Cho cấp số cộng $ \left(u_{n}\right) $ thỏa $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}+u_{2}+u_{3}=27} \\ {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=275}\end{array}\right.$. Tính $u_{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\n{u_1} + {u_3} = 2{u_2}\\ \Leftrightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} = 3{u_2} = 27\\ \Rightarrow {u_2} = 9\n\end{array}$
Đáp án C
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ thỏa mãn $u_{2}+u_{23}=60$. Tính tổng $S_{24} $ của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$u_{2}+u_{23}=60 \Leftrightarrow\left(u_{1}+d\right)+\left(u_{1}+22 d\right)=60 \Leftrightarrow 2 u_{1}+23 d=60$
Khi đó $S_{24}=\dfrac{24}{2}\left(u_{1}+u_{24}\right)=12\left(u_{1}+\left(u_{1}+23 d\right)\right)=12\left(2 u_{1}+23 d\right)=12.60=720$
Đáp án: C
Cho cấp số cộng $\left(x_{n}\right)$ có $x_{3}+x_{13}=80$. Tính tổng $S_{15}$ của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x_{3}+x_{13}=80 \Leftrightarrow x_{1}+2 d+x_{1}+12 d=80 \Leftrightarrow 2 x_{1}+14 d=80$
$S_{15}=\dfrac{15\left(2 x_{1}+14 d\right)}{2}=\dfrac{15.80}{2}=600$
Đáp án: A
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ có $d=-2$ và $S_{8}=72$. Tìm số hạng đầu tiên $u_{1}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\left\{\begin{array}{l}{d=-2} \\ {72=S_{8}=8 u_{1}+\dfrac{8.7}{2} d}\end{array} \Rightarrow 72=8 u_{1}+28 .(-2) \Leftrightarrow u_{1}=16\right.$
Đáp án: A
Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là $ u_{n}$ có giá trị bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1, d=4} \\ {561=S_{n}=n u_{1}+\dfrac{n(n-1)}{2} d}\end{array} \Rightarrow 561=n+\dfrac{n^{2}-n}{2} \cdot 4 \Leftrightarrow 2 n^{2}-n-561=0 \Leftrightarrow n=17\right.} \\ {u_{n}=u_{17}=u_{1}+16 d=1+16.4=65}\end{array}$
Đáp án: C
Cho cấp số cộng $(u_{n} )$ có công sai $d=2$ và $u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng $\left(u_{n}\right) ?$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=\left(u_{1}+2\right)^{2}+\left(u_{1}+4\right)^{2}+\left(u_{1}+6\right)^{2}=3 u_{1}^{2}+24 u_{1}+56} \\ {=3\left(u_{1}^{2}+8 u_{1}\right)+56=3\left(u_{1}+4\right)^{2}+8 \geq 8}\end{array}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $u_{1}+4=0 \Rightarrow u_{1}=-4$
Số hạng tổng quát $u_{n}=u_{1}+(n-1) d=-4+(n-1) \cdot 2=2 n-6$
Nếu $u_{n}=2018 \Rightarrow 2 n-6=2018 \Leftrightarrow n=1012$
Đáp án: A
Viết các số xen giữa 3 và 24 để được một cấp số cộng có 8 số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=3} \\ {u_{8}=24=u_{1}+7 d}\end{array} \Rightarrow 24=3+7 d \Rightarrow d=3 \Rightarrow\right.$ Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$
Đáp án: A
Cho hai số $-3 \text { và } 23$. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai $d=2$. Tìm n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có $n+2$ số hạng với $u_{1}=-3, u_{n+2}=23$
Khi đó $u_{n+2}=u_{1}+(n+1) d \Leftrightarrow n+1=\dfrac{u_{n+2}-u_{1}}{d}=\dfrac{23-(-3)}{2}=13 \Leftrightarrow n=12$
Đáp án: A
Cho cấp số cộng $ u_{1} ; u_{2} ; u_{3} ; \cdots ; u_{n}$có công sai d, các số hạng của cấp số cộng đều khác 0. Với giá trị nào của d thì dãy số $\dfrac{1}{u_{1}} ; \dfrac{1}{u_{2}} ; \dfrac{1}{u_{3}} ; \cdots ; \dfrac{1}{u_{n}}$ là một cấp số cộng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u_{2}-u_{1}=d} \\ {u_{3}-u_{2}=d}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{1}{u_{2}}-\dfrac{1}{u_{1}}=-\dfrac{d}{u_{1} u_{2}}} \\ {\dfrac{1}{u_{3}}-\dfrac{1}{u_{2}}=-\dfrac{d}{u_{2} u_{3}}}\end{array}\right.\right.$
Theo yêu cầu bài toán ta có $\dfrac{1}{u_{2}}-\dfrac{1}{u_{1}}=\dfrac{1}{u_{3}}-\dfrac{1}{u_{2}}$
Đáp án: B
Cho cấp số cộng $ \left(u_{n}\right)$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{u_{7}-u_{3}=8} \\ {u_{2} u_{7}=75}\end{array}\right.$. Tìm công sai d của cấp số cộng đã cho.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\left\{\begin{array}{l}{u_{7}-u_{3}=8} \\ {u_{2} u_{7}=75}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left(u_{1}+6 d\right)-\left(u_{1}+2 d\right)=8} \\ {\left(u_{1}+d\right)\left(u_{1}+6 d\right)=75}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{d=2} \\ {\left(u_{1}+2\right)\left(u_{1}+12\right)=75}\end{array}\right.\right.\right.$
