Một lớp học có n học sinh (n>3). Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra 1 học sinh trong nhóm đó làm nhóm trưởng. Số học sinh trong mỗi nhóm phải lớn hơn 1 và nhỏ hơn n. Gọi T là số cách chọn. Lúc này:
Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm mà chưa biết nhóm này có bao nhiêu học sinh nên sẽ có các phương án:
PA 1: Nhóm có 2 học sinh
PA 2: Nhóm có 3 học sinh.
PA 3: Nhóm có 44 học sinh.
….
PA (n-2): Nhóm có n−1 học sinh.
Tính số cách thực hiện của mỗi phương án sau đó áp dụng quy tắc cộng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A_n^k$ là phương án: Chọn nhóm có k học sinh và chỉ định 1 bạn trong k học sinh đó làm nhóm trưởng.
Thầy chủ nhiệm có các phương án: A2,A3,A4,...,An−1
Ta tính xem có bao nhiêu cách thực hiện.
Phương án $A_n^k$ có hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn k học sinh trong n học sinh có cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn 1 học sinh trong k học sinh làm nhóm trưởng có $C_n^k$ cách.
Theo quy tắc nhân thì phương án $A_n^k$ có $kC_n^k$ cách thực hiện.
Các phương án $A_n^k$ là độc lập với nhau.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: $T= \sum\limits_{k = 2}^{n - 1} {kC_n^k} $
Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh A,B,C,D,EA,B,C,D,E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn.
Giải bài toán theo phương pháp gián tiếp:
Ta thấy với bài toán này nếu làm trực tiếp thì sẽ khá khó, nên ta sẽ làm theo cách gián tiếp. Tìm bài toán đối đó là tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có 1 môn hết sách.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có 1 môn hết sách.
TH1: Môn Toán hết sách:
Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.
Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.
Vậy có 6 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_{5}^{5}=120$ cách.
Vậy có $6.120=720$ cách.
TH2: Môn Lí hết sách:
Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.
Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là $C_{7}^{2}$ cách.
Vậy có 21 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_{5}^{5}=120$ cách.
Vậy có $21.120=2520$ cách.
TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp 2 thì có 2520 cách.
Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là $C_{10}^{5} \cdot A_{5}^{5}=30240$ cách.
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là 30240−720−2520−2520=24480 cách.
Tìm n thỏa mãn $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{1} 3^{\mathrm{n}-1}+2 \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{2} 3^{\mathrm{n}-2}+3 \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{3} 3^{\mathrm{n}-3}+\ldots+\mathrm{n} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}=256$
Sử dụng $\mathrm{k} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}} \cdot 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}=\mathrm{k} \dfrac{\mathrm{n} !}{\mathrm{k} !(\mathrm{n}-\mathrm{k}) !} 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}=\mathrm{n} \mathrm{C}_{\mathrm{n}-1}^{\mathrm{k}-1} 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\mathrm{kC}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}} \cdot 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}=\mathrm{k} \dfrac{\mathrm{n} !}{\mathrm{k} !(\mathrm{n}-\mathrm{k}) !} 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}=\mathrm{n} \mathrm{C}_{\mathrm{n}-1}^{\mathrm{k}-1} 3^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}$
Suy ra $\sum\limits_{{\bf{k}} = 1}^{\rm{n}} {\rm{k}} {\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{k}}{3^{{\rm{n}} - {\rm{k}}}} = {\rm{n}}\sum\limits_{{\rm{k}} = 1}^{\rm{n}} {{\rm{C}}_{{\rm{n}} - 1}^{{\rm{k}} - 1}} {3^{{\rm{n}} - {\rm{k}}}} = {\rm{n}}\sum\limits_{{\rm{k}} = 0}^{{\rm{n}} - 1} {{\rm{C}}_{{\rm{n}} - 1}^{\rm{k}}} {3^{{\rm{n}} - 1 - {\rm{k}}}} = {\rm{n}}{.4^{{\rm{n}} - 1}}$
