Trên giá sách có tất cả 15 cuốn sách được đánh số tử 1 đến 15. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho quyển thứ nhất ở kề quyển thứ hai:
Gom hai quyển sách thành một quyển và đếm số cách xếp sách cho 14 quyển sách.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gom 2 quyển sách thứ nhất và thứ hai thành 1 quyển nên coi như lúc này chỉ có 14 quyển sách.
Hoán vị hai quyển sách có 2!=2 cách.
Sắp 14 quyển sách (trong đó có bộ 2 quyển sách vừa gom) vào 14 vị trí, có $14!$ cách.
Vậy có $2.14!$ cách.
Số cách chia 11 học sinh thành 3 nhóm lần lượt gồm 4, 4, 3 học sinh là:
- Đếm số cách chọn 4 trong 11 em, sau đó là 4 trong 7 em và cuối cùng là 3 trong 3 em còn lại.
- Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn 4 trong 11 học sinh chia thành nhóm 4 có: $C_{11}^4$ cách.
Chọn 4 trong 7 học sinh còn lại chia thành nhóm 4 có: $C_7^4$ cách.
Chọn 3 trong 3 học sinh còn lại chia thành nhóm 3 có $C_3^3$ cách.
Vậy có $C_{11}^4.C_7^4.C_3^3$ cách.
Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21 đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ?
Thực hiện lần lượt qua các giai đoạn sau:
- Chọn 7 nam trong 21 nam và 5 nữ trong 15 nữ cho ấp thứ nhất
- Chọn 7 nam trong 14 nam và 5 nữ trong 10 nữ cho ấp thứ hai
- Chọn 7 nam trong 7 nam và 5 nữ trong 5 nữ cho ấp thứ ba.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Bước 1: Chọn 7 nam trong 21 nam và 5 nữ trong 15 nữ cho ấp thứ nhất.
Số cách chọn là $C_{21}^{7} \cdot C_{15}^{5}$ cách.
Bước 2: Chọn 7 nam trong 14 nam và 5 nữ trong 10 nữ cho ấp thứ hai
Số cách chọn là $C_{14}^{7} \cdot C_{10}^{5}$ cách.
Bước 3: Chọn 7 nam trong 7 nam và 5 nữ trong 5 nữ cho ấp thứ ba.
Số cách chọn là $C_{7}^{7} \cdot C_{5}^{5}=1$ cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: $C_{21}^{7} \cdot C_{15}^{5} \cdot C_{14}^{7} \cdot C_{10}^{5}$ cách.
Trong một tổ học sinh có 5 em gái và 10 em trai. Thùy là 1 trong 5 em gái và Thiện là 1 trong 10 em trai. Thầy chủ nhiệm chọn ra 1 nhóm 5 bạn tham gia buổi văn nghệ tới. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy và Thiện không được chọn?
Do ở đây việc tìm trực tiếp sẽ có nhiều trường hợp nên ta sẽ giải quyết bài toán bằng cách gián tiếp, ta sẽ đi tìm bài toán đối. Ta tìm số cách chọn ra 5 bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Bài toán đối: tìm số cách chọn ra 5 bạn mà trong đó có cả bạn Thùy và Thiện.
Bước 1: Chọn nhóm 3 em trong 13 em (13 em này không tính em Thùy và Thiện) có $C_{13}^{3}=286$ cách.
Bước 2: Chọn 2 em Thùy và Thiện có 1 cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì ta có 286 cách chọn 5 em mà trong đó có cả 2 em Thùy và Thiện.
Chọn 5 em bất kì trong số 15 em thì ta có: $C_{15}^{5}=3003$ cách.
Vậy theo yêu cầu đề bài thì có tất cả 3003−286=2717 cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy Và Thiện không được chọn.
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:
Mỗi tam giác được tạo thành ứng với một cách chọn 3 trong 10 điểm.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.
Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác, có $C_{10}^{3}=120$
Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.
Phương trình $\mathrm{P}_{\mathrm{x}} \mathrm{A}_{\mathrm{x}}^{2}+72=6\left(\mathrm{A}_{\mathrm{x}}^{2}+2 \mathrm{P}_{\mathrm{x}}\right)$ có bao nhiêu nghiệm ?
