos x - x\sin x} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow f’\left( \pi \right) = 1 - \pi \Rightarrow a + b + c = 1$
Đáp án A
Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \tan 2x + \dfrac{2}{3}{\tan ^3}2x + \dfrac{1}{5}{\tan ^5}2x$ là
Sử dụng công thức ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u’;{\left( {\tan \left( {u\left( x \right)} \right)} \right)^\prime } = \dfrac{{u’\left( x \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {u\left( x \right)} \right)}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\cos 2x \ne 0$
Ta có $f\left( x \right) = \tan 2x + \dfrac{2}{3}{\tan ^3}2x + \dfrac{1}{5}{\tan ^5}2x$
$\Rightarrow f’\left( x \right) = \dfrac{2}{{{{\cos }^2}2x}} + \dfrac{{4{{\tan }^2}2x}}{{{{\cos }^2}2x}} + \dfrac{{2{{\tan }^4}2x}}{{{{\cos }^2}2x}}$
Đáp án C
Cho hàm số $y = \sin \left( {{{\cos }^2}x{{\tan }^2}x} \right)$. Đạo hàm của hàm số tại điểm $x=0$ là
+) Sử dụng công thức đạo hàm $\left({\sin \left( u \right)} \right)’ = \cos \left( u \right).u’;\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
+) Rút gọn hàm số rồi tìm đạo hàm
+) Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sin \left( {{{\cos }^2}x{{\tan }^2}x} \right) = \sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)$
$ \Rightarrow y’ = \left( {\sin \left( {{{\sin }^2}x} \right)} \right)’ = \cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)\left( {2\sin x.\cos x} \right) = \cos \left( {{{\sin }^2}x} \right).\sin 2x$
$ \Rightarrow $ Giá trị của đạo hàm tại điểm $x=0$ là $y’=0$
Đáp án C
Đạo hàm của hàm số $y = {\sin ^{10}}x.\cos 10x$ có dạng $10.{\sin ^{n }}x.\cos mx$. Giá trị của $m-n$ là:
+) Sử dụng công thức $\left({\sin \left( u \right)} \right)’ = \cos ’\left( u \right).u’;\left( {\cos \left( u \right)} \right)’ = - \sin u.u’;\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’$
+) $\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = {\sin ^{10}}x.\cos 10x$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’\left( {{{\sin }^{10}}x.\cos 10x} \right)’ = 10.{\sin ^9}x.\cos x.\cos 10x - 10{\sin ^{10}}x.\sin 10x\\ = 10{\sin ^9}x\left( {\cos x.\cos 10x - \sin x.\sin 10x} \right) = 10{\sin ^9}x.\cos 11x \end{array}$
Vậy $m-n=2$
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {\sin x} }}$. Giá trị $f’\left({\dfrac{\pi }{2}} \right)$ bằng
Sử dụng công thức $\left({\dfrac{1}{u}} \right)’ = \dfrac{{ - u’}}{{{u^2}}};\left( {\sin x} \right)’ = \cos x;\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định: $\sin x > 0$
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {\sin x} }} \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sin x}} \Rightarrow 2f\left( x \right).f’\left( x \right) = \dfrac{{ - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = \dfrac{{ - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}}.\dfrac{1}{{2f\left( x \right)}} = \dfrac{{ - \cos x\sqrt {\sin x} }}{{2{{\sin }^2}x}}$$\Rightarrow f’\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0$
Đáp án C
Tính đạo hàm các hàm số sau $y = - \dfrac{{\cos x}}{{3{{\sin }^3}x}} + \dfrac{4}{3}\cot x$
Sử dụng công thức $\left({{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {\cot x} \right)’ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = - 1 - {\cot ^2}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = - \dfrac{{\cos x}}{{3{{\sin }^3}x}} + \dfrac{4}{3}\cot x = - \dfrac{1}{3}\cot x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + \dfrac{4}{3}\cot x = - \dfrac{{{{\cot }^3}x}}{3} + \cot x$
$ \Rightarrow y’ = - {\cot ^2}x.\left( {\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}} \right) - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = {\cot ^2}x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) - 1 - {\cot ^2}x = {\cot ^4}x - 1$
Đáp án C
Cho hàm số $y = \dfrac{{\cot x}}{x}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Từ $y = \dfrac{{\cot x}}{x} \Rightarrow xy = \cot x$ sau đó đạo hàm 2 vế hai lần đưa về mối liên hệ cần tìm
- Sử dụng công thức $\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = {\cot ^2}x + 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $xy = \cot x \Rightarrow y + xy\' =- \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - {\cot ^2}x - 1$
$\begin{array}{l} \Rightarrow 2y\' + xy\'\' = 2\cot x.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 2{\cot ^3}x + 2\cot x\\ \Rightarrow 2y\' + xy\'\' = 2{\left( {xy} \right)^3} + 2xy\n\end{array}$
Đáp án A
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = - \dfrac{{\cos x}}{{3{{\sin }^3}x}} + \dfrac{8}{3}\cot x$. Giá trị của $f’\left({\dfrac{\pi }{3}} \right)$ bằng
- Sử dụng mối liên hệ giữa cot và sin là $1 + {\cot ^2}x = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$
- Công thức đạo hàm $\left({\cot x} \right)’ = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = f\left( x \right) = - \dfrac{{\cos x}}{{3{{\sin }^3}x}} + \dfrac{8}{3}\cot x = - \dfrac{{\cot x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)}}{3} + \dfrac{8}{3}\cot x = - \dfrac{{{{\cot }^3}x}}{3} + \dfrac{7}{3}\cot x$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = {\cot ^2}x.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{7}{{3{{\sin }^2}x}} \Rightarrow f’\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) =- \dfrac{8}{3}$
Đáp án C
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}$. Biểu thức $f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - 3f’\left({\dfrac{\pi }{4}} \right)$ bằng
- Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}};\left( {\cos x} \right)’ = - \sin x;\left( {\sin x} \right)’ = \cos x$
- Biến đổi $f’(x)$ về dạng đơn giản nhất để tính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\sin }^2}x}} \Rightarrow f’\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)’\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right) - {{\cos }^2}x\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)’}}{{{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}}$
$= \dfrac{{ - 2\cos x.\sin x\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right) - 2\cos x.\sin x.{{\cos }^2}x}}{{{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2\cos x\sin x\left( {1 + {{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 4\cos x\sin x}}{{{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow f’\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{ - 8}}{9}$
Vậy $f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - 3f’\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{3} = 3$
Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + 2x$. Phương trình $f’\left(x \right) = 0$ có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn $x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$
Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\sin x} \right)’ = \cos x;\left( {\cos x} \right)’ = - \sin x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + 2x \Rightarrow f’\left( x \right) = 4\sin x\cos x + 2\sin 2x + 2 = 4\sin 2x + 2$
$\begin{array}{l} \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4\sin 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ 2x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array} \right. \end{array}$
$x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x \in \emptyset $
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = {\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^3}$. Phương trình $f’\left(x \right) = 0$ có bao nhiêu điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác?
