Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $x^{3}-3 x^{2}-x+m^{2}-1=0$ có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\dfrac{b}{a} \Leftrightarrow x_{2}+2 x_{2}=-\dfrac{b}{a} \Leftrightarrow 3 x_{2}=-\dfrac{b}{a} \Leftrightarrow x_{2}=-\dfrac{b}{3 \mathrm{a}}=-\dfrac{-3}{3}=1$
Suy ra $1^{3}-3.1^{2}-1+m^{2}-1=0 \Leftrightarrow m=\pm 2$
Với $m=\pm 2$, ta có phương trình $x^{3}-3 x^{2}-x+3=0$
$\Leftrightarrow(x-3)\left(x^{2}-1\right)=0 \Leftrightarrow x=-1, x=1, x=3$
Ba số $-1,1,3$ lập thành cấp số cộng
Vậy giá trị cần tìm là $m=\pm 2$
Đáp án: D
Cho ba số dương $a, b, c $ thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}, \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}} \\ {\Leftrightarrow(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{c}+\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{c})=2(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \\ {\Leftrightarrow \sqrt{a c}+\sqrt{b c}+a+\sqrt{a b}+\sqrt{b c}+c+\sqrt{a b}+\sqrt{a c}=2 \sqrt{a b}+2 b+2 \sqrt{a c}+2 \sqrt{b c}} \\ {\Leftrightarrow a+c=2 b}\end{array}$
Khi đó $a, b, c$ lập thành cấp số cộng
Đáp án: A
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{m}=u_{1}+(m-1) d ; u_{n}=u_{1}+(n-1) d ; u_{p}=u_{1}+(p-1) d$
Xét phương án A ta có: $(n-p) u_{m}+(p-m) u_{n}+(m-n) u_{p}$
$=(n-p)\left[u_{1}+(m-1) d\right]+(p-m)\left[u_{1}+(n-1) d\right]+(m-n)\left[u_{1}+(p-1) d\right]=0$
Vậy đáp án A
Đáp án: A
Trên bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai nhiều hơn ô đầu là 5 hạt dẻ, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5 hạt dẻ,.... và cứ tiếp tục đến ô cuối cùng. Biêt rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụn hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ có bao nhiêu ô?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $u_{n}$ là số hạt dẻ ở bên ô thứ n. Khi đó ta có $u_{1}=7$ và $u_{n+1}=u_{n}+5, \forall n \geq 1$
Dãy số $\left(u_{n}\right)$ là cấp số cộng với $u_{1}=7$ và công sai $d=5$ nên ta có
$S_{n}=\dfrac{n\left[2 u_{1}+(n-1) d\right]}{2}=\dfrac{n[2.7+(n-1) 5]}{2}=\dfrac{5 n^{2}+9 n}{2}$
Theo giả thiết ta có $S_{n}=25450 \Rightarrow \dfrac{5 n^{2}+9 n}{2}=25450 \Leftrightarrow n=100$
Vậy bàn cờ có 100 ô
Đáp án: B
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}+u_{7}=26} \\ {u_{2}^{2}+u_{6}^{2}=466}\end{array}\right.$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}+u_{7}=26} \\ {u_{2}^{2}+u_{6}^{2}=466}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{2 u_{1}+6 d=26} \\ {\left(u_{1}+d\right)^{2}+\left(u_{1}+5 d\right)^{2}=466}\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=13-3 d}&(1) \\ {\left(u_{1}+d\right)^{2}+\left(u_{1}+5 d\right)^{2}=466}&(2)\end{array}\right.$
Thay (1) và (2) ta được: $(13-2 d)^{2}+(13+2 d)^{2}=466 \Leftrightarrow 8 d^{2}+338=466$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{d=4 \Rightarrow u_{1}=1} \\ {d=-4 \Rightarrow u_{1}=25}\end{array}\right.$
Đáp án: C
Cho cấp số cộng có tổng bằng 4 số hạng liên tiếp bằng 22, tổng bình phương của chúng bằng 166. Bốn số hạng của cấp số cộng này là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi 4 số hạng liên tiếp của CSC là $u, u+d, u+2 d, u+3 d$. Theo giả thiết ta có:
$\left\{\begin{array}{l}{u+u+d+u+2 d+u+3 d=22} \\ {u^{2}+(u+d)^{2}+(u+2 d)^{2}+(u+3 d)^{2}=166}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{4 u+6 d=22} \\ {4 u^{2}+12 u d+14 d^{2}=166}\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{2 u+3 d=11} \\ {2 u^{2}+6 u d+7 d^{2}=83}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u=\dfrac{11-3 d}{2}} \\ {\dfrac{9 d^{2}-66 d+121}{2}+6 \dfrac{11-3 d}{2} d+7 d^{2}=83(*)}\end{array}\right.\right.$
$\begin{array}{l}{(*) \Leftrightarrow 9 d^{2}-66 d+121+66 d-18 d^{2}+14 d^{2}=166} \\ {\Leftrightarrow 5 d^{2}=45 \Leftrightarrow d=\pm 3}\end{array}$
$d=3 \Rightarrow u=\frac{11-3.3}{2}=1 \Rightarrow 4$ số hạng cần tìm là 1, 4, 7, 10
