Hướng dẫn giải (chi tiết)

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia nên nếu $a$ và $b$ song song, nếu $a$ vuông góc với $c$ thì $b$ cũng vuông góc với $c$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.

Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên $A M \perp C D, O M \perp C D$

Ta có $\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{C D} \cdot(\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M O})=\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{M O}=0$

Suy ra $\overrightarrow{A O} \perp \overrightarrow{C D}$  nên số đo góc giữa hai đường thẳng $A O$ và $CD$ bằng $90^{0}$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$

Ta có $\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}$

Do đó $\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \cdot(\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M B})=\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{C D} \cdot \overrightarrow{M B}=\overrightarrow{0}$

Suy ra $A B \perp C D$ nên số đo góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $90^{0}$. 

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đáp án A sai vì nếu đường thẳng đó cắt mặt phẳng chứa hai đường thẳng còn lại tại chính giao điểm của hai đường thẳng thì ba đường thẳng đó cũng không đồng quy.

Do đó đáp án C và D cũng  sai.

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

A sai vì: Nếu $a$ và $b$ cùng vuông góc với $c$ vì $a$ và $b$ hoặc song song hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau( cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với nhau $c$)

C sai vì: Giả sử hai đường thẳng $a$ và $b$  chéo nhau, ta dựng đường thẳng $c$ là đường vuông góc chung của  $a$ và $b$. Khi đó góc giữa $a$ và $c$  bằng với góc giữa $b$ và $c$ và cùng bằng $90^{0}$, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng $a$ và $b$ không song song.

D sai vì: Giả sử $a$ vuông góc với $c$, $b$ song song với $c$, khi đó góc giữa $a$ và $c$ bằng $90^{0}$, còn góc giữa $b$ và $c$ bằng $\mathrm{O}^{0}$. 

Do đó B đúng.

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đáp án A sai vì nếu góc giữa hai véc tơ chỉ phương lớn hơn $90^{0}$ thì góc giữa hai đường thẳng sẽ là góc bù với góc đó chứ không bằng.

Đáp án B sai vì vẫn có thể xảy ra các trường hợp $b$ và $c$  chéo nhau, cắt nhau, trùng nhau.

Đáp án C sai vì góc giữa hai đường thẳng có thể nhọn hoặc vuông.

Do đó D đúng. 

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đáp án B sai vì vẫn có thể xảy ra các trường hợp hai đường thẳng đó chéo nhau, cắt nhau, trùng nhau hoặc thậm chí là vuông góc.

Do đó đáp án D cũng sai.

Đáp án C sai vì hai đường thẳng đó có thể chéo nhau.

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có : $|\vec{a}+2 \vec{b}|^{2}=(\vec{a}+2 \vec{b})^{2}=\vec{a}^{2}+4 \vec{a} \vec{b}+4 \vec{b}^{2}$

$\begin{array}{l}{=|\vec{a}|^{2}+4|\vec{a}||\vec{b}| \cos (\vec{a}, \vec{b})+4|\vec{b}|^{2}} \\ {=3^{2}+4.3 .5 \cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+4.5^{2}=79 \Rightarrow|\vec{a}+2 \vec{b}|=\sqrt{79}}\end{array}$

nên D sai.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

A đúng vì: 

$\left\{\begin{array}{l}{A^{\prime} C^{\prime} \perp B^{\prime} D^{\prime}} \\ {B^{\prime} D^{\prime} / B D}\end{array} \Rightarrow A^{\prime} C^{\prime} \perp B D\right.$

C đúng vì: $\left\{\begin{array}{l}{A^{\prime} B \perp A B^{\prime}} \\ {A B^{\prime} / / D C^{\prime}}\end{array} \Rightarrow A^{\prime} B \perp D C^{\prime}\right.$

D đúng vì: $\left\{\begin{array}{l}{B C^{\prime} \perp B^{\prime} C} \\ {B^{\prime} C / / A^{\prime} D}\end{array} \Rightarrow B C^{\prime} \perp A^{\prime} D\right.$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{E G}=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$. Mặt khác $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$

Suy ra $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{E G}=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})=\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}$

Vì $A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A B \perp A D \Leftrightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=A B^{2}+0=a^{2}$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: 

