Cho hàm số $y=\dfrac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}$. Khi đó $y^{\prime}(0)$ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}-x \dfrac{-x}{\sqrt{4-x^{2}}}}{\left(\sqrt{4-x^{2}}\right)^{2}}=\dfrac{4}{\left(\sqrt{4-x^{2}}\right)^{3}}$
$\Rightarrow y^{\prime}(0)=\dfrac{1}{2}$
Đáp án: A
Đạo hàm của hàm số $f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{4}$ tại $x=-1$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y^{\prime}=4\left(x^{2}+1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)^{\prime}=8 x\left(x^{2}+1\right)^{3}$
Khi đó $y^{\prime}(-1)=8 .(-1)\left[(-1)^{2}+1\right]^{3}=-64$
Đáp án: C
Cho hàm số $y=\dfrac{2 x^{2}+3 x-1}{x^{2}-5 x+2}$. Đạo hàm y' của hàm số là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{y^{\prime}=\dfrac{\left(2 x^{2}+3 x-1\right)^{\prime}\left(x^{2}-5 x+2\right)-\left(2 x^{2}+3 x-1\right)\left(x^{2}-5 x+2\right)^{\prime}}{\left(x^{2}-5 x+2\right)^{2}}} \\ {y^{\prime}=\dfrac{(4 x+3)\left(x^{2}-5 x+2\right)-\left(2 x^{2}+3 x-1\right)(2 x-5)}{\left(x^{2}-5 x+2\right)^{2}}} \\ {y^{\prime}=\dfrac{4 x^{3}-20 x^{2}+8 x+3 x^{2}-15 x+6-4 x^{3}-6 x^{2}+2 x+10 x^{2}+15 x-5}{\left(x^{2}-5 x+2\right)^{2}}}\end{array}$
$y^{\prime}=\dfrac{-13 x^{2}+10 x+1}{\left(x^{2}-5 x+2\right)^{2}}$
Đáp án: D
Tính đạo hàm của hàm số $y=\left(x^{7}+x\right)^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{y=\left(x^{7}+x\right)^{2}=x^{14}+2 x^{8}+x^{2}} \\ {\Rightarrow y^{\prime}=14 x^{13}+2.8 x^{7}+2 x} \\ {y^{\prime}=14 x^{13}+16 x^{7}+2 x} \\ {y^{\prime}=2\left(7 x^{13}+8 x^{7}+x\right)}\end{array}$
$y^{\prime}=2\left(x^{7}+x\right)\left(7 x^{6}+1\right)$
Đáp án: D
Hàm số $y=\dfrac{(x-2)^{2}}{1-x}$ có đạo hàm là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{2(x-2)(1-x)-(x-2)^{2}(-1)}{(1-x)^{2}}=\dfrac{-x^{2}+2 x}{(1-x)^{2}}$
Đáp án: A
Tính đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}$ ta được:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{c}{y^{\prime}=\dfrac{\left(x^{2}-x+1\right)^{\prime}(x-1)-\left(x^{2}-x+1\right)(x-1)^{\prime}}{(x-1)^{2}}} \\ {=\dfrac{(2 x-1)(x-1)-\left(x^{2}-x+1\right)}{(x-1)^{2}}}\end{array}$
$=\dfrac{2 x^{2}-2 x-x+1-x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x^{2}-2 x}{(x-1)^{2}}$
Đáp án: A
Cho hàm số $f(x)=\tan \left(x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)$. Giá trị $f^{\prime}(0)$ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t = x - \dfrac{{2\pi }}{3}$ khi $x=0$ thì $t = - \dfrac{{2\pi }}{3}$
Ta có $f\left( t \right) = \tan t \Rightarrow f\'\left( t \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}t}}$
Nên $f\'\left( {\dfrac{{ - 2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3}} \right)}} = 4$
Đáp án B
Cho hàm số $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1$. Đạo hàm của hàm số $f(x)$ âm khi và chỉ khi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có: $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-3.2 x=3 x^{2}-6 x$
Đạo hàm âm nên $f\'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$
Đáp án: A
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{{x - 1}}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Xét từng phương án
+) $f\'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\'\left( { - {1^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{2x}}{{x - 1}} = 1$
$f\'\left( { - {1^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} 2 = 2$
$ \Rightarrow f\'\left( { - {1^ + }} \right) \ne f\'\left( { - {1^ - }} \right) \Rightarrow f\left( x \right)$ không có đạo hàm tại $x=-1$
Đáp án D
Cho hàm số $y = {\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 9}}} \right)^5}$. Giá trị nhỏ nhất của $y\'$ là
Sử dụng ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u\';\left( {\dfrac{u}{v}} \right)\' = \dfrac{{u\'v - uv\'}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định $x \ne -9$
