Đạo hàm của $y=\cos 4x$ là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\'=-4 \sin 4x$
Đáp án C
Tính đạo hàm của hàm số $y= \sin 3x+ \cos 2x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\'= 3\cos 3x-2 \sin 2x$
Đáp án B
Cho hàm số $f(x)= \tan (2x-4 \pi)$ . Giá trị của $f’(0)$ bằng
Sử dụng công thức đạo hàm của $\tan u(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{2}{{{{\cos }^2}\left( {2x - 4\pi } \right)}} \Rightarrow f’\left( 0 \right) = 2$
Đáp án A
Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {\tan x + \cot x} $. Giá trị của $f’\left({\dfrac{\pi }{4}} \right)$ bằng
Sử dụng công thức ${\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \dfrac{{u’}}{{2\sqrt u }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f’\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {\tan x + \cot x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {\tan x + \cot x} }} = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}}}{{2\sqrt {\tan x + \cot x} }}$
$ \Rightarrow f’\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 0$
Đáp án B
Hàm số $y=\tan x-\cot x$ có đạo hàm là
Sử dụng công thức ${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}};{\left( {\cot x} \right)^\prime } = \dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \dfrac{4}{{{{\sin }^2}2x}}$
Đáp án B
Đạo hàm của hàm số $y = \sin \left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right)$
Sử dụng ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}};\left( {\sin \left( {u\left( x \right)} \right)} \right)’ = \cos \left( {u\left( x \right)} \right).u’\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sin \left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right) \Rightarrow y’ = \cos \left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right).\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {2 + {x^2}} }} = \cos \left( {\sqrt {2 + {x^2}} } \right).\dfrac{x}{{\sqrt {2 + {x^2}} }}$
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = x\cos 2x$. Tính giá trị của $f’\left({\dfrac{\pi }{6}} \right)$
Sử dụng công thức $\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’;\left( {\cos \left( {u\left( x \right)} \right)} \right)’ = - \sin \left( {u\left( x \right)} \right).u’\left( x \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = x\cos 2x \Rightarrow f’\left( x \right) = \cos 2x - 2x\sin 2x$
$ \Rightarrow f’\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{\pi \sqrt 3 }{{6}}$
Đáp án C
Đạo hàm của hàm số $y = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + x$ là
Sử dụng công thức $\left({\sin u} \right)’ = u’\cos u.$$\left( {\cos u} \right)’ = - u’\sin u.$$\left( {{{\sin }^n}u} \right)’ = n{\sin ^{n - 1}}u.u’\cos u.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = 2{\sin ^2}x - \cos 2x + x \Rightarrow y’ = 4\sin x.\cos x + 2\sin 2x + 1 = 4\sin 2x + 1$
Đáp án B
Đạo hàm của hàm số $y = {\sin ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} \right) + \dfrac{\pi }{2}x - \dfrac{\pi }{4}$ là
+) Sử dụng công thức $\left({{{\sin }^n}u} \right)’ = n{\sin ^{n - 1}}u.u’\cos u$
+) Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = {\sin ^2}\left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} \right) + \dfrac{\pi }{2}x - \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow y’ = 2.\left( { - 2} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + \dfrac{\pi }{2} = - 2\sin \left( {\pi - 4x} \right) + \dfrac{\pi }{2}$
Đáp án A
Đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{{\sin 5x}}{{x + 1}}$ là
Sử dụng công thức $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)\' = \dfrac{{u\'v - uv\'}}{{{v^2}}};\left( {\sin u} \right)\' = u\'\cos u.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sin 5x}}{{x + 1}} \Rightarrow y\' = \dfrac{{5\cos 5x\left( {x + 1} \right) - \sin 5x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
Đáp án B
Đạo hàm của hàm số $y = \left( {x\sin a + \cos a} \right)\left( {x\cos a - \sin a} \right)$, với a là hằng số, là
+) Sử dụng công thức $\left({uv} \right)’ = u’v + uv’$
+) Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \left( {x\sin a + \cos a} \right)\left( {x\cos a - \sin a} \right)$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \left( {x\sin a + \cos a} \right)’\left( {x\cos a - \sin a} \right) + \left( {x\sin a + \cos a} \right)\left( {x\cos a - \sin a} \right)’\\ = \sin a\left( {x\cos a - \sin a} \right) + \left( {x\sin a + \cos a} \right).\cos a\\ = 2\sin a\cos a.x + {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = x\sin 2a + \cos 2a \end{array}$
Đáp án B
Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {1 + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} $ là
+) Sử dụng công thức $\left({{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {{{\cos }^n}u} \right)’ = - n{\cos ^{n - 1}}u.u’\sin u.$
+) Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sqrt {1 + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} = {\left( {1 + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} \right)^{\dfrac{1}{2}}}$
