Nếu các số $5+m ; 7+2 m ; 17+m$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ba số $5+m ; 7+2 m ; 17+m$ theo thứ tự $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ lập thành cấp số cộng nên
$u_{1}+u_{3}=2 u_{2} \Leftrightarrow(5+m)+(17+m)=2(7+2 m) \Leftrightarrow m=4$
Đáp án: C
Cho các số $-4 ; 1 ; 6 ; x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tìm x
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì các số $-4 ; 1 ; 6 ; x$ theo thứ tự $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$ lập thành cấp số cộng nên
$u_{4}-u_{3}=u_{3}-u_{2} \Rightarrow x-6=6-1 \Leftrightarrow x=11$
Đáp án: C
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ có $u_{2}=2017 $ và $u_{5}=1945$. Tính $u_{2018}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\left\{\begin{array}{l}{u_{2}=2017} \\ {u_{5}=1945}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}+d=2017} \\ {u_{1}+4 d=1945}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=2041} \\ {d=-24}\end{array}\right.\right.\right.} \\ {\Rightarrow u_{2018}=u_{1}+2017 d} \\ {=2041+2017(-24)=-46367}\end{array}$
Đáp án: A
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=-5 \text { và } d=3$. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=-5} \\ {d=3}\end{array} \Rightarrow u_{n}=3 n-8 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{15}=37} \\ {u_{13}=31} \\ {u_{10}=22}\end{array}\right.\right.$
Đáp án: C
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ xác định bởi $u_{3}=-2$ và $u_{n+1}=u_{n}+3, \forall n \in N^{*}$. Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$u_{n+1}=u_{n}+3 \Rightarrow\left(u_{n}\right)$ là CSC có công sai $d=3$
$u_{3}=u_{1}+2 d \Rightarrow u_{1}=u_{3}-2 d=-2-2.3=-8$
Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là $u_{n}=u_{1}+(n-1) d=-8+(n-1) \cdot 3=3 n-11$
Đáp án: A
Cho cấp số cộng $\left(x_{n}\right)$ có $S_{n}=3 n^{2}-2 n$. Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d của cấp số cộng đó
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $S_{1}=3.1-2.1=1=u_{1}, S_{2}=3.2^{2}-2.2=8=u_{1}+u_{2}$
$\Rightarrow u_{2}=7 \Rightarrow d=u_{1}-u_{2}=6$
Đáp án: B
Cho cấp số cộng $\left(u_{n}\right)$ có $u_{1}=-3$ và $d=\dfrac{1}{2}$. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=-3} \\ {d=\dfrac{1}{2}}\end{array} \Rightarrow u_{n}=u_{1}+(n-1) d=-3+\dfrac{1}{2}(n-1)\right.$
Đáp án: C
Trong các dãy thực được cho dưới đây, dãy số nào không phải là cấp số cộng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số $u_{n}=-2^{n}+15$ không có dạng $a n+b$ nên có không phải là cấp số cộng.
Đáp án: D
Cho dãy số $\dfrac{1}{2} ; 0 ;-\dfrac{1}{2} ;-1 ;-\dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng với:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{1}{2} ; 0 ;-\dfrac{1}{2} ;-1 ;-\dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=\dfrac{1}{2}} \\ {u_{2}-u_{1}=-\dfrac{1}{2}=d}\end{array}\right.$
Đáp án: B
Cho dãy số $(u_n)$ với ${u_{n }} = \dfrac{1}{2}n+1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${u_{n + 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {n + 1} \right) + 1 = \dfrac{1}{2}n + 1 + \dfrac{1}{2} = {u_n} + \dfrac{1}{2}\forall n \in N{^*}$
Đáp án C
Cho dãy số $(u_n)$ có ${u_1} = - 3;d = \dfrac{1}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Sử dụng công thức công thức tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Sử dụng công thức công thức tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$ ta có ${u_n} = - 3 + \dfrac{1}{2}\left( {n - 1} \right)$
Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $u_2=3$ và $u_4=7$. Giá trị của $u_{15}$ bằng
Sử dụng mối liên hệ ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ để giải hệ phương trình tìm được số hạng đầu và công sai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_2} = 3\\\n{u_4} = 7\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} + d = 3\\\n{u_1} + 3d = 7\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = 1\\\nd = 2\n\end{array} \right.$
Vậy ${u_{15}} = {u_1} + 14d = 29$
Đáp án D
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=3$ và công sai $d=7$. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của $(u_n)$ đều lớn hơn 2018
Sử dụng mối liên hệ ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ để tìm giá trị $n$ nhỏ nhất thỏa mãn đề bài
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d=3+7(n-1)=7n-4$
Mặt khác ${u_n} > 2018 \Leftrightarrow 7n - 4 > 2018 \Leftrightarrow n > \frac{{2022}}{7}$
Vậy $n=289$
Đáp án B
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có ${u_4} = - 12;{u_{14}} = 18$ . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
- Sử dụng mối liên hệ ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ để giải hệ phương trình tìm được số hạng đầu và công sai
- Tổng n số hạng của cấp số cộng là ${S_n} = \dfrac{{n .\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng.
