Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình $\sin \left[\frac{\pi}{4}\left(3 x-\sqrt{9 x^{2}-16 x-80}\right)\right]=0$
Sử dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $9 x^{2}-16 x-80 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 4$
Phương trình $\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}\left(3 x-\sqrt{9 x^{2}-16 x-80}\right)=k \pi, k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow 3 x-\sqrt{9 x^{2}-16 x-80}=4 k \Leftrightarrow \sqrt{9 x^{2}-16 x-80}=3 x-4 k$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \geq \frac{4 k}{3}} \\ {9 x^{2}-16 x-80=(3 x-4 k)^{2}}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \geq \frac{4 k}{3}} \\ {x=\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2}}\end{array}\right.\right.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \geq \frac{4 k}{3}} \\ {x=\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \geq 4} \\ {\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \in \mathbb{Z}}\end{array}\right.$
Ta có : $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \geq \frac{4 k}{3}} \\ { x=\frac{2 k^{2}+10}{3 k-2} \geq 4}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\frac{-6 k^{2}+8 k+30}{3 k-2} \geq 0} \\ {\frac{2 k^{2}-12 k+18}{3 k-2} \geq 0}\end{array} \Leftrightarrow \frac{2}{3}< k \leq 3\right.\right.$
Vì $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k=1,2,3$
$\begin{array}{l}{* k=1 \Rightarrow \frac{2 k^{2}+10}{3 k-2}=12 \in \mathbb{Z}} \\ {* k=2 \Rightarrow \frac{2 k^{2}+10}{3 k-2}=\frac{9}{2} \notin \mathbb{Z}} \\ {* k=3 \Rightarrow \frac{2 k^{2}+10}{3 k-2}=4 \in \mathbb{Z}}\end{array}$
Kết hợp điều kiện ta có $x=4, x=12$ là nghiệm của phương trình
Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình $\cos \pi\left(3-\sqrt{3+2 x-x^{2}}\right)=-1$
Sử dụng của phương trình $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $3+2 x-x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow-1 \leq x \leq 3$
Phương trình $\Leftrightarrow \pi\left(3-\sqrt{3+2 x-x^{2}}\right)=\pi+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2-2 k=\sqrt{3+2 x-x^{2}}$
Ta có : $0 \leq \sqrt{4-(1-x)^{2}} \leq 2$ và $2-2 k$ là số chẵn nên các nghiệm nguyên dương là 1;3
Vậy phương trình có 2 nghiệm nguyên dương
Cho phương trình $\cos x \cdot \cos 7 x=\cos 3 x \cos 5 x (1)$
Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình $(1)$
Sử dụng công thức biến tích thành tổng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\cos x \cdot \cos 7 x=\cos 3 x \cos 5 x \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cos 6 x+\cos 8 x)=\frac{1}{2}(\cos 2 x+\cos 8 x)} \\ {\Leftrightarrow \cos 6 x-\cos 2 x=0 \Leftrightarrow-2 \sin 4 x \cdot \sin 2 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\sin 4 x=0} \\ {\sin 2 x=0}\end{array}\right.}\end{array}$
$\Leftrightarrow \sin 4 x=0$ (Do $\sin 4 x=2 \sin 2 x \cos 2 x$ )
Tìm số nghiệm $x \in[0 ; 14]$ nghiệm đúng phương trình $\cos 3 x-4 \cos 2 x+3 \cos x-4=0$
Sử dụng công thức nhân đôi và nhân ba
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
Phương trình $\Leftrightarrow 4 \cos ^{3} x-3 \cos x-4\left(2 \cos ^{2} x-1\right)+3 \cos x-4=0$
$\Leftrightarrow 4 \cos ^{3} x-8 \cos ^{2} x=0 \Leftrightarrow \cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi$
Vì $x \in[0 ; 14] \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{3 \pi}{2}, x=\frac{5 \pi}{2}, x=\frac{7 \pi}{2}$
Giải phương trình $4\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)+2\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)=8-4 \cos ^{2} 2 x$
Sử dụng công thức hạ bậc
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$4\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right)+2\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)=8-4 \cos ^{2} 2 x$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 4\left(1-3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right)+2\left(1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right)=8-4 \cos ^{2} 2 x} \\ {\Leftrightarrow 6-4 \sin ^{2} 2 x=8-4 \cos ^{2} 2 x} \\ {\Leftrightarrow \cos 4 x=\frac{1}{2}}\end{array}$
$\Leftrightarrow 4 x=\pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{12}+\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$
Giải phương trình $\sin x \cdot \cos x(1+\tan x)(1+\cot x)=1$
Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{\sin x \neq 0} \\ {\cos x \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \frac{\pi}{2}\right.$
Phương trình $\Leftrightarrow \sin x \cdot \cos x\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}\right)=1$
$\Leftrightarrow(\sin x+\cos x)^{2}=1 \Leftrightarrow \sin 2 x=0$
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình vô nghiệm
Phương trình $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\tan \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)=3 \sqrt{3}$ tương đương với phương trình nào sau đây?
