Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng không có điểm thì chúng song song (khi chúng đồng phẳng) hoặc chéo nhau (khi chúng không đồng phẳng)
Đáp án: A
Hai đường thẳng chéo nhau nếu:
Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng.
Đáp án : D
Hai đường thẳng được gọi là song song nếu:
Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Đáp án: D.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xét tính đúng sai của mỗi đáp án, sử dụng định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau và song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A sai, trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có một điểm chung.
B và C sai. Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Đáp án: D
Cho hai đường thẳng a,b có một điểm chung duy nhất. Có thể kết luận gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng đó?
Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng có điểm chung duy nhất thì chúng cắt nhau
Đáp án D
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Xét tính đúng sai của mỗi đáp án, sử dụng định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau và song song.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A sai. Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung.
C sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó hoặc cắt nhau hoặc trùng nhau
D sai. Có thể xảy ra trường hợp hai đường thẳng đó song song
Đáp án: B
Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABD. Đường thẳng IJ song song với đường thẳng :
Đưa về cùng mặt phẳng và vận dụng các kiến thức hình học phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi E,F lần lượt là trung điểm của BC và BD ta có:
$\begin{array}{l}{I \in A E ; \dfrac{A I}{A E}=