Cho đường tròn $(O;R)$ và hai điểm $A, B$ phân biệt. Một điểm $M$ thay đổi trên đường tròn $(O)$. Khi đó tập hợp các điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{M B}$ là tập nào sau đây?
- Biến đổi $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} $
- Sử dụng tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết ta có: $\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{M B} \Leftrightarrow \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{M B}-\overrightarrow{M A} \Leftrightarrow \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A B}$
Như thế phép tịnh tiến theo vecto $\vec{u}=\overrightarrow{A B}$ biến điểm $M$ thành điểm $N$.
Vậy khi $M$ thay đổi trên đường tròn $(O;R)$ thì quỹ tích của $N$ là đường tròn $(I ; R)$ với $\overrightarrow{O I}=\overrightarrow{A B}$
Đáp án: D
Cho hai điểm $A, B$ nằm ngoài $(O; R)$. Điểm $M$ di động trên $(O)$. Dựng hình bình hành $MABN$. Quỹ tích điểm $N$ là:
Sử dụng tính chất của hình bình hành và phép tịnh tiến
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $MABN$ là hình bình hành nên ta có $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A B}$. Đẳng thức này chứng tỏ phép tịnh tiến theo vec tơ $\overrightarrow{A B}$ biến điểm $M$ thành điểm $N$.
Mà $M$ thuộc $(O;R)$, suy ra $N$ thuộc đường tròn $(O\')$ là ảnh của $(O)$ qua phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{A B}}$
Đáp án: B
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^{2}-x+1$. Thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo các vecto $\vec{u}=(1 ;-2)$ và $ \vec{v}=(2 ; 3)$, parabol $(P)$ biến thành $(Q)$ có phương trình là:
- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l} x’ = x + a\\ y’ = y + b \end{array} \right.$ với vecto $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$
- Thay $x,y$ ở trên vào phương trình parabol dẫn đến phương trình hàm số mới.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết suy ra, $(Q)$ là ảnh của $(P)$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\vec{a}=\vec{u}+\vec{v}$
Ta có: $\vec{a}=\vec{u}+\vec{v}=(3 ; 1)$
Do đó phương trình của $(Q)$ là: $y-1=(x-3)^{2}-(x-3)+1 \Leftrightarrow y=x^{2}-7 x+14$
Đáp án: A
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta: 5 x-y+1=0$. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phia trái 2 đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng $\Delta$ biến thành đường thẳng $\Delta^{\prime}$ có phương trình là:
- Xác định vecto tịnh tiến
- Sử dụng công thức biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình đường thẳng $\Delta\'$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết suy ra $\Delta^{\prime}$ là ảnh của $\Delta$ qua phép tịnh tiến theo vec tơ
$\vec{u}=(-2 ; 3) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x-2} \\ {y^{\prime}=y+3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=x^{\prime}+2} \\ {y=y^{\prime}-3}\end{array}\right.\right.$
Do đó đường thẳng $\Delta^{\prime}$ có phương trình là:
$5\left(x^{\prime}+2\right)-\left(y^{\prime}-3\right)+1=0 \Leftrightarrow 5 x^{\prime}-y^{\prime}+14=0 \Rightarrow 5 x-y+14=0$
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho vecto $\vec{v}=(-3 ;-2)$. Phép tịnh tiến theo vecto $\vec{v}$ biến đường tròn $(C) : x^{2}+(y-1)^{2}=1$ thành đường tròn $(C’)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Tìm tọa độ ảnh của tâm đường tròn qua phép tính tiến.
- Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(0 ; 1)$, bán kính $R=1$.
Gọi $I^{\prime}(x ; y)$ là ảnh của $I(0 ; 1)$ qua phép tịnh tiến vecto $\vec{v}=(-3 ;-2)$
Ta có: $\overrightarrow{I I^{\prime}}=\vec{v} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x-0=-3} \\ {y-1=-2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=-3} \\ {y=-1}\end{array} \Rightarrow I^{\prime}(-3 ;-1)\right.\right.$
Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách nên $R^{\prime}=R=1$.
Vậy ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép $T_{\vec{v}}$ là đường tròn $(C’)$ có tâm $I^{\prime}(-3 ;-1)$, bán kính $T$ nên có phương trình $\left(C^{\prime}\right) :(x+3)^{2}+(y+1)^{2}=1$.
Đáp án: A
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol $(P)$ có phương trình $y=x^{2}-x+1$. Thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo các vecto $\vec{u}=(1 ;-2)$ và $ \vec{v}=(2 ; 3)$, parabol $(P)$ biến thành $(Q)$ có phương trình là:
- Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến: Hợp hai phép tịnh tiến thì được phép tịnh tiến.