sử dụng công thức nhân ba $\tan 3 a=\frac{3 \tan a-\tan ^{3} a}{1-3 \tan ^{2} a}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
Phương trình $\tan x+\frac{\tan x+\tan \frac{\pi}{3}}{1-\tan x \tan \frac{\pi}{3}}+\frac{\tan x+\tan \frac{2 \pi}{3}}{1-\tan x \tan \frac{2 \pi}{3}}=3 \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan x+\frac{\tan x+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} \tan x}+\frac{\tan x-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3} \tan x}=3 \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \frac{\tan x\left(1-3 \tan ^{2} x\right)+(\tan x+\sqrt{3})(1+\sqrt{3} \tan x)+(\tan x-\sqrt{3})(1-\sqrt{3} \tan x)}{1-3 \tan ^{2} x}=3 \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \frac{\tan x-3 \tan ^{3} x+\tan x+\sqrt{3} \tan ^{2} x+\sqrt{3}+3 \tan x+\tan x-\sqrt{3} \tan ^{2} x-\sqrt{3}+3 \tan x}{1-3 \tan ^{2} x}=3 \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \frac{9 \tan x-3 \tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}=3 \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x}=\sqrt{3} \Leftrightarrow \tan 3 x=\sqrt{3}$
Phương trình $\sin ^{6} x+\cos ^{6} x=\frac{7}{16}$ có nghiệm là
Sử dụng công thức hạ bậc
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x=\frac{7}{16} \Leftrightarrow 1-\frac{3}{4} \sin ^{2} 2 x=\frac{7}{16}} \\ {\Leftrightarrow \sin ^{2} 2 x=\frac{3}{4} \Leftrightarrow \cos 4 x=\frac{-1}{2} \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+k \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}}\end{array}$
Số nghiệm thuộc khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$ của phương trình $\sin ^{3} x \cdot \cos 3 x+\cos ^{3} x \cdot \sin 3 x=\frac{3}{8}$ là
Sử dụng công thức nhân ba
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
Phương trình $\Leftrightarrow \sin ^{3} x \cdot \cos 3 x+\cos ^{3} x \cdot \sin 3 x=\frac{3}{8}$
$\Leftrightarrow \sin ^{3} x\left(4 \cos ^{3} x-3 \cos x\right)+\cos ^{3} x\left(3 \sin x-4 \sin ^{3} x\right)=\frac{3}{8}$
$\Leftrightarrow 8 \sin x \cos x\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)=1 \Leftrightarrow 4 \sin 2 x \cdot \cos 2 x=1 \Leftrightarrow \sin 4 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{24}+\frac{k \pi}{2}} \\ {x=\frac{5 \pi}{24}+\frac{k \pi}{2}}\end{array}\right.$
Do $x \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$ nên nghiệm thuộc khoảng $\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)$ của phương trình là $\frac{\pi}{24}, \frac{5 \pi}{24}$
Phương trình $2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x}$ có nghiệm là
Sử dụng công thức nhân ba
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x \geq 0$
Ta có:
$\begin{array}{l}{2 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x} \Leftrightarrow 4 \sin ^{2}\left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)=1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x} \\ {\Leftrightarrow 2\left[1-\cos \left(6 x+\frac{\pi}{2}\right)\right]=1+8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x \Leftrightarrow 8 \sin 2 x \cdot \cos ^{2} 2 x-2 \sin 6 x-1=0} \\ {\Leftrightarrow 8 \sin 2 x\left(1-\sin ^{2} 2 x\right)-2\left(3 \sin 2 x-4 \sin ^{3} 2 x\right)-1=0 \Leftrightarrow 2 \sin 2 x-1=0}\end{array}$
$\Leftrightarrow \sin 2 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{12}+k \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi}\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.$
Thử lại điều kiện $\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{12}+k \pi} \\ {x=\frac{5 \pi}{12}+k \pi}\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.$ đều thỏa mãn