Đưa về phương trình tích
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{x \in N} \\ {x \geq 2}\end{array}\right.$
Phương trình $\Leftrightarrow \mathrm{A}_{\mathrm{x}}^{2}\left(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}-6\right)-12\left(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}-6\right)=0$
$\Leftrightarrow\left(\mathrm{P}_{\mathrm{x}}-6\right)\left(\mathrm{A}_{\mathrm{x}}^{2}-12\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\mathrm{P}_{\mathrm{x}}=6} \\ {\mathrm{A}_{\mathrm{x}}^{2}=12}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\mathrm{x} !=6} \\ {\mathrm{x}(\mathrm{x}-1)=12}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{\mathrm{x}=3} \\ {\mathrm{x}=4}\end{array}\right.\right.\right.$
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Nếu một đa giác đều có 35 thì số cạnh của đa giác là
- Tìm công thức tính số đường chéo của đa giác theo nn.
- Lập phương trình ẩn nn, giải phương trình và kết luận.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là $C_{n}^{2}$ , trong đó có n cạnh, suy ra số đường chéo là $C_{n}^{2}-n$
Khi đó $C_{n}^{2}-n=35 \Leftrightarrow \dfrac{n !}{(n-2) ! .2 !}-n=35$
$\Leftrightarrow n(n-1)-2 n=70$
Suy ra n=10
Tính $B=\dfrac{1}{A_{2}^{2}}+\dfrac{1}{A_{3}^{2}}+\ldots+\dfrac{1}{A_{n}^{2}}$ biết $C_{n}^{1}+2 \dfrac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}+\ldots+n \dfrac{C_{n}^{n}}{C_{n}^{n-1}}=55$
- Tìm n từ đẳng thức tổ hợp bài cho.
- Thay vào biểu thức B và tính giá trị.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $C_{n}^{1}=n ; 2 \dfrac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}=2 \cdot \dfrac{\dfrac{n !}{2 ! \cdot(n-2) !}}{\dfrac{n !}{1 ! \cdot(n-1) !}}=n-1;....;{}$
$n \dfrac{C_{n}^{n}}{C_{n}^{n-1}}=n \cdot \dfrac{1}{\dfrac{n !}{1 !(n-1) !}}=1$
Nên $C_{n}^{1}+2 \dfrac{C_{n}^{2}}{C_{n}^{1}}+\ldots+n \dfrac{C_{n}^{n}}{C_{n}^{n-1}}=55$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow n+(n-1)+(n-2)+\ldots+2+1=55} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{n(n+1)}{2}=55 \Leftrightarrow n=10}\end{array}$
Lại có $A_{2}^{2}=2 !=2.1 ; A_{3}^{2}=\dfrac{3 !}{(3-2) !}=3.2 ; A_{4}^{2}=\dfrac{4 !}{(4-2) !}=4.3;...;$
$A_{10}^{2}=\dfrac{10 !}{(10-2) !}=10.9$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow B=\dfrac{1}{A_{2}^{2}}+\dfrac{1}{A_{3}^{2}}+\ldots+\dfrac{1}{A_{10}^{2}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\ldots+\dfrac{1}{9.10}} \\ {=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}}\end{array}$
Với giá trị của x thỏa mãn $12 C_{x}^{1}+C_{x+4}^{2}=162$ thì $A_{x-1}^{2}-C_{x}^{1}=?$
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ để tìm x sau đó thay vào tính giá trị của biểu thức
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{x \in \mathbb{N}} \\ {x \geq 3}\end{array}\right.$
Ta có
$\begin{array}{l}{12 C_{x}^{1}+C_{x+4}^{2}=162} \\ {\Leftrightarrow 12 x+\dfrac{(x+4) !}{2 !(x+2) !}=162} \\ {\Leftrightarrow 12 x+\dfrac{(x+4)(x+3)}{2}=162} \\ {\Leftrightarrow 24 x+x^{2}+7 x+12=324} \\ {\Leftrightarrow x^{2}+31 x-312=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=8} \\ {x=-39}\end{array}(\text { ktm })\right.} \\ {\Rightarrow A_{x-1}^{2}-C_{x}^{1}=A_{7}^{2}-C_{8}^{1}=34}\end{array}$
Tìm $n \in \mathbb{N}$ biết $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^{n}=7(n+3)$
