Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau đây ?
Áp dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Chọn đáp án đúng trong các câu sau :
Áp dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin x = 1 = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\sin x=-1$ là :
Áp dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin x=-1=\sin \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}$
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: $x=\dfrac{-\pi}{2}$
Kết luận nào dưới đây là sai?
Áp dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin x=0 \Leftrightarrow x=k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Phương trình $\sin \left(\dfrac{2 \mathrm{x}}{3}-\dfrac{\pi}{3}\right)=0; ( k \in \mathbb{Z})$ là
Áp dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin \left(\dfrac{2 \mathrm{x}}{3}-\dfrac{\pi}{3}\right)=0 \Leftrightarrow \dfrac{2 \mathrm{x}}{3}-\dfrac{\pi}{3}=k \pi \Leftrightarrow \dfrac{2 \mathrm{x}}{3}=\dfrac{\pi}{3}+k \pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{k 3 \pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$
Phương trình $\sin x=\dfrac{1}{2}$ có nghiệm thỏa mãn $-\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ là:
Áp dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\sin x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x=\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi} \\ {x=\dfrac{5 \pi}{6}+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.$
Trường hợp 1: $x=\dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi$. Do $-\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ nên $-\dfrac{\pi}{2} \leq \dfrac{\pi}{6}+k 2 \pi \leq \dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\dfrac{1}{3} \leq k \leq \dfrac{1}{6}$
Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên ta chọn được $k =0$ . Do đó, ta có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{6}$
Trường hợp 2: $x=\dfrac{5 \pi}{6}+k 2 \pi$ . Do $-\dfrac{\pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ nên $-\dfrac{\pi}{2} \leq \dfrac{5 \pi}{6}+k 2 \pi \leq \dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow-\dfrac{2}{3} \leq k \leq-\dfrac{1}{6}$
Vì k nguyên nên không có giá trị k thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{6}$
Nghiệm của phương trình $\sin 3 x=\sin x;( k \in \mathbb{Z})$ là:
Áp dụng công thức $\sin x=\sin y \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=y+k 2 \pi} \\ {x=\pi-y+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin 3 x=\sin x \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{3 x=x+k 2 \pi} \\ {3x=\pi-x+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=k \pi} \\ {4 x=\pi+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x=k \pi } \\ {x=\frac{\pi}{4}+ \frac{k \pi}{2}}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.\right.\right.$
Nghiệm của phương trình $\sin ^{2} x=1$ là:
Sử dụng công thức hạ bậc và
$\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sin ^{2} x=1 \Leftrightarrow \frac{1-\cos 2 x}{2}=1 \Leftrightarrow \cos 2 x=-1 \Leftrightarrow 2 x=\pi+k 2 \pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$
Nghiệm của phương trình $\cos x=1$ (k nguyên) là:
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\cos x=1 \Leftrightarrow x=k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}$
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\cos x=-1$ là
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}$
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\pi$
Tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình $2 \cos 2 x+1=0$ là
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$2 \cos 2 x+1=0 \Leftrightarrow \cos 2 x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 x=\cos \frac{2 \pi}{3} \Leftrightarrow 2 x=\pm \frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+k \pi(k \in \mathbb{Z})$
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất lần lượt là $x=\frac{\pi}{3} ; x=\frac{-\pi}{3}$
Vậy tổng hai nghiệm đó bằng 0
Đáp án D
Nghiệm của phương trình $2 \cos x+\sqrt{2}=0$ (k nguyên) là
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$2 \cos x+\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \frac{3 \pi}{4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi} \\ {x=-\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi}\end{array},(k \in \mathbb{Z})\right.$