Theo đề bài ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_4} = - 12\\\n{u_{14}} = 18\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} + 3d = - 12\\\n{u_1} + 13d = 18\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = - 21\\\nd = 3\n\end{array} \right.$
Khi đó ${S_{16}} = \dfrac{{16.\left( {2{u_1} + 15d} \right)}}{2} = 24$
Đáp án D
Cho cấp số cộng $(u_n)$ biết $u_{5}=18$ và $4S_n=S_{2n}$. Công sai d của cấp số cộng bằng
Sử dụng mối liên hệ ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$ để giải hệ phương trình tìm được số hạng đầu và công sai
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18(1)$
Mặt khác $4{S_n} = {S_{2n}} \Rightarrow 4{S_1} = {S_2} \Leftrightarrow 4{u_1} = {u_1} + {u_2} \Leftrightarrow 2{u_1} = d(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $u_1=2;d=4$
Vậy công sai $d=4$
Biết rằng $\sin a,\sin a.\cos a,\cos a$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính $S = \sin a + \cos a$
+) Cấp số cộng có $2u_k=u_{k+1}+u_{k-1}$
+) Đặt $S = \sin a + \cos a (-\sqrt2 \le S \le \sqrt2) \Rightarrow {S^2} = 1 + 2\sin a.\cos a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $S = \sin a + \cos a (-\sqrt2 \le S \le \sqrt2) \Rightarrow {S^2} = 1 + 2\sin a.\cos a$
Theo đề bài ta có $\sin a,\sin a.\cos a,\cos a$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng
$ \Rightarrow \sin a + \cos a = 2\sin a.\cos a$
$ \Rightarrow S = {S^2} - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nS = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\\nS = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( L \right)\n\end{array} \right.$
Đáp án D
Số đo ba góc của một tam giác vuông theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Số đo của góc nhỏ nhất trong tam giác là
-Sử dụng cấp số cộng
- Tổng 3 góc của 1 tam giác luôn bằng 180
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kí hiệu A, B, C là số đo 3 góc ( tính theo đơn vị đo) của tam giác vuông đã cho.
Không mất tính tổng quát giả sử $A \le B \le C$
Khi đó $C=90^o$ và A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} A + C = 2B\\ A + B + C = 180 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A + 90 = 2B\\ A + B = 90 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 30\\ B = 60 \end{array} \right.$
Đáp án B
Cho $S=64+70+76+...+202+208$. Tính S
Sử dụng công thức tính tổng cấp số cộng $S = \dfrac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có S là tổng cấp số cộng với $u_1=64$, $q=70-64=6$
${u_n} = 208 = 64 + \left( {n - 1} \right).6 \Leftrightarrow n = 25$
$\Rightarrow S = \dfrac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = \dfrac{{25}}{2}\left( {64 + 208} \right) = 3400$
Đáp án B
Ba số $10;25;40$ có thể là:
Khoảng cách giữa ba số đều nhau thì ba số là ba số hạng của một cấp số cộng nào đó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Khoảng cách giữa 3 số đều là 15 nên ba số trên là ba số hạng của một cấp số cộng nào đó.
Đáp án C
Chu vi của một đa giác là 213 cm, số đo các cạnh của nó hợp thành một cấp số cộng công sai $d=7cm$ và cạnh lớn nhất bằng $53cm$. Tính số cạnh của đa giác đó?
Sử dụng công thức ${S_n} = \dfrac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right);{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi ${u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n}$ là độ dài các cạnh của đa giác.
Ta có
$\begin{array}{l}\n\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {S_n} = 213\\\nd = 7\\\n{u_n} = 53\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = 213\\\nd = 7\\\n{u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 53\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nn\left( {{u_1} + 53} \right) = 426\\\n{u_1} + 7\left( {n - 1} \right) = 53\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow n\left[ {53 - 7\left( {n - 1} \right) + 53} \right] = 426 \Leftrightarrow n\left( {113 - 7n} \right) = 426 \Leftrightarrow n = 6\n\end{array}$
Đáp án C