Ta có $y = {\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 9}}} \right)^5} \Rightarrow y\' = 5.{\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 9}}} \right)^4}.\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 9}}} \right)\' = 5.{\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 9}}} \right)^4}.\dfrac{{12}}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}}$
${\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 9}}} \right)^2} \ge 0;\dfrac{1}{{{{\left( {x + 9} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow y\' \ge 0$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $y\'$ là 0 khi $x=3$
Đáp án A
Giá trị của đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{x - m}}} $ $( m < -1)$tại điểm $x=1$ là
Sử dụng công thức ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định $\left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\ x < m \end{array} \right.$
Ta có
$\begin{array}{l} y = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{x - m}}} = {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{{x - m}}} \right)^{\dfrac{1}{2}}}\\ \Rightarrow y’ = \dfrac{1}{{2\sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{x - m}}} }}.\left( {\dfrac{{{x^3}}}{{x - m}}} \right)’ = \dfrac{1}{{2\sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{x - m}}} }}.\dfrac{{2{x^3} - 3m{x}}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \end{array}$
$ \Rightarrow y{’_1} = \dfrac{{\left( {2 - 3m} \right)\sqrt {1 - m} }}{{{{2\left( {1 - m} \right)}^2}}}$
Đáp án A
Biết đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} $ là hàm số $f\'\left( x \right) = \dfrac{{a{{\left( {2 - 5x} \right)}^2}}}{{b\sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} }}$( $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản, $b> 0$ ). Tính tích $P=a.b$
+) Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)\' = n.{u^{n - 1}}.u\'$
+) Đồng nhất hệ số để tìm a,b
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định $x< \dfrac{2}{5}$
Ta có $f\left( x \right) = \sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} = {\left( {2 - 5x} \right)^{\dfrac{3}{2}}}$
$ \Rightarrow f\'\left( x \right) = \dfrac{3}{2}.{\left( {2 - 5x} \right)^{\dfrac{1}{2}}}.\left( {2 - 5x} \right)\' = - \dfrac{{15}}{2}.{\left( {2 - 5x} \right)^{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{ - 15{{\left( {2 - 5x} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{{\left( {2 - 5x} \right)}^3}} }}$
Vậy $a = - 15,b = 2 \Rightarrow P = a.b = - 30$
Đáp án C
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên tập số thực, biết $f\left( {4 - 2x - {x^2}} \right) = {x^3} + 5x - 9$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)\' = n.{u^{n - 1}}.u\';f\left( u \right)\' = u\'f\'\left( u \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( {4 - 2x - {x^2}} \right) = {x^3} + 5x - 9 \Rightarrow \left( { - 2 - 2x} \right)f\'\left( {4 - 2x - {x^2}} \right) = 3{x^2} + 5$
Để tính $f\'\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4 - 2x - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\nx = 1\\\nx = - 3\n\end{array} \right.$
$x = - 3 \Rightarrow 4f\'\left( 1 \right) = 32 \Rightarrow f\'\left( 1 \right) = 8$
$x = 1 \Rightarrow - 4f\'\left( 1 \right) = 8 \Rightarrow f\'\left( 1 \right) = - 2$
Vậy hàm số không có đạo hàm tại $x=1$
Đáp án D
Hàm số $\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{x}$ có đạo hàm $y\' = \dfrac{{ax + b}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}$. Tìm $\max \{a ,b \}$
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)\' = n.{u^{n - 1}}.u\';\left( {\dfrac{u}{v}} \right)\' = \dfrac{{u\'v - uv\'}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{x} \Rightarrow y\' = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 3} } \right)\'.x - \sqrt {{x^2} + 2x + 3} .\left( x \right)\'}}{{{x^2}}} = \dfrac{{\dfrac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}.x - \sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}{{{x^2}}}$