Suy ra $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{1} 3^{\mathrm{n}-1}+2 \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{2} 3^{\mathrm{n}-2}+3 \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{3} 3^{\mathrm{n}-3}+. .+\mathrm{n} \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}}=256 \Leftrightarrow \mathrm{n} .4^{\mathrm{n}-1}=4.4^{3}$
Vậy n=4
Với n thỏa mãn đẳng thức $\dfrac{A_{n}^{4}}{A_{n+1}^{3}-C_{n}^{n-4}}=\dfrac{24}{23}$ thì giá trị của biểu thức $P=(n+1)^{2}-3 n+5$ là
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$để tìm giá trị của n sau đó thay vào tính giá trị biểu thức P.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $n \in \mathbb{N} ; n \geq 4$
$\begin{array}{l}{\dfrac{A_{n}^{4}}{A_{n+1}^{3}-C_{n}^{n-4}}=\dfrac{24}{23} \Leftrightarrow \dfrac{A_{n}^{4}}{A_{n+1}^{3}-C_{n}^{4}}=\dfrac{24}{23}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{n !}{(n-4) !}}{\dfrac{(n-1) !}{(n-2) !}-\dfrac{n !}{(n-4) ! 4 !}}=\dfrac{24}{23}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{n !}{(n-4) !}}{\dfrac{n !(n+1)}{(n-4) !(n-3)(n-2)}-\dfrac{n !}{(n-4) ! 4 !}}=\dfrac{24}{23}}\end{array}$
$\begin{aligned} & \Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{n !}{(n-4) !}}{\dfrac{n !}{(n-4) !}\left(\dfrac{n+1}{(n-3)(n-2)}-\dfrac{1}{24}\right)}=\frac{24}{23} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{n+1}{(n-3)(n-2)}-\dfrac{1}{24}}=\dfrac{24}{23} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{24(n-3)(n-2)}{24 n+24-(n-3)(n-2)}=\frac{24}{23} \end{aligned}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 23\left(n^{2}-5 n+6\right)=24 n+24-\left(n^{2}-5 n+6\right)} \\ {\Leftrightarrow 24 n^{2}-144 n+120=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}{n=5} & {(t m)} \\ {n=1} & {(k t m)}\end{array}\right.}\end{array}$
Với $k, n \in \mathbb{N}, 2 \leq k \leq n$ thì giá trị $A=C_{n}^{k}+4 C_{n}^{k-1}+6 C_{n}^{k-2}+4 C_{n}^{k-3}+C_{n}^{k-4}-C_{n+4}^{k}+1$ bằng
Đối với những bài toán tổng những tổ hợp có chỉ số trên và chỉ số dưới là những số tự nhiên liên tiếp ta sử dụng công thức $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chứng minh công thức $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$
$\begin{array}{l}{V T=C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}+\dfrac{n !}{(k+1) !(n-k-1) !}} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k-1) !}\left(\dfrac{1}{n-k}+\dfrac{1}{k+1}\right)} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k-1) !} \cdot \dfrac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)}} \\ {=\dfrac{n !(n+1)}{k !(k+1)(n-k-1) !(n-k)}} \\ {=\dfrac{(n+1) !}{(k+1) !(n-k) !}=C_{n+1}^{k+1}=V P}\end{array}$
Biểu thức
$\begin{aligned} B &=C_{n}^{k}+4 C_{n}^{k-1}+6 C_{n}^{k-2}+4 C_{n}^{k-3}+C_{n}^{k-4} \\ &=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}+3\left(C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k-2}\right)+3\left(C_{n}^{k-2}+C_{n}^{k-3}\right)+C_{n}^{k-3}+C_{n}^{k-4} \\ &=C_{n+1}^{k}+3 C_{n+1}^{k-1}+3 C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3} \\ &=C_{n+1}^{k}+C_{n+1}^{k-1}+2\left(C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-2}\right)+C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3} \\ &=C_{n+1}^{k}+2 C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-2} \\ &=C_{n+1}^{k}+C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-2} \\ &=C_{n+3}^{k}+C_{n+3}^{k-1} \\ &=C_{n+4}^{k}+C_{n+3}^{k-1} \\ &=C_{n+4}^{k} \end{aligned}$
$\Rightarrow A=B-C_{n+4}^{k}+1=C_{n+4}^{k}-C_{n+4}^{k}+1=1$
Biểu thức $2 C_{n}^{k}+5 C_{n}^{k+1}+4 C_{n}^{k+2}$ bằng biểu thức nào sau đây?