$\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A E}$

$\overrightarrow{E G}=\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$

$\begin{array}{c}{\Rightarrow \overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{E G}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A E}) \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})=A B^{2}+\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}} \\ {\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A D}=A B^{2}}\end{array}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \cos (\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{E G}) &=\dfrac{\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{E G}}{|\overrightarrow{A F}| \cdot|\overrightarrow{E G}|}=\dfrac{a^{2}}{a \sqrt{2} \cdot a \sqrt{2}}=\dfrac{1}{2} \\ & \Rightarrow(\overrightarrow{\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{E G}})=60^{\circ} \end{aligned}$

$\Rightarrow\widehat{(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{E G}})=60^{0}$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $A C=a \sqrt{2}$

$\Rightarrow A C^{2}=2 a^{2}=S A^{2}+S C^{2}$

$\Rightarrow \Delta S A C$ vuông tại $S$

Khi đó: $\overrightarrow{N M} \cdot \overrightarrow{S C}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{S A} \cdot \overrightarrow{S C}=0 \Leftrightarrow(\overrightarrow{N M}, \overrightarrow{S C})=90^{\circ}$

$\Rightarrow(M N, S C)=90^{\circ}$

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $P$ là trung điểm của $A B \Rightarrow P N, P M$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $\Delta A B C$ và $\Delta A B D$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{P N=\dfrac{1}{2} A C=\dfrac{a}{2}} \\ {P M=\dfrac{1}{2} B D=\dfrac{3 a}{2}}\end{array}\right.$

Ta có $A C \perp B D \Rightarrow P N \perp P M$ hay tam giác $\Delta P M N$ vuông tại $P$

Do đó $M N=\sqrt{P N^{2}+P M^{2}}=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}+\dfrac{9 a^{2}}{4}}=\dfrac{a \sqrt{10}}{2}$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $B A C$ và $B A D$ là 2 tam giác đều, $I$ là trung điểm của $AB$ nên $C I=D I$ ( 2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh $AB$) nên $\mathrm{CID}$ là tam giác cân ở $I$. Do đó $I J \perp C D$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có 

$\begin{array}{l}{A B \perp A E} \\ {A E / / D H}\end{array} \} \Rightarrow A B \perp D H \Rightarrow(A \widehat{B, D} H)=90^{\circ}$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{(M N P Q) / / A B} \\ {(M N P Q) \cap(A B C)=M Q}\end{array} \Rightarrow M Q / / A B\right.$

Tương tự ta có: $M N / / C D, N P / / A B, Q P / / C D$

Do đó tứ giác $M N P Q$ là hình bình hành

lại có $M N \perp M Q(d o A B \perp C D)$. 

Vậy tứ giác $M N P Q$ là hình chữ nhật.

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét $\overrightarrow{S A} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{S A} \cdot(\overrightarrow{S C}-\overrightarrow{S B})=\overrightarrow{S A} \cdot \overrightarrow{S C}-\overrightarrow{S A} \cdot \overrightarrow{S B}$

$=|\overrightarrow{S A}| \cdot|\overrightarrow{S C}|{\cdot \cos }(\overrightarrow{S A}, \overrightarrow{S C})-|\overrightarrow{S A}| \cdot|\overrightarrow{S B}| \cdot \cos \widehat{S A B}$

$=S A . S C . \cos \widehat{A S C}-S A . S B \cdot \cos \widehat{A S B}$  (1)

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{\text {SAchung}} \\ {A B=A C} \\ {\widehat{S A B}=\widehat{S A C}}\end{array} \Rightarrow \Delta S A B=\Delta S A C(c-g-c)\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{S C=S B} \\ {\widehat{A S C}=\widehat{A S B}}\end{array}\right.$  (2)

Từ (1) và (2), suy ra $\overrightarrow{S A} \cdot \overrightarrow{B C}=0$ và $S A \perp B C$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A C})=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$

$\begin{array}{l}{=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A D}| \cdot \cos (\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D})-|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cdot \cos (\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C})} \\ {=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A D}| \cdot \cos 60^{\circ}-|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cdot \cos 60^{\circ}}\end{array}$

Mà $A C=A D \Rightarrow \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0 \Rightarrow(\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D})=90^{\circ}$

Đáp án: D