- Sử dụng công thức $C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ rồi giải phương trình ẩn n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\mathrm{PT} \Leftrightarrow \dfrac{(n+4) !}{3 !(n+1) !}-\dfrac{(n+3) !}{3 ! n !}=7(n+3), n \in \mathbb{N}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{(n+2)(n+3)(n+4)}{6}-\dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}=7(n+3)} \\ {\Leftrightarrow(n+2)(n+4)-(n+1)(n+2)=42 \Leftrightarrow 3 n+6=42 \Leftrightarrow n=12}\end{array}$
Tích các giá trị x thỏa mãn bất phương trình $\frac{1}{2} A_{2 x}^{2}-A_{x}^{2} \leq \frac{6}{x} C_{x}^{3}+10$ là :
Sử dụng công thức tổ hợp và chỉnh hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{2 x \geq 2} \\ {x \geq 2} \\ {x \geq 3}\end{array} \Leftrightarrow x \geq 3, x \in N\right.$
$\begin{array}{l}{\frac{1}{2} A_{2 x}^{2}-A_{x}^{2} \leq \frac{6}{x} C_{x}^{3}+10} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \dfrac{(2 x) !}{(2 x-2) !}-\dfrac{x !}{(x-2) !} \leq \dfrac{6}{x} \dfrac{x !}{3 !(x-3) !}+10} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{(2 x-1) 2 x}{2}-x(x-1) \leq(x-1)(x-2)+10} \\ {\Leftrightarrow 2 x^{2}-x-x^{2}+x-x^{2}+3 x-2-10 \leq 0} \\ {\Leftrightarrow 3 x-12 \leq 0} \\ {\Leftrightarrow x \leq 4}\end{array}$
Đối chiếu điều kiện ta có $\left[\begin{array}{l}{x_{1}=3} \\ {x_{2}=4}\end{array} \Rightarrow x_{1} \cdot x_{2}=3.4=12\right.$
Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{C_{x}^{y}-C_{x}^{y+1}=0} \\ {4 C_{x}^{y}-5 C_{x}^{y-1}=0}\end{array}\right.$ có bao nhiêu nghiệm?
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thứ, rút x (hoặc y) từ 1 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để đưa về phương trình một ẩn.
Ta sử dụng công thức $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{x \geq y \geq 0} \\ {x \geq y+1 \geq 0} \\ {x \geq y-1 \geq 0}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{y \geq 1} \\ {x \geq 2}\end{array}(x, y \in \mathbb{N})\right.\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{C_{x}^{y}-C_{x}^{y+1}=0} (1)\\ {4 C_{x}^{y}-5 C_{x}^{y-1}=0(2)}\end{array}\right.$
$\begin{array}{l}{(1) \Leftrightarrow C_{x}^{y}=C_{x}^{y+1} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{y+1=y} \\ {y+1=x-y}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{0=1(V N)} \\ {x=2 y+1}\end{array} \Rightarrow x=2 y+1\right.\right.} \\ {(2) \Leftrightarrow 4 C_{x}^{y}=5 C_{x}^{y-1}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \dfrac{4 x !}{y !(x-y) !}=\dfrac{5 x !}{(y-1) !(x-y+1) !}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{4}{y}=\dfrac{5}{x-y+1}(*)}\end{array}$
Thay $x=2 y+1$ vào phương trình (*) ta được
$\begin{array}{l}{\dfrac{4}{y}=\dfrac{5}{2 y+1-y+1} \Leftrightarrow 4(y+2)=5 y \Leftrightarrow y=8(t m)} \\ {\Rightarrow x=2.8+1=17(t m)}\end{array}$
Vậy hệ có 1 cặp nghiệm
Có bao nhiêu số tự nhiên k thỏa mãn hệ thức $C_{14}^{k}+C_{14}^{k+2}=2 C_{14}^{k+1}$
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $0 \leq k \leq 12(k \in \mathbb{N})$
Ta có $C_{14}^{k}+C_{14}^{k+2}=2 C_{14}^{k+1}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \dfrac{14 !}{k !(14-k) !}+\dfrac{14 !}{(k+2) !(12-k) !}=2 \dfrac{14 !}{(k+1) !(13-k) !}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{14 !}{k !(12-k) !}\left[\dfrac{1}{(14-k)(13-k)}+\dfrac{1}{(k+2)(k+1)}-\dfrac{2}{(k+1)(13-k)}\right]=0} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{1}{(14-k)(13-k)}+\dfrac{1}{(k+2)(k+1)}-\dfrac{2}{(k+1)(13-k)}=0}\end{array}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow(k+2)(k+1)+(14-k)(13-k)-2(k+2)(14-k)=0} \\ {\Leftrightarrow k^{2}+3 k+2+k^{2}-27 k+182+2 k^{2}-24 k-56=0} \\ {\Leftrightarrow 4 k^{2}-48 k+128=0} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{k=8(t m)} \\ {k=4(t m)}\end{array}\right.}\end{array}$