Phân tích để xuất hiện sau đó áp dụng công thức $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chứng minh $C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$
$\begin{array}{l}{V T=C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}+\dfrac{n !}{(k+1) !(n-k-1) !}} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k-1) !}\left(\dfrac{1}{n-k}+\dfrac{1}{k+1}\right)} \\ {=\dfrac{n !}{k !(n-k-1) !} \cdot \dfrac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)}} \\ {=\dfrac{n !(n+1)}{k !(k+1)(n-k-1) !(n-k)}} \\ {=\dfrac{n !(n+1)}{k !(k+1)(n-k-1) !(n-k)}} \\ {=\dfrac{(n+1) !}{(k+1) !(n-k) !}=C_{n+1}^{k+1}=V P}\end{array}$
Ta có :
$\begin{aligned} & C_{n}^{k}+2 C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2} \\=& C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2} \\=& C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2} \\=& C_{k+2}^{n+2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} & C_{n}^{k}+3 C_{n}^{k+1}+3 C_{n}^{k+2}+C_{n}^{k+3} \\=& C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}+2\left(C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2}\right)+C_{n}^{k+2}+C_{n}^{k+3} \\=& C_{n+1}^{k+1}+2 C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3} \\=& C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+3} \\=& C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3} \\=& C_{n+3}^{k+3} \end{aligned}$
$\Rightarrow 2 C_{n}^{k}+5 C_{n}^{k+1}+4 C_{n}^{k+2}=C_{k+2}^{n+2}+C_{n+3}^{k+3}$
Có bao nhiêu số tự nhiên có 2018 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số bằng 5 ?
Phân tích số 5 thành tổng của nhiều số tự nhiên khác nhau rồi sử dụng công thức tổ hợp và chỉnh hợp sau đó sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $5=4+1=3+2=2+2+1=3+1+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1$ nên ta có các trường hợp sau :
Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số 5 đứng đầu và 2017 số 0 đứng sau: Có 1 số
Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số 4 , một chữ số 1 và 2016 số 0
- Khả năng 1 : Nếu số 4 đứng đầu thì số 1 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{1}$ số
- Khả năng 2 : Nếu số 1 đứng đầu thì số 4 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{1}$ số
Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số 3, một chữ số 2 và 2016 số 0
- Khả năng 1: Nếu số 3 đứng đầu thì số 2 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{1}$ số
- Khả năng 2: Nếu số 2 đứng đầu thì số 3 đứng ở một trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{1}$ số
Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số 2, một chữ số 1 và 2015 số 0
- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì số 1 và số 2 còn lại đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $A_{2017}^{2}$ số
- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu thì hai chữ số 2 đứng ở hai trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{2}$ số
Trường hợp 5: Số tự nhiên có 2 chữ số 1, một chữ số 3 thì tương tự trường hợp 4 ta có $A_{2017}^{2}+C_{2017}^{2}$ số
Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số 2, ba chữ số 1 và 2014 số 0