$[ \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{2}{\left( {1 + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}}.\left( {1 + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} \right)’ $
$=\frac{1}{2}. \dfrac{1}{{2\sqrt {1 + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} }}.\left( {2\cos \dfrac{x}{2}.(\frac{x}{2})’.\left( { - \sin \dfrac{x}{2}} \right)} \right)$
$=\frac{1}{4}( \dfrac{{ - \sin x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}\dfrac{x}{2}} }})$
Đáp án C
Tính đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {3x + 2\tan x} $
Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\sqrt u } \right)\' = \dfrac{{u\'}}{{2\sqrt u }};\left( {\tan x} \right)\' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\' = \dfrac{{\left( {3x + 2\tan x} \right)\'}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }} = \dfrac{{3 + \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }} = \dfrac{{5 + 2{{\tan }^2}x}}{{2\sqrt {3x + 2\tan x} }}$
Đáp án A
Cho hàm số $y = \dfrac{{\cos x}}{x}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Từ $y = \dfrac{{\cos x}}{x} \Rightarrow xy = \cos x$ sau đó đạo hàm 2 lần hai vế của đẳng thức để được mối liên hệ cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $xy = \cos x \Leftrightarrow \left( {xy} \right)\' = - \sin x \Leftrightarrow y + xy\' = - \sin x$
$ \Leftrightarrow \left( {y + xy\'} \right)\' = - \cos x \Leftrightarrow 2y\' + xy\'\' = - \cos x \Leftrightarrow 2y\' + xy\'\' = - xy$
Đáp án B
Cho hàm số $y= \dfrac{x}{{\sin x}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Từ $y = \dfrac{x}{{\sin x}} \Rightarrow y\sin x = x$ sau đó đạo hàm 2 lần hai vế để đưa mối liên hệ cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\sin x = x \Rightarrow y\'\sin x + y\cos x = 1 \Leftrightarrow y\'\'\sin x + y\'\cos x + y\'\cos x - y\sin x = 0$
$ \Leftrightarrow 2y\'\cos x = \left( {y - y\'\'} \right)\sin x \Rightarrow 2\cot x = \dfrac{{y - y\'\'}}{{y\'}}$
Đáp án D
Cho hàm số $f\left( x \right) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$. Biểu thức $f’\left({\dfrac{\pi }{4}} \right)$ có giá trị là bao nhiêu?
Biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất sau đó sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\cos u} \right)’ = - u’.\sin u$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \cos 2x$
$\Rightarrow f’\left( x \right) = - 2\sin 2x \Rightarrow f’\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - 2$
Đáp án D
Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = \sin \sqrt {{x^3} + 6} $
Áp dụng công thức $\left({\sin u} \right)’ = \cos u.u’;\left( {\sqrt u } \right)’ = \dfrac{{u’}}{{2\sqrt u }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \sin \sqrt {{x^3} + 6} \Rightarrow y’ = \cos \sqrt {{x^3} + 6} .\left( {\sqrt {{x^3} + 6} } \right)’ = \cos \sqrt {{x^3} + 6} .\dfrac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {{x^3} + 6} }}$
Đáp án C
Hàm số $y = \dfrac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}$ có đạo hàm bằng
Áp dụng công thức $\left({\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}};\left( {\cos x} \right)’ = - \sin x;\left( {\sin x} \right)’ = \cos x;\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}} \Rightarrow y’ = \dfrac{{\left( {\cos x} \right)’.{{\sin }^2}x - \cos x.\left( {{{\sin }^2}x} \right)’}}{{2{{\sin }^4}x}} = \dfrac{{ - {{\sin }^3}x - \cos x.2\sin x.\cos x}}{{2{{\sin }^4}x}} = - \dfrac{{{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x}}{{2{{\sin }^3}x}} = - \dfrac{{1 + {{\cos }^2x}}}{{2{{\sin }^3}x}}$
Đáp án B
Tính đạo hàm của hàm số $y = x\tan 2x + \dfrac{{x + 1}}{{\cot x}}$
Áp dụng công thức $\left({uv} \right)’ = u’v + uv’;\left( {\tan x} \right)’ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1;\left( {\cot x} \right)’ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = - 1 - {\cot ^2}x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = x\tan 2x + \dfrac{{x + 1}}{{\cot x}} = x\tan 2x + \left( {x + 1} \right)\tan x$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y’ = \tan 2x + x.\dfrac{2}{{{{\cos }^2}2x}} + \tan x + \left( {x + 1} \right).\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \tan 2x + \tan x + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}2x} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \end{array}$
Đáp án D
Hàm số $y = \dfrac{3}{{\cos \left( {\pi x} \right) - 1}}$ có $f\'(3)$ bằng
Áp dụng công thức $\left( {\dfrac{1}{u}} \right)\' = \dfrac{{ - u\'}}{{{u^2}}};\left( {\cos u} \right)\' = - \sin u.u\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{3}{{\cos \left( {\pi x} \right) - 1}} \Rightarrow y\' = \dfrac{{ - 3\left( {\cos \left( {\pi x} \right) - 1} \right)\'}}{{{{\left( {\cos \left( {\pi x} \right) - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{3\pi \sin \left( {\pi x} \right)}}{{{{\left( {\cos \left( {\pi x} \right) - 1} \right)}^2}}}$
$\Rightarrow f\'\left( 3 \right) = 0$
Đáp án C