Vậy có 2 giá trị của k thỏa mãn đề bài
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{2 A_{x}^{y}+5 C_{x}^{y}=90} \\ {5 A_{x}^{y}-2 C_{x}^{y}=80}\end{array}\right.$ ta được nghiệm $(x ; y)$ thì $xy$ bằng
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ và mối quan hệ giữa các công thức chỉnh hợp và tổ hợp $C_{n}^{k}=\dfrac{A_{n}^{k}}{k !}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $x \geq y \geq 0, x, y \in \mathbb{N}$
Đặt $a=A_{x}^{y} ; y=C_{x}^{y}$ ta được $\left\{\begin{array}{l}{2 a+5 b=90} \\ {5 a-2 b=80}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=20} \\ {b=10}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{A_{x}^{y}=20} \\ {C_{x}^{y}=10}\end{array}\right.\right.\right.$
Ta có $C_{x}^{y}=\frac{A_{x}^{y}}{y !} \Leftrightarrow 10=\dfrac{20}{y !} \Leftrightarrow y !=2 \Leftrightarrow y=2$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow C_{x}^{2}=20 \Leftrightarrow \dfrac{x !}{(x-2) !}=20 \Leftrightarrow x(x-1)=20} \\ {\Leftrightarrow x^{2}-x-20=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}{x=5} & {(t m)} \\ {x=-4} & {(k t m)}\end{array}\right.} \\ {\Rightarrow x y=5.2=10}\end{array}$
Giá trị của biểu thức $A_{n+k}^{n+1}+A_{n+k}^{n+2}$ bằng biểu thức nào sau đây ?
Áp dụng công thức chỉnh hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !}$ để biến đổi biểu thức
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{A_{n+k}^{n+1}+A_{n+k}^{n+2}=\dfrac{(n+k) !}{(k-1) !}+\dfrac{(n+k) !}{(k-2) !}=\dfrac{(n+k) !(1+k-1)}{(k-1) !}=k \cdot \frac{(n+k) !}{(k-1) !}} \\ {=k^{2} \dfrac{(n+k) !}{k !}=k^{2} A_{n+k}^{n}}\end{array}$
Có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn bất đẳng thức $C_{n-1}^{4}-C_{n-1}^{3}-\dfrac{5}{4} A_{n-2}^{2}<0(n \in N) ?$
Áp dụng các công thức chỉnh hợp tổ hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ để rút gọn sau đó giải bất phương trình lưu ý điều kiện của n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{n-1 \geq 4} \\ {n-1 \geq 3} \\ {n-2 \geq 2}\end{array} \Leftrightarrow n \geq 5, n \in \mathbb{N}\right.$
Ta có
$\begin{array}{l}{C_{n-1}^{4}-C_{n-1}^{3}-\dfrac{5}{4} A_{n-2}^{2}<0} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{(n-1) !}{4 !(n-5) !}-\dfrac{(n-1) !}{3 !(n-4) !}-\dfrac{5}{4} \dfrac{(n-2) !}{(n-4) !}<0} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{(n-2) !}{(n-5) !}\left(\dfrac{n-1}{4 !}-\dfrac{n-1}{3 !(n-4)}-\dfrac{5}{4(n-4)}\right)<0} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{n-1}{(n-5) !}-\dfrac{n-1}{6(n-4)}-\dfrac{5}{4(n-4)}<0} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{(n-1)(n-4)-4(n-1)-30}{24(n-4)}<0}\end{array}$
Vì $n \geq 5 \Rightarrow n-4>0$ nên
$\begin{array}{l}{b p t \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{(n-1)(n-4)-4(n-1)-30<0} \\ {n \geq 5}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{n^{2}-9 n-22<0} \\ {n \geq 5}\end{array}\right.\right.} \\ {\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{-2< n<11} \\ {n \geq 5}\end{array} \Leftrightarrow 5 \leq n<11\right.}\end{array}$
Vì $n \in \mathbb{N} \Rightarrow n \in\{5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10\}$
