Kí hiệu $A_{n}^{k}$ là số chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1 \leq k \leq n)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Theo lý thuyết ta có chỉnh hợp chập k của n phần tử là $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo lý thuyết ta có chỉnh hợp chập k của n phần tử là $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !}$
Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành từ 20 điểm phân biệt khác nhau
Sử dụng công thức tổ hợp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử ta có 2 điểm M,N phân biệt thì cho ta một đoạn thẳng MN
Vậy số đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là $C_{20}^{2}=190$
Số các hoán vị khác nhau của $n^2$ phân tử là :
Sử dụng định lý về số hoán vị của n phần tử
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số các hoán vị khác nhau của $n^2$ phần tử là $P_{n^{2}}=\left(n^{2}\right) !$
Số hoán vị của 5 phần tử là
Sử dụng công thức tính số các hoán vị của n phần tử là $P_{n}=n !$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số hoán vị khác nhau của 5 phần tử là $5!=120$
Chọn công thức đúng khi tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
$n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là:
$A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !}=n(n-1)(n-2) \ldots(n-k+1)$
Đáp án đúng là a
Số tổ hợp chập k của n phần tử là:
Sử dụng công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số tổ hợp chập k của n phần tử là $C_{n}^{k}$
Số tổ hợp chập 6 của 10 phần tử là :
Sử dụng công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử $C_{n}^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số tổ hợp chập 6 của 10 phần tử là $C_{10}^6$
Trong một hộp bánh có 5 loại bánh nhân thịt và 3 loại bánh nhân đậu xanh. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 bánh để phát cho các em thiếu nhi.
Mỗi cách lấy ra 4 bánh ứng với một tổ hợp chập 4 của 8.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn 4 trong 8 bánh có $C_8^4$
Một lớp có 43 học sinh. Số cách chọn ra 9 bạn để làm trực nhật là:
Sử dụng công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử $C_{n}^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mỗi cách chọn ra 9 bạn là một tổ hợp chập 9 của 43
Do đó số cách chọn là $C_{43}^{9}$
Cho $k, n(k< n)$ là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai?
Sử dụng các công thức liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}, C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !} ; \quad A_{n}^{k}=k ! C_{n}^{k}$ là các công thức đúng
Cho tập A có 100 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm 10 phần tử?
Số tập con gồm k phần tử của tập hợp A gồm n phần tử là $C_{n}^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số tập con gồm 10 phần tử trong tập A gồm 100 phần tử là $C_{100}^{10}$
Cho $C_{n}^{n-3}=1140$ . Tính $\mathrm{A}=\dfrac{\mathrm{A}_{\mathrm{n}}^{6}+\mathrm{A}_{\mathrm{n}}^{5}}{\mathrm{A}_{\mathrm{n}}^{4}}$
Sử dụng công thức chỉnh hợp $C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ và $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{n \in \mathbb{N}} \\ {n \geq 6}\end{array}\right.$
Ta có $C_{n}^{n-3}=1140 \Leftrightarrow \dfrac{n !}{3 !(n-3) !}=1140 \Leftrightarrow n=20$
Khi đó $A=\dfrac{n(n-1) \ldots(n-5)+n(n-1) \dots(n-4)}{n(n-1) \dots(n-3)}=n-4+(n-4)(n-5)=256$
Giải phương trình $\mathrm{P}_{\mathrm{x}}=120$
Đánh giá từng khoảng rồi chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{x \in N} \\ {x \geq 1}\end{array}\right.$
Ta có $\mathrm{P}_{5}=120$
Với $x>5 \Rightarrow P_{x}>P_{5}=120 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm
Với $x<5 \Rightarrow P_{x}< P_{5}=120 \Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm
Vậy x=5 là nghiệm duy nhất
Cho n là số nguyên dương và $C_{n}^{4}=330$. Tính $A_{n}^{4}$