- Khả năng 1: Nếu số 2 đứng đầu thì ba chữ số 1 đứng ở ba trong 2017 vị trí còn lại nên ta có $C_{2017}^{3}$ số
- Khả năng 2: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà không có số 1 nào khác đứng trước nó thì hai số 1 còn lại đứng ở 2016 vị trí còn lại nên ta có $C_{2016}^2$
- Khả năng 3: Nếu số 1 đứng đầu và số 2 đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số 1 thì hai số 1 và 2 còn lại đứng ở trong 2016 vị trí còn lại nên ta có $A_{2016}^{2}$ số
Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữu số 1 và 2013 số 0, vì chữ số 1 đứng đầu nên 4 chữ số 1 còn lại đứng ở trong 2017 vị trí còn lại nen ta có $C_{2017}^4$ số
Áp dụng quy tắc cộng ta có $1+4 C_{2017}^{1}+2\left(C_{2017}^{2}+A_{2017}^{2}\right)+\left(C_{2017}^{3}+A_{2016}^{2}+C_{2016}^{2}\right)+C_{2017}^{4}$ số cần tìm
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{2 A_{y}^{x}+5 C_{y}^{x}=90} \\ {5 A_{y}^{x}-2 C_{y}^{x}=80}\end{array}\right.$ ta được nghiệm $(x ; y)$. Khi đó giá trị biểu thức $x-y$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐK: $x, y \in \mathbb{N} ; x \leq y$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{2 A_{y}^{x}+5 C_{y}^{x}=90} \\ {5 A_{y}^{x}-2 C_{y}^{x}=80}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{A_{y}^{x}=20} \\ {C_{y}^{x}=10}\end{array}\right.\right.$
Từ $A_{y}^{x}=x ! C_{y}^{x}$ suy ra $x !=\dfrac{20}{10}=2 \Leftrightarrow x=2$
Từ $A_{y}^{2}=20 \Leftrightarrow y(y-1)=20 \Leftrightarrow y^{2}-y-20=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{y=-4(L)} \\ {y=5}\end{array}\right.$
Vậy $x=2 ; y=5$
Đáp án: C
Giải bất phương trình $C_{n+2}^{n-1}+C_{n+2}^{n}>\dfrac{5}{2} A_{n}^{2}$ ta được:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$ ta có:
$C_{n+2}^{n-1}+C_{n+2}^{n}>\dfrac{5}{2} A_{n}^{2} \Leftrightarrow C_{n+3}^{n}>\dfrac{5}{2} A_{n}^{2} \Leftrightarrow \dfrac{(n+3) !}{n ! 3 !}>\dfrac{5}{2} \dfrac{n !}{(n-2) !}$
$\Leftrightarrow n\left(n^{2}-9 n+26\right)+6>0$ luôn đúng với mọi $n \geq 2$
Vậy nghiệm của bất phương trình $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$
Đáp án: A
Tính $M=\dfrac{A_{n+1}^{4}+3 A_{n}^{3}}{(n+1) !}$, biết $C_{n+1}^{2}+2 C_{n+2}^{2}+2 C_{n+3}^{2}+C_{n+4}^{2}=149$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
ĐK: $\left\{\begin{array}{l}{n \in \mathbb{N}} \\ {n \geq 3}\end{array}\right.$
Ta có: $C_{n+1}^{2}+2 C_{n+2}^{2}+2 C_{n+3}^{2}+C_{n+4}^{2}=149$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \dfrac{(n+1) !}{2 !(n-1) !}+2 \dfrac{(n+2) !}{2 ! n !}+2 \dfrac{(n+3) !}{2 !(n+1) !}+\dfrac{(n+4) !}{2 !(n+2) !}=149} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{(n+1) n}{2}+\dfrac{2(n+2)(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+3)(n+2)}{2}+\dfrac{(n+4)(n+3)}{2}=149}\end{array}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow n^{2}+n+2\left(n^{2}+3 n+2\right)+2\left(n^{2}+5 n+6\right)+n^{2}+7 n+12=298} \\ {\Leftrightarrow 6 n^{2}+24 n-270=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=5(T M)} \\ {n=-9(L)}\end{array}\right.}\end{array}$
Do đó: $M=\dfrac{A_{6}^{4}+3 A_{5}^{3}}{6 !}=\dfrac{3}{4}$
Đáp án: D