Đáp án: C
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right) \text { với }\left\{\begin{array}{l}{u_{3}+u_{5}=5} \\ {u_{3} \cdot u_{5}=6}\end{array}\right.$. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\left\{\begin{array}{l}{u_{3}+u_{5}=5} \\ {u_{3} \cdot u_{5}=6}\end{array} \Rightarrow u_{3}, u_{5}\right.$ là nghiệm của phương trình
$X^{2}-5 X+6=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}{X=3} \\ {X=2}\end{array} \Rightarrow\right.$ $\left[\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{u_{3}=3} \\ {u_{5}=2} \\ {u_{3}=2} \\ {u_{5}=3}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
TH1: $\left\{\begin{array}{l}{u_{3}=3} \\ {u_{5}=2}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}+2 d=3} \\ {u_{1}+4 d=2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=4} \\ {d=-\dfrac{1}{2}}\end{array}\right.\right.\right.$
TH2: $\left\{\begin{array}{l}{u_{3}=2} \\ {u_{5}=3}\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}+2 d=2} \\ {u_{1}+4 d=3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {d=\dfrac{1}{2}}\end{array}\right.\right.\right.$
Vậy $ \left[\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {u_{1}=4}\end{array}\right.$
Đáp án: A
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân $0,5 m$. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm. Kí hiệu $h_{n}$ là độ cao bậc thứ n so với mặt sân. Viết công thức để tìm độ cao $h_{n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kí hiệu $h_{n}$ là độ cao bậc thứ n so với mặt sân. Khi đó ta có $ h_{n+1}=h_{n}+0,18(m)$, trong đó $h_{1}=0,5 m$.
Dãy số $\left(h_{n}\right)$ là cấp số cộng có $h_{1}=0,5$ và công sai $d=0,18$. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là $h_{n}=h_{1}+(n-1) d=0,5+(n-1) 0,18=0,18 n+0,32$ (mét)
Đáp án: A
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có ${u_{2013}} + {u_6} = 2019$. Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
Sử dụng mối liên hệ ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ và công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là ${S_n} = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó : ${u_{2013}} + {u_6} = 2019 \Leftrightarrow {u_1} + 2012d + {u_1} + 5d = 2019 \Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 2019$
Ta có ${S_{2018}} = 2018{u_1} + \dfrac{{2017.2018d}}{2} = 1009\left( {2{u_1} + 2017d} \right) = 1009.2019$
Đáp án C
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có ${u_2} = 6$ ; $u_{1 }+ {u_6} = 9$ . Tổng 89 số hạng đầu của cấp số cộng bằng
- Sử dụng mối liên hệ ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ để giải hệ phương trình tìm được số hạng đầu và công sai
- Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${u_2} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 6 \Rightarrow {u_1} = 6 - d (*)$
${u_6} = {u_1} + \left( {6 - 1} \right)d= {u_1} + 5d$
Mặt khác $u_{1} + {u_6}= 9 \Leftrightarrow {u_1} +({u_1}+5d )= 9 \Leftrightarrow 2{u_1} + 5d= 9$
$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( * \right)} 2(6 - d) + 5d = 9 \Leftrightarrow 3d + 3 = 0 \Leftrightarrow d = - 1$
$ \Rightarrow {u_1} = 7$$ \Rightarrow {S_{89}} = 89{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)d}}{2} = - 3382$
Đáp án C
Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là $S_n=4n^2+3n,n \in \mathbb{N}^*$. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số hạng là ${S_n} = \dfrac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${S_n} = \dfrac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = 4{n^2} + 3n \Leftrightarrow {u_1} + {u_n} = 8n + 6$
$ \Rightarrow {u_n} = - {u_1} + 8n + 6$
Mặt khác ${u_1} = {S_1} = 7 \Rightarrow {u_{10}} = - 7 + 8.10 + 6 = 79$
Đáp án C
Có bao nhiêu giá trị thực của $a$ để phương trình $x^4+2(2a+1)x^2-3a=0$ có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=x^2(t \ge 0)$
Phương trình đã cho trở thành $t^2+2(2a+1)t-3a=0(*)$
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình $(*)$ có hai nghiệm dương phân biệt