$d=-3 \Rightarrow u=\frac{11-3(-3)}{2}=10 \Rightarrow$ 4 số hạng cần tìm là 10, 7, 4, 1
Đáp án: A
Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tamm giác đó là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ba cạnh $a, b, c\quad (a của một tam giác theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu thì
$\left\{\begin{array}{l}{a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {a+b+c=3} \\ {a+c=2 b}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {3 b=3} \\ {a+c=2 b}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {b=1} \\ {a=2 b-c-2-c}\end{array}\right.\right.\right.$
Ta có $^{2}+b^{2}=c^{2} \Rightarrow(2-c)^{2}+1=c^{2} \Leftrightarrow-4 c+5=0 \Leftrightarrow c=\dfrac{5}{4} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}} \\ {b=1} \\ {c=\dfrac{5}{4}}\end{array}\right.$
Đáp án: C
Độ dài của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Nếu trung bình cộng ba cạnh bằng 6 thì công sai của cấp số cộng này là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi 3 cạnh của tam giác vuông là $0< a,b,c $ . Khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}{a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {a+c=2 b} \\ {\dfrac{a+b+c}{3}=6}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {a+c=2 b} \\ {a+b+c=18}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {a+c=2 b} \\ {3 b=18}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{b=6} \\ {a^{2}+36=c^{2}} \\ {a=12-c}\end{array}\right.\right.\right.\right.$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{b=6} \\ {a=12-c}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{b=6} \\ {c=\dfrac{15}{2}} \\ {a=\dfrac{9}{2}}\end{array}\right.\right.} \\ {\Rightarrow d=b-a=6-\dfrac{9}{2}=\dfrac{3}{2}=1,5}\end{array}$
Đáp án: D
Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có các số hạng đều dương, số hạng đầu ${u_1} = 1$ và tổng của 100 số đầu tiên bằng 14950. Tính giá trị của tổng $S = \dfrac{1}{{{u_2}\sqrt {{u_1}} + {u_1}\sqrt {{u_2}} }} + \dfrac{1}{{{u_3}\sqrt {{u_2}} + {u_2}\sqrt {{u_3}} }} + ... + \dfrac{1}{{{u_{2018}}\sqrt {{u_{2017}}} + {u_{2017}}\sqrt {{u_{2018}}} }}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó
${S_{100}} = 100{u_1} + \dfrac{{100.99}}{2}d \Leftrightarrow 100 + 4950d = 14950 \Leftrightarrow d = 3$
Do đó ${u_{2018}} = {u_1} + 2017d = 6052$
Ta có
$\dfrac{1}{{{u_{k + 1}}\sqrt {{u_k}} + {u_k}\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} \left( {\sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k + 1}}} } \right)}} = \dfrac{1}{d}.\dfrac{{\sqrt {{u_{k + 1}}} - \sqrt {{u_k}} }}{{\sqrt {{u_k}} .\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{k + 1}}} }}} \right)$
Do đó
$S = \dfrac{1}{d}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }}} \right) + \dfrac{1}{d}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_3}} }}} \right) + ... + \dfrac{1}{d}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2017}}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right) = \dfrac{1}{d}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {6052} }}} \right)$
Biết $a + b + c = \dfrac{\pi }{2}$ và $\cot a,\cot b,\cot c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tích số $\cot a.\cot c$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a + b + c = \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow a + c = \dfrac{\pi }{2} - b \Leftrightarrow \cot \left( {a + c} \right) = \tan b$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\cot a\cot c - 1}}{{\cot a + \cot c}} = \tan b\left( 1 \right)$
Lại có: $\cot a,\cot b,\cot c$ theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng nên ta có: $\cot a + \cot c = 2\cot b\left( 2 \right)$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được $ \Leftrightarrow \dfrac{{\cot a\cot c - 1}}{{2\cot b}} = \tan b \Leftrightarrow \cot a\cot c - 1 = 2 \Leftrightarrow \cot a\cot c = 3$
Đáp án C