Tính đạo hàm của hàm số sau: $y=x^{4}-3 x^{2}+2 x-1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y=x^{4}-3 x^{2}+2 x-1 \Rightarrow y^{\prime}=4 x^{3}-3.2 x+2=4 x^{3}-6 x+2$
Đáp án: D
Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=-x^{4}+4 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1$ tại điểm $x=-1$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f^{\prime}(x)=-4 x^{3}+12 x^{2}-6 x+2$
Suy ra $f^{\prime}(-1)=-4(-1)^{3}+12(-1)^{2}-6(-1)+2=24$
Đáp án: D
Cho hàm số $y=\dfrac{x^{2}+x}{x-2}$ đạo hàm của hàm số tại $x=1$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{(2 x+1)(x-2)-\left(x^{2}+x\right)}{(x-2)^{2}}=\dfrac{x^{2}-4 x-2}{(x-2)^{2}}$
$\Rightarrow y^{\prime}(1)=-5$
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ bởi $f(x)=\sqrt{x^{2}}$. Giá trị $f^{\prime}(0)$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f^{\prime}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}}}$
$\Rightarrow f^{\prime}(x)$ không xác định tại $x=0$
$\Rightarrow f^{\prime}(0)$ không có đạo hàm tại $x=0$
Đáp án: D
Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{2}}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{y=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-3}-x^{-2}} \\ {\Rightarrow y^{\prime}=-3 x^{-4}-(-2) x^{-3}=\dfrac{-3}{x^{4}}+\dfrac{2}{x^{3}}}\end{array}$
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \backslash\{1\}$ bởi $f(x)=\dfrac{2 x}{x-1}$. Giá trị của $f^{\prime}(-1)$ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f^{\prime}(x)=\dfrac{2(x-1)-2 x}{(x-1)^{2}}=\dfrac{-2}{(x-1)^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(-1)=-\dfrac{1}{2}$
Đáp án: B
Tính đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{2 x+5}{x^{2}+3 x+3}$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y^{\prime}=\dfrac{(2 x+5)^{\prime}\left(x^{2}+3 x+3\right)-(2 x+5)\left(x^{2}+3 x+3\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+3 x+3\right)^{2}}$
$=\dfrac{2\left(x^{2}+3 x+3\right)-(2 x+5)(2 x+3)}{\left(x^{2}+3 x+3\right)^{2}}=\dfrac{-2 x^{2}-10 x-9}{\left(x^{2}+3 x+3\right)^{2}}$
Đáp án: B
Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{a x+b}{c x+d}(a c \neq 0)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=\dfrac{(a x+b)^{\prime}(c x+d)-(a x+b)(c x+d)^{\prime}}{(c x+d)^{2}}=\dfrac{a(c x+d)-c(a x+b)}{(c x+d)^{2}}$
$=\dfrac{a c x+a d-a c x-b c}{(c x+d)^{2}}=\dfrac{a d-b c}{(c x+d)^{2}}$
Đáp án: B
Đạo hàm của hàm số $y=x^3+3x+6$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y=x^3+3x+6$ nên $y\'=3x^2+3$
Đáp án: C
Đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{1}{x \sqrt{x}}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y=\dfrac{1}{x \sqrt{x}}=\frac{1}{x \cdot x^{\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{1}{x^{1+\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=x^{-\frac{3}{2}}$
$\Rightarrow y^{\prime}=-\dfrac{3}{2} x^{-\frac{3}{2}-1}=-\dfrac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}}=-\dfrac{3}{2} \dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=-\dfrac{3}{2} \dfrac{1}{x^{2} \sqrt{x}}$
Đáp án: D
Hàm số $y=\dfrac{2 x+1}{x-1}$ có đạo hàm là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\displaystyle y^{\prime}=\frac{2(x-1)-(2 x+1)}{(x-1)^{2}}=\frac{-3}{(x-1)^{2}}$
Đáp án: C
Cho hàm số $y = {x^4} + 6{x^2} + 1$. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm -2
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l} y = {x^4} + 6{x^2} + 1 \Rightarrow y’ = 4{x^3} + 12x\\ \Rightarrow y’\left( { - 2} \right) =- 56 \end{array}$
Đáp án C
Hàm số $y=x^6+x+2$ có đạo hàm là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y\'=6x^5+1$
Đáp án A
Tính đạo hàm của hàm số $y = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{\sqrt x }}{2} + 2$ tại $x=4$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $x > 0$
Ta có $y\' = \dfrac{{ - 1}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{4\sqrt x }}$
$y\'(4)=\dfrac{1}{16}$
Đáp án C
Đạo hàm của hàm số $y = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {2 - x} \right)$ là
Sử dụng công thức ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {2 - x} \right) = - {x^3} - {x^2} + 6x$
$ \Rightarrow y\' = - 3{x^2} - 2x + 6$
Đáp án D
Đạo hàm của hàm số $y = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - 1} \right)$
Sử dụng công thức ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - 1} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \sqrt x = {x^{ - \dfrac{1}{2}}} - {x^{\dfrac{1}{2}}}$
$ \Rightarrow y\' = - \dfrac{1}{{2x\sqrt x }} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}$
Đáp án D
Giá trị của đạo hàm của hàm số $y = {\left( {3 - 2{x^2}} \right)^4}$ tại điểm $x=1$ là
Sử dụng công thức ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = {\left( {3 - 2{x^2}} \right)^4} = {\left( {2{x^2} - 3} \right)^4}$
$ \Rightarrow y\' = 4.{\left( {2{x^2} - 3} \right)^3}.{\left( {2{x^2} - 3} \right)^\prime } = 16x{\left( {2{x^2} - 3} \right)^3}$
$ \Rightarrow y{\'_1} = - 16$
Đáp án C
Cho hàm số $y = {\left( {\dfrac{{x - 1}}{{2x + 3}}} \right)^3}$. Phương trình $y’= 0$ có bao nhiêu nghiệm?
+) Sử dụng công thức ${\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u’;\left( {\dfrac{u}{v}} \right)’ = \dfrac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện xác định là $x \ne - \dfrac{3}{2}$
Ta có $y = {\left( {\dfrac{{x - 1}}{{2x + 3}}} \right)^3} \Rightarrow y’ = 3.{\left( {\dfrac{{x - 1}}{{2x + 3}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{x - 1}}{{2x + 3}}} \right)^\prime } = 3.{\left( {\dfrac{{x - 1}}{{2x + 3}}} \right)^2}.\dfrac{5}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}$
$ \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Đáp án B
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - {m^2}{x^2} + 2mx + 5$( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để $f’\left(1\right) = - 1$
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y = f\left( x \right) = {x^3} - {m^2}{x^2} + 2mx + 5$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2} - 2{m^2}x + 2m$
$ \Rightarrow f’\left( 1 \right) = - 2 \Leftrightarrow - 2{m^2} + 2m + 3 = - 1 \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 2 \end{array} \right.$
Vậy có 2 giá trị nguyên tham số m
Đáp án A
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên tập số thực, biết $f\left( {3 - x} \right) = {x^2} + x$. Giá trị của $f’(2)$ là
Sử dụng công thức $\left( {{u^n}} \right)’ = n.{u^{n - 1}}.u’;f\left( u \right)’ = u’f’\left( u \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( {3 - x} \right) = {x^2} + x \Rightarrow - f’\left( {3 - x} \right) = 2x + 1$
$ \Leftrightarrow f’\left( {3 - x} \right) = - 2x - 1 \Rightarrow f’\left( 2 \right) = - 3$
Đáp án B