- Xác định véc tơ tịnh tiến
- Sử dụng công thức biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình parabol $(Q)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ giả thiết suy ra, $(Q)$ là ảnh của $(P)$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\vec{a}=\vec{u}+\vec{v}$
Ta có: $\vec{a}=\vec{u}+\vec{v}=(3 ; 1)$
Do đó phương trình của $(Q)$ là: $y-1=(x-3)^{2}-(x-3)+1 \Leftrightarrow y=x^{2}-7 x+14$
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường tròn $(C) :(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=4$ qua phép tịnh tiến theo vecto $\vec{v}=(3 ; 2)$ là đường tròn có phương trình:
- Tìm tọa độ ảnh của tâm đường tròn qua phép tính tiến.
- Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1 ; 3)$, bán kính $R=2$.
Gọi $I^{\prime}(x ; y)$ là ảnh của $I(-1 ; 3)$ qua phép tịnh tiến vecto $\vec{v}=(3 ; 2)$.
Ta có: $\overrightarrow{I I^{\prime}}=\vec{v} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x-(-1)=3} \\ {y-3=2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=2} \\ {y=5}\end{array} \Rightarrow I^{\prime}(2 ; 5)\right.\right.$
Vì phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách nên $R^{\prime}=R=2$
Vậy ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép $T_{\vec{v}}$ là đường tròn $(C\')$ có tâm $I^{\prime}(2 ; 5)$, bán kính $R^{\prime}=2$ nên có phương trình $(x-2)^{2}+(y-5)^{2}=4$.
Đáp án: B
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai parabol $(P) : y=x^{2} $ và $(Q) : y=x^{2}+2 x+2$. Để chứng minh có một phép tịnh tiến $T$ biến $(Q)$ thành $(P)$, một học sinh lập luận qua ba bước sau:
- Bước 1: Gọi vec tơ tịnh tiến là $\vec{u}=(a ; b)$, áp dụng biểu thức tọa độ của phéo tịnh tiến:
$\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=x+a} \\ {y^{\prime}=y+b}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x=x^{\prime}-a} \\ {y=y^{\prime}-b}\end{array}\right.\right.$
- Bước 2: Thế vào phương trình của $(Q)$ ta được:
$y^{\prime}-b=\left(x^{\prime}-a\right)^{2}+2\left(x^{\prime}-a\right)+2 \Leftrightarrow y^{\prime}=x^{2}+2(1-a) x^{\prime}+a^{2}-2 a+b+2$
Suy ra ảnh của $(Q)$ qua phép tịnh tiến $T$ là parabol $(R) : y=x^{2}+2(1-a) x+a^{2}-2 a+b+2$
- Bước 3: Buộc $(R)$ trùng với $(P)$ ta được hệ: $\left\{\begin{array}{l}{2(1-a)=0} \\ {a^{2}-2 a+b+2=0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=1} \\ {b=-1}\end{array}\right.\right.$
Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến $(Q)$ thành $(P)$, đó là phép tịnh tiến theo vec tơ $\vec{u}=(1 ;-1)$
Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l} x\' = x + a\\ y\' = y + b \end{array} \right.$ với vecto $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Lập luận trên hoàn toán đúng.
Đáp án: A
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: y=-4 x+3$. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 4 đơn vị, đường thẳng $\Delta$ biến thành $\Delta’$ có phương trình là:
- Xác định véc tơ tịnh tiến
- Sử dụng biến đổi tọa độ của phép tịnh tiến để viết phương trình đường thẳng $\Delta ’$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía dưới 4 đơn vị, Tức là thực hiện phép tịnh tiến theo vecto $\vec{u}=(0 ;-4)$. Do đó đường thẳng $\Delta$ biến thành $\Delta’$ có phương trình là: $y+4=-4 x+3 \Leftrightarrow y=-4 x-1$
Đáp án: D
Trong hệ tọa độ $Oxy$, cho phép biến hình $f$ biến một điểm $M(x;y)$ thành một điểm $M^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ sao cho $x^{\prime}=x+2 y ; y^{\prime}=-2 x+y+1$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta A B C$ với $A(1 ; 2), B(-2 ; 3), C(4 ; 1)$. Phép biến hình $f$ biến điểm $G$ thành điểm $G\'$ có tọa độ là:
Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC sau đó thay vào biểu thức để tìm tọa độ G'
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trọng tâm của $\Delta A B C$ là $G(1 ; 2)$. Gọi $G\'$ là ảnh của $G$ ta có: $G^{\prime}(1+2.2 ;-2.1+2+1)=(5 ; 1)$
Đáp án: A