$ = \dfrac{{{x^2} + x - \left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }} = \dfrac{{ - x - 3}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 2x + 3} }}$
Vậy $\max \{a ,b \}=-1$
Đáp án B
Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^5} + {m^2}{x^2} - 12mx + 9$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để $f’\left(1 \right) \le 0$
+) Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
+) Tính đạo hàm tại $x=1$ rồi giải bất phương trình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = 2{x^5} + {m^2}{x^2} - 12mx + 10 \Rightarrow f’\left( x \right) = 10{x^4} + 2{m^2}x - 12m$
$ \Rightarrow f’\left( 1 \right) = 10 + 2{m^2} - 12m \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 5$
Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{x - 1}}$. Tập nghiệm của bất phương trình $f’(x)> 0$ là
Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}};\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tập xác định $D = \mathbb{R} \backslash \{ 1\}$
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{1 - 3x + {x^2}}}{{x - 1}} = x - 1 - \dfrac{x}{{x - 1}}$
$\Rightarrow f’\left( x \right) = 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0\left( {\forall x \in D} \right)$
Đáp án A
Cho hàm số $f\left( x \right) = 2mx - m{x^3}$. Số $x=1$ là nghiệm của bất phương trình $f’\left(x \right) \le 1$ khi và chỉ khi
+) Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
+) Giải bất phương trình ẩn m với điều kiện $f’(1) \le 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = 2mx - m{x^3} \Rightarrow f’\left( x \right) = 2m - 3m{x^2}$
Số $x=1$ là nghiệm của bất phương trình $f’\left( x \right) \le 1$ $ \Leftrightarrow f’\left( 1 \right) \le 1 \Leftrightarrow 2m - 3m \le 1 \Leftrightarrow m \ge - 1$
Đáp án D
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)$ có đạo hàm bằng 5 tại $x=1$ và đạo hàm bằng 7 tại $x=2$. Tính đạo hàm của hàm số $f(x)-f(4x)$ tại $x=1$
+) Sử dụng công thức đạo hàm $\left( {f\left( {u\left( x \right)} \right)} \right)\' = f\'\left( {u\left( x \right)} \right).u\'\left( x \right)$
+) Tìm mối liên hệ giữa đạo hàm tại 2 điểm đã cho
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left( {f\left( x \right) - f\left( {2x} \right)} \right)\' = f\'\left( x \right) - 2f\'\left( {2x} \right);\left( {f\left( x \right) - f\left( {4x} \right)} \right)\' = f\'\left( x \right) - 4f\'\left( {4x} \right)$
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}\nf\'\left( 1 \right) - 2f\'\left( 2 \right) = 5\\\nf\'\left( 2 \right) - 2f\'\left( 4 \right) = 7\n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nf\'\left( 1 \right) - 2f\'\left( 2 \right) = 5\\\n2f\'\left( 2 \right) - 4f\'\left( 4 \right) = 14\n\end{array} \right. \Rightarrow f\'\left( 1 \right) - 4f\'\left( 4 \right) = 19$
Vậy hàm số $f(x)-f(4x)$ có đạo hàm tại $x=1$ bằng 19
Đáp án D
Biết hàm số $f(x)=ax^4+bx^2+c$ có $f’(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Sử dụng công thức đạo hàm để tính ra $f’(x)$
- Lý luận nghiệm đối với 2 tham số $a,b$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f’\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx = 0$
$ \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}} \end{array} \right.$
Để $f’(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow - \dfrac{b}{{2a}} > 0 \Leftrightarrow ab < 0$
Đáp án B
Cho hàm số $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ với $a < b < c$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Sử dụng đạo hàm tích tính ra được $f\'\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - a} \right)\left( {x - c} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\'\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - a} \right)\left( {x - c} \right)$
$\dfrac{1}{{f\'\left( a \right)}} + \dfrac{1}{{f\'\left( b \right)}} + \dfrac{1}{{f\'\left( c \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}$
$= \dfrac{{ - \left( {b - c} \right) - \left( {c - a} \right) - \left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 0$
Đáp án A