Vậy có 6 giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với x,y thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{A_{x}^{2}+C_{y}^{3}=22} \\ {A_{y}^{3}+C_{x}^{2}=66}\end{array}(x, y \in N)\right.$ thì $x-y$ bằng
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ và công thức liên hệ giữa công thức chỉnh hợp và tổ hợp là $C_{n}^{k}=\dfrac{A_{n}^{k}}{k !}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $x \geq 2, y \geq 3, x, y \in N$
Ta có $C_{x}^{2}=\dfrac{1}{2 !} A_{x}^{2}=\dfrac{1}{2} A_{x}^{2} ; C_{y}^{3}=\dfrac{1}{3 !} A_{y}^{3}=\dfrac{1}{6} A_{y}^{3}$
Đặt $A_{x}^{2}=a ; A_{y}^{3}=b$ ta có
$h p t \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a+\dfrac{b}{6}=22} \\ {b+\dfrac{a}{2}=66}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{a=12} \\ {b=60}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{A_{x}^{2}=12(1)} \\ {A_{y}^{3}=60(2)}\end{array}\right.\right.\right.$
Giải (1)
$A_{x}^{2}=12 \Leftrightarrow \dfrac{x !}{(x-2) !}=12 \Leftrightarrow x(x-1)=12 \Leftrightarrow x^{2}-x-12=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=4} \\ {x=-3}\end{array}(\text {ktm})\right.$
Giải (2)
$\begin{array}{l}{A_{y}^{3}=60 \Leftrightarrow \dfrac{y !}{(y-3) !}=60} \\ {\Leftrightarrow y(y-1)(y-2)=60} \\ {\Leftrightarrow y^{3}-3 y^{2}+2 y-60=0} \\ {\Leftrightarrow y=5(t m)}\end{array}$
Vậy $x-y=-1$
Ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 8 câu hỏi tự luận khác nhau. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi sao cho mỗi đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác nhau.
Sử dụng công thức tổ hợp và quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để lập được được một đề thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau và 4 câu hỏi tự luận khác nhau ta thực hiện qua 2 giai đoạn
Giai đoạn 1: Chọn 10 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau từ 15 câu hỏi trắc nghiệm khác nhau
có $C_{15}^{10}$ cách chọn
Giai đoạn 2: Chọn 4 câu hỏi tự luận khác nhau từ 8 câu hỏi tự luận khác nhau có $C_{8}^{4}$ cách chọn
Theo quy tắc nhân có $C_{15}^{10} \cdot C_{8}^{4}$ cách lập đề thi
Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn $\dfrac{1}{C_{n}^{1}}-\dfrac{1}{C_{n+1}^{2}}=\dfrac{7}{6 C_{n+4}^{1}}$ là
Sử dụng công thức tổ hợp $C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ rồi giải phương trình ẩn n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $n \geq 1, n \in \mathbb{N}$
$\begin{array}{l}{\dfrac{1}{C_{n}^{\prime}}-\dfrac{1}{C_{n+1}^{2}}=\dfrac{7}{6 C_{n+4}^{1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{\dfrac{n !}{(n-1) ! \cdot 1 !}}-\dfrac{1}{\dfrac{(n+1) !}{(n-1) ! 2 !}}=\dfrac{7}{\dfrac{6 \cdot(n+4) !}{(n+3) ! \cdot 1 !}}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n(n+1)}=\dfrac{7}{6 \cdot(n+4)}} \\ {\Leftrightarrow n^{2}-11 n+24=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=3} \\ {n=8}\end{array}\right.}\end{array}$
Vậy tổng các giá trị của n thỏa mãn là 11
Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{10}$ trong đó có 4 điểm $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ thẳng hàng ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?
Sử dụng công thức tổ hợp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số tam giác được tạo ra từ 10 điểm là $C_{10}^{3}$ tam giác
Do 4 điểm $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ thẳng nên số tam giác mất đi là $C_{4}^{3}$
Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_{10}^{3}-C_{4}^{3}=116$