Nghiệm của phương trình $\sin 3 x=\cos x$ là:
Sử dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\sin 3 x=\cos x \Leftrightarrow \sin 3 x=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{3 x=\frac{\pi}{2}-x+k 2 \pi} \\ {3 x=\pi-\frac{\pi}{2}+x+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{4 x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi} \\ {2 x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi}\end{array}\right.\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\frac{\pi}{8}+k \frac{\pi}{2}} \\ {x=\frac{\pi}{4}+k \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Số nghiệm của phương trình $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$ thuộc khoảng $(\pi, 8 \pi)$ là
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k \pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi ; k \in \mathbb{Z}$
Vì $x \in(\pi, 8 \pi)$ nên $ \dfrac{\pi}{2}+k 2 \pi < x <8 \pi \Leftrightarrow \frac{1}{4}< k<\frac{15}{4} ; k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k=1 ; 2 ; 3 \Rightarrow x=\frac{5 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}, \frac{13 \pi}{2}$
Vậy phương trình có 3 nghiệm
Nghiệm của phương trình $\cos x+\sin x=0$ là :
Áp dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\cos x+\sin x=0 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{4}=k \pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k \pi(k \in Z)$
Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin 4 x+\cos 5 x=0$ là
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\sin 4 x+\cos 5 x=0 \Leftrightarrow \cos 5 x=-\sin 4 x} \\ {\Leftrightarrow \cos 5 x=\cos \left(\frac{\pi}{2}+4 x\right) \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{5 x=\frac{\pi}{2}+4 x+k 2 \pi} \\ {5 x=-\frac{\pi}{2}-4 x+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi} \\ {x=-\frac{\pi}{18}+k \frac{2 \pi}{9}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.}\end{array}$
Với nghiệm $x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi$ ta có nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là $-\frac{3 \pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2} $
Với nghiệm $x=-\frac{\pi}{18}+k \frac{2 \pi}{9}$ ta có nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là $-\frac{\pi}{18}$ ; $\frac{\pi}{6}$
Vậy hai nghiệm thỏa mãn đề bài là $x=-\frac{\pi}{18} ; x=\frac{\pi}{6}$
Trên $[0 ; 2 \pi)$ phương trình $\cos 2 x+\sin x=0$ có tập nghiệm là
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\cos 2 x+\sin x=0 \Leftrightarrow \cos 2 x=-\sin x \Leftrightarrow \cos 2 x=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{2 x=x+\frac{\pi}{2}+k 2 \pi} \\ {2 x=-x-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi} \\ {x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k 2 \pi}{3}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.}\end{array}$
Mà $x \in[0 ; 2 \pi) \Rightarrow x \in\left\{\frac{\pi}{2} ; \frac{7 \pi}{6} ; \frac{11 \pi}{6}\right\}$
Nghiệm của phương trình $\sin x \cos x=0$ là
Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\sin x \cdot \cos x=0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 2 x=0 \Leftrightarrow \sin 2 x=0 \Leftrightarrow 2 x=k \pi \Leftrightarrow x=k \frac{\pi}{2}(k \in Z)$
Các họ nghiệm của phương trình $\sin 2 x-\cos x=0$ là
Sử dụng công thức nhân đôi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\sin 2 x-\cos x=0 \Leftrightarrow \cos x(2 \sin x-1)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{\cos x=0} \\ {\sin x=\frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+k \pi} \\ {x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})} \\ {x=\frac{5 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array}\right.\right.$
Nghiệm của phương trình $\tan \left(x+\frac{\pi}{5}\right)+\sqrt{3}=0$
Sử dụng công thức $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi(k \in Z)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\tan \left(x+\frac{\pi}{5}\right)+\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{5}=-\frac{\pi}{3}+k \pi \Leftrightarrow x=-\frac{8 \pi}{15}+k \pi ; k \in \mathbb{Z}$
Phương trình $\tan x=\tan \frac{x}{2}$ có nghiệm là
Sử dụng công thức $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi(k \in Z)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \Leftrightarrow x \neq \pi+k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})$
Ta có $x=\tan \frac{x}{2} \Leftrightarrow x=\frac{x}{2}+k \pi \Leftrightarrow x=k 2 \pi(k \in \mathbb{Z})$
Nghiệm của phương trình $\sqrt{3} \tan 3 x-3=0$ với $k \in \mathbb{Z}$ là
Sử dụng công thức $\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha+k \pi(k \in Z)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ta có
$\sqrt{3} \tan 3 x-3=0 \Leftrightarrow \tan 3 x=\sqrt{3} \Leftrightarrow 3 x=\frac{\pi}{3}+k \pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{9}+k \frac{\pi}{3},(k \in \mathbb{Z})$