Sử dụng công thức $\left( {\sin u} \right)’ = \cos u.u’;\left( {{u^n}} \right)’ = n{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = {\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^3} \Rightarrow f’\left( x \right) = 3.{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}.\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)’ = 3.{\left( {2 + {{\sin }^2}2x} \right)^2}.2.2.\sin 2x.\cos 2x = 6\sin 4x{\left( {2 + 2{{\sin }^2}2x} \right)^2}$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6\sin 4x{\left( {2 + 2{{\sin }^2}2x} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sin 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)$
Vậy phương trình có 4 điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác
Đáp án C
Cho hàm số $y = \sqrt {x\tan x} $. Xét hai đẳng thức sau:
$(I)$ $y’=\dfrac{{x\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 1} \right)}}{{2\sqrt {x\tan x} }}$ $(II)$ $y’= \dfrac{{x{{\tan }^2}x + \tan x + 1}}{{2\sqrt {x\tan x} }}$
Khẳng định nào sau đây đúng?
Sử dụng công thức $\left( {\sqrt u } \right)’ = \dfrac{{u’}}{{2\sqrt u }};\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’;\left( {\tan x} \right)’ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y’ = \dfrac{{\left( {x\tan x} \right)’}}{{2\sqrt {x\tan x} }} = \dfrac{{x’\tan x + x.\left( {\tan x} \right)’}}{{2\sqrt {x\tan x} }} = \dfrac{{\tan x + x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2\sqrt {x\tan x} }} = \dfrac{{x.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + \tan x}}{{2\sqrt {x\tan x} }}$
Vậy cả hai đẳng thức đều sai.
Đáp án C
Cho hàm số $f(x) = {\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^3}$. Giá trị nhỏ nhất của $f’(x)$ là
- Áp dụng công thức $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}};\left( {\cos x} \right)’ = - \sin x;\left( {\sin x} \right)’ = \cos x;\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
- Sử dụng đánh giá và $\left( {1 + \cos x} \right) \ge 0;{u^2} \ge 0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = {\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^3} \Rightarrow y’ = 3.{\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)’$
$\begin{array}{l} = 3.{\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.\dfrac{{\left( {\sin x} \right)’\left( {1 + \cos x} \right) - \sin x\left( {1 + \cos x} \right)’}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = 3.{\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.\dfrac{{\cos x\left( {1 + \cos x} \right) + {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}}\\ = 3.{\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.\dfrac{{\cos x + {{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} = 3.{\left( {\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right)^2}.\dfrac{1}{{1 + \cos x}} = \dfrac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}} \end{array}$
${\left( {1 + \cos x} \right)^3} > 0;{\sin ^2}x \ge 0 \Rightarrow f’\left( x \right) = \dfrac{{3{{\sin }^2}x}}{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^3}}} \ge 0$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f’(x)$ là 0
Đáp án A
Đạo hàm của hàm số $y= \left( {x\sin a + \cos a} \right)\left( {x\cos a - \sin a} \right)$ là
- Áp dụng công thức đạo hàm tích
- Sử dụng công thức nhân đôi của lượng giác để rút gọn biểu thức đạo hàm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y= \left( {x\sin a + \cos a} \right)\left( {x\cos a - \sin a} \right)$
$\Rightarrow y\' = \sin a\left( {x\cos a - \sin a} \right) + \left( {x\sin a + \cos a} \right)\cos a = 2x\sin a\cos a + {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = x\sin 2a + \cos 2a$
Đáp án A
Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {4 + \tan \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} $ là:
+ , Xem lại các tính đạo hàm của hàm $tan u$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y\' = \dfrac{{\left[ {4 + \tan \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \right]\'}}{{2\sqrt {4 + \tan \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}=\dfrac{{1 + {{\tan }^2}\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{2\sqrt {4 + \tan \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}(x^2+\dfrac{1}{x^2})\'=\dfrac{{1 + {{\tan }^2}\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{2\sqrt {4 + \tan \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}\left( {2x - \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right)$