Nghiệm của phương trình $\cos \frac{x}{3}=\cos \sqrt{2}$ với $k \in \mathbb{Z}$ là:
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\cos \frac{x}{3}=\cos \sqrt{2} \Leftrightarrow | \begin{array}{l}{\frac{x}{3}=\sqrt{2}+k 2 \pi} \\ {\frac{x}{3}=-\sqrt{2}+k 2 \pi}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=3 \sqrt{2}+k 6 \pi} \\ {x=-3 \sqrt{2}+k 6 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Số nghiệm của phương trình $\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1; 0 \leq x \leq 2 \pi$ là
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\sqrt{2} \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1 \Leftrightarrow \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi}{4} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}{x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi} \\ {x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{4}+k 2 \pi}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-\frac{\pi}{12}+k 2 \pi} \\ {x=-\frac{7 \pi}{12}+k 2 \pi}\end{array}(k \in \mathbb{Z})\right.$
Xét $x=-\frac{\pi}{12}+k 2 \pi$ .Vì $0 \leq x \leq 2 \pi$ nên $x=\frac{23 \pi}{12}$
Xét $x=-\frac{7 \pi}{12}+k 2 \pi$ .Vì $0 \leq x \leq 2 \pi$ nên $x=\frac{17 \pi}{12}$
Vậy số nghiệm thỏa mãn là 2
Số nghiệm của phương trình $2 \cos ^{2} x=1$ với $x \in[-\pi ; \pi]$ là
Sử dụng công thức hạ bậc và
$\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:$2 \cos ^{2} x=1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ {\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
Suy ra $\left[\begin{array}{rl}{x} & {=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi} \\ {x} & {=-\frac{\pi}{4}+k 2 \pi} \\ {x} & {=\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi} \\ {x} & {=-\frac{3 \pi}{4}+k 2 \pi}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{4}+k \pi,(k \in \mathbb{Z})$
Vì $x \in[-\pi ; \pi]$ nên $x=\frac{\pi}{4} ; x=\frac{-\pi}{4} ; x=\frac{3 \pi}{4} ; x=\frac{-3 \pi}{4}$
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
Tìm tất cả các giá trị của $m$ thì phương trình $\sin x=m$ có nghiệm
Miền giá trị của $\sin x$ là $[-1;1]$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với mọi $x \in \mathbb{R}$ , ta luôn có $-1 \leq \sin x \leq 1$
Do đó, phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1 \leq m \leq 1$
Phương trình $2 \sin x-m=0$ vô nghiệm khi
Với mọi giá trị của $x \in \mathbb{R}$ ta luôn có $-1 \leq \sin x \leq 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $2 \sin x-m=0 \Leftrightarrow \sin x=\frac{m}{2}(*)$
Phương trình $(*)$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\left|\frac{m}{2}\right|>1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{m<-2} \\ {m>2}\end{array}\right.$
Tìm tổng các nghiệm của phương trình $2 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1$ trên $(-\pi ; \pi)$
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
Phương trình $\Leftrightarrow \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=k 2 \pi} \\ {x=\frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi}\end{array}\right.$
Vì $x \in(-\pi ; \pi)$ nên $x=0$; $x=\frac{2 \pi}{3}$
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{2 \pi}{3}$
Cho phương trình $\sqrt{3} \cos x+m-1=0$. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Miền giá trị của $\cos x$ là $[-1;1]$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\cos x=\frac{1-m}{\sqrt{3}}$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1 \leq \frac{1-m}{\sqrt{3}} \leq 1 \Leftrightarrow 1-\sqrt{3} \leq m \leq 1+\sqrt{3}$
Cho biết $x=\pm \frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi$ là họ nghiệm của phương trình nào sau đây?
Sử dụng công thức $\cos x=\cos \alpha \Leftrightarrow x=\pm \alpha+k 2 \pi \quad(k \in \mathbb{Z})$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$2 \cos x-1=0 \Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \frac{\pi}{3} \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi,(k \in \mathbb{Z})$
$2 \cos x+1=0 \Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x=\cos \frac{2 \pi}{3} \Leftrightarrow x=\pm \frac{2 \pi}{3}+k 2 \pi,(k \in \mathbb{Z})$