Nghiệm của phương trình $\tan x=4$ là
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\tan x=\alpha \Leftrightarrow x=\arctan \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\tan x=4 \Leftrightarrow x=\arctan 4+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Nghiệm của phương trình $3 \tan \frac{x}{4}-\sqrt{3}=0$ trong nửa khoảng $[0 ; 2 \pi)$ là
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\tan x=\alpha \Leftrightarrow x=\arctan \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$3 \tan \frac{x}{4}-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{4}=\frac{\pi}{6}+k \pi \Leftrightarrow x=\frac{2 \pi}{3}+k 4 \pi, k \in \mathbb{Z}$
Mà $x \in[0 ; 2 \pi) \Leftrightarrow x=\frac{2 \pi}{3}$
Phương trình $\tan \left(2 x+12^{\circ}\right)=0$ (với $k \in \mathbb{Z}$ ) có nghiệm là
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\tan x=\alpha \Leftrightarrow x=\arctan \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\tan \left(2 x+12^{\circ}\right)=0 \Leftrightarrow 2 x+12^{\circ}=k .180^{\circ} \Leftrightarrow x=-6^{\circ}+k .90^{\circ}$
Nghiệm của phương trình $\tan \left(2 x-15^{\circ}\right)=1, -90^{\circ}< x<90^{\circ}$ là
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\tan x=\alpha \Leftrightarrow x=\arctan \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\tan \left(2 x-15^{\circ}\right)=1 \Leftrightarrow 2 x-15^{0}=45^{0}+k 180^{\circ} \Leftrightarrow 2 x=60^{\circ}+k 180^{\circ} \Leftrightarrow x=30^{\circ}+k 90^{\circ}(k \in \mathbb{Z})$
Xét $x=30^{\circ}+k 90^{\circ}$ vì $-90^{\circ}< x<90^{\circ}$ nên $x=-60^{\circ} ; x=30^{\circ}$
Giải phương trình $\tan ^{2} x=3$ có nghiệm là
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\tan x=\alpha \Leftrightarrow x=\arctan \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\tan ^{2} x=3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\tan x=\sqrt{3}} \\ {\tan x=-\sqrt{3}}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{3}+k \pi} \\ {x=-\frac{\pi}{3}+k \pi}\end{array},(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$
Nghiệm của phương trình $\cot x+\sqrt{3}=0$ là :
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\cot x=\alpha \Leftrightarrow x=\ arccot \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\cot x+\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow \cot x=-\sqrt{3}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \cot x=\cot \left(-\frac{\pi}{6}\right)} \\ {\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k \pi(k \in \mathbb{Z})}\end{array}$
Phương trình lượng giác $2 \cot x-\sqrt{3}=0$ là:
Sử dụng công thức $\cot x=\alpha \Leftrightarrow x=\operatorname{arccot} \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$2 \cot x-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow \cot x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x=\operatorname{arccot} \frac{\sqrt{3}}{2}+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Giải phương trình $\tan x=\cot x$ là:
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\tan x=\alpha \Leftrightarrow x=\arctan \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\tan x=\cot x \Leftrightarrow \tan x=\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2} ; k \in \mathbb{Z}$
Giải phương trình $\tan 3 x \tan x=1$
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\tan x=\alpha \Leftrightarrow x=\arctan \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{\cos 3 x \neq 0} \\ {\cos x \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{3 x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi} \\ {x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3}} \\ {x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi}\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\right.\right.$
Ta có:
$\begin{array}{l}{\tan 3 x \cdot \tan x=1 \Leftrightarrow \tan 3 x=\frac{1}{\tan x}=\cot x=\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \\ {\Leftrightarrow 3 x=\frac{\pi}{2}-x+k \pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{4} ; k \in \mathbb{Z}}\end{array}$
Kết hợp điều kiện ta được $x=\frac{\pi}{8}+k \frac{\pi}{4} ; k \in \mathbb{Z}$
Nghiệm của phương trình $\tan 3 x \cdot \cot 2 x=1$ là;
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\tan x=\alpha \Leftrightarrow x=\arctan \alpha+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐIều kiện $\left\{\begin{array}{l}{\cos 3 x \neq 0} \\ {\sin 2 x \neq 0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \neq \frac{\pi}{6}+k \frac{\pi}{3}} \\ {x \neq \frac{k \pi}{2}}\end{array}, k \in \mathbb{Z}\right.\right.$
Ta có $\tan 3 x \cdot \cot 2 x=1 \Leftrightarrow \tan 3 x=\frac{1}{\cot 2 x} \Leftrightarrow \tan 3 x=\tan 2 x \Leftrightarrow 3 x=2 x+k \pi \Leftrightarrow x=k \pi$
Kết hợp điều kiện ta được phương trình vô nghiệm