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\Delta \' > 0\\ - 2\left( {2a + 1} \right) > 0\\ - 3a > 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{a^2} + 7a + 1 > 0\\\n2a + 1 < 0\\\na < 0\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{ - 7 - 3\sqrt 5 }}{2} < a < \dfrac{{ - 7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\\na < - \dfrac{1}{2}\\\na < 0\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7 - 3\sqrt 5 }}{2} < a < - \dfrac{1}{2}\n\end{array}$
Phương trình $(*)$ có 2 nghiệm dương $t_1,t_2(t_1 < t_2)$ nên phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là $ - \sqrt {{t_2}} ; - \sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_1}} ;\sqrt {{t_2}} $
Bốn nghiệm của phương trình lập thành cấp số cộng $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} \\ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \n\end{array} \right. \Rightarrow {t_2} = 9{t_1}$
Theo vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\n{t_1} + {t_2} = - 2\left( {2a + 1} \right)\\\n{t_1}.{t_2} = - 3a\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{t_1} = \dfrac{{ - 2a - 1}}{5}\\\n{t_1}^2 = - 3a\n\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 2a - 1}}{5}} \right)^2} = - 3a \Leftrightarrow 12{a^2} + 37a + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\na = - \dfrac{1}{{12}}\left( L \right)\\\na = - 3\n\end{array} \right.$
Vậy có duy nhất giá trị của tham số $a$
Đáp án B
Cho các số dương $a,b,c$ và dãy số $\dfrac{1}{{b + c}},\dfrac{1}{{a + c}},\dfrac{1}{{b + a}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó dãy số theo thứ tự lập thành cấp số cộng là
+) Sử dụng $2{u_k} = {u_{k + 1}} + {u_{k - 1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có dãy số $\dfrac{1}{{b + c}},\dfrac{1}{{a + c}},\dfrac{1}{{b + a}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{b + a}} = \dfrac{2}{{a + c}} \Leftrightarrow \dfrac{{2b + a + c}}{{{b^2} + bc + ab + ac}} = \dfrac{2}{{a + c}}\\ \Leftrightarrow 2b\left( {a + c} \right) + {\left( {a + c} \right)^2} = 2{b^2} + 2bc + 2ab + 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{b^2}\n\end{array}$
Vậy $a^2,b^2,c^2$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Đáp án D
Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu $u_1$, công sai $d$ và tổng n số hạng đầu tiên là $S_n$ thỏa mãn $\dfrac{{{S_n}}}{{{S_m}}} = {\left( {\dfrac{n}{m}} \right)^2}$ với $m \ne n$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Sử dụng ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d;{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{{S_n}}}{{{S_m}}} = {\left( {\dfrac{n}{m}} \right)^2}$
$\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}} = 4 \Leftrightarrow {u_2} + {u_1} = 4{u_1} \Leftrightarrow d = 2{u_1}$
Đáp án A
Cho ba góc $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c = \dfrac{\pi }{2}$ và $\cot a,\cot b,\cot c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính $S = \cot a.\cot c$
+) Sử dụng công thức $\tan \left( {x + y} \right) = \dfrac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x.\tan y}}$
+) Cấp số cộng có $2u_k=u_{k+1}+u_{k-1}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $a + b + c = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow a + c = \dfrac{\pi }{2} - b \Rightarrow \tan \left( {a + c} \right) = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - b} \right) = \cot b$
$\cot a,\cot b,\cot c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng
$\begin{array}{l} \Rightarrow \cot a + \cot c = 2\cot b \Leftrightarrow \cot a + \cot c = 2\tan \left( {a + c} \right)\\ \Leftrightarrow \cot a + \cot c = 2\dfrac{{\tan a + \tan c}}{{1 - \tan a.\tan c}} \Leftrightarrow \cot a + \cot c = 2.\dfrac{{\dfrac{1}{{\cot a}} + \dfrac{1}{{\cot c}}}}{{1 - \dfrac{1}{{\cot a}}.\dfrac{1}{{\cot c}}}}\\ \Leftrightarrow 1 = \dfrac{2}{{\cot a.\cot c - 1}} \Leftrightarrow S = 3\n\end{array}$
Đáp án A
Cho tam giác $ABC$ có ba góc lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Cấp số cộng có $2u_k=u_{k+1}+u_{k-1}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử tam giác $ABC$ có ba góc $A,B,C$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng $\Rightarrow \widehat A + \widehat C = 2\widehat B$
Mặt khác $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$
$ \Rightarrow 3\widehat B = {180^o} \Leftrightarrow \widehat B = {60^o}$
Đáp án D