Sử dụng công thức $A_{n}^{k}=k ! C_{n}^{k}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A_{n}^{4}=4 ! C_{n}^{4}=4 ! .330=7920$
Tìm $x \in \mathbb{N}$ biết $C_{x}^{0}+C_{x}^{x-1}+C_{x}^{x-2}=92$
Sử dụng công thức $C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ rồi giải phương trình ẩn n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\mathrm{PT} \Leftrightarrow 1+\dfrac{x !}{(x-1) !}+\dfrac{x !}{(x-2) ! 2 !}=92(x \in \mathbb{N}, x \geq 1) \Leftrightarrow 1+x+\dfrac{(x-1) x}{2}=79} \\ {\Leftrightarrow x^{2}+x-182=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=13(T M)} \\ {x=-14(L)}\end{array} \Leftrightarrow x=13\right.}\end{array}$
Có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn phương trình $\dfrac{1}{C_{x}^{1}}-\dfrac{1}{C_{x+1}^{2}}=\dfrac{7}{6 C_{x+4}^{1}}$
Sử dụng công thức $C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ với điều kiện $k \leq n$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{x \geq 1} \\ {x+1 \geq 2} \\ {x+4 \geq 1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{x \geq 1} \\ {x \geq-3}\end{array} \Leftrightarrow x \geq 1, x \in \mathbb{N}\right.\right.$
$\begin{array}{l}{\dfrac{1}{C_{x}^{1}}-\dfrac{1}{C_{x+1}^{2}}=\dfrac{7}{6 C_{x+4}^{1}}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\dfrac{(x+1) !}{2 !(x-1) !}}=\dfrac{7}{6(x+4)}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x(x+1)}=\dfrac{7}{6(x+4)}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{6(x+1)(x+4)-12(x+4)-7 x(x+1)}{6 x(x+1)(x+4)}=0}\end{array}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 6 x^{2}+30 x+24-12 x-48-7 x^{2}-7 x=0} \\ {\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=8(t m)} \\ {x=3(t m)}\end{array}\right.}\end{array}$
Vậy có 2 giá trị thỏa mãn đề bài
Có bao nhiêu giá trị của n thỏa mãn $A_{n}^{2}-3 C_{n}^{2}=15-5 n$
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$ để tìm n
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\mathrm{PT} \Leftrightarrow \dfrac{n !}{(n-2) !}-3 \cdot \dfrac{n !}{(n-2) ! 2 !}=15-5 n,(n \in \mathbb{N}, n \geq 2)} \\ {\Leftrightarrow(n-1) n-\dfrac{3(n-1) n}{2}=15-5 n \Leftrightarrow-n^{2}+11 n-30=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=6(T M)} \\ {n=5(T M)}\end{array}\right.}\end{array}$
Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn
Với n thỏa mãn $A_{n}^{3}+5 A_{n}^{2}=2(n+15)$ thì
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !} ; C_{n}^{k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $n \geq 3, n \in N$
Ta có
$\begin{array}{l}{A_{n}^{3}+5 A_{n}^{2}=2(n+15)} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{n !}{(n-3) !}+5 \dfrac{n !}{(n-2) !}=2(n+15)} \\ {\Leftrightarrow n(n-1)(n-2)+5 n(n-1)=2(n+15)} \\ {\Leftrightarrow n^{3}-3 n^{2}+2 n+5 n^{2}-5 n-2 n-30=0} \\ {\Leftrightarrow n^{3}+2 n^{2}-5 n-30=0} \\ {\Leftrightarrow n=3(t m)}\end{array}$
Vậy $n \in(2 ; 4)$
Nghiệm của phương trình $A_{x}^{10}+A_{x}^{9}=9 A_{x}^{8}$ là
Sử dụng công thức chỉnh hợp $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Điều kiện $x \geq 10 ; x \in \mathbb{N}$
Ta có
$\begin{array}{l}{A_{x}^{10}+A_{x}^{9}=9 A_{x}^{8} \Leftrightarrow \dfrac{x !}{(x-10) !}+\dfrac{x !}{(x-9) !}=9 \cdot \dfrac{x !}{(x-8) !}} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{1}{(x-10)(x-9)}+\dfrac{1}{x-9}=9 \Leftrightarrow 9 x^{2}-172 x+821=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=\dfrac{91}{9}} \\ {x=9}\end{array}\right.}\end{array}$
Đối chiếu điều kiện ta có $x=9$
Mười hai đường thẳng có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm ?
Để được nhiều giao điểm nhất thì mười hai đường thẳng này phải đôi một cắt nhau
tại các điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để được nhiều giao điểm nhất thì mười hai đường thẳng này phải đôi một cắt nhau
tại các điểm phân biệt.
Hai đường thẳng cắt nhau tại thành 1 giao điểm nên số giao điểm nhiều nhất là $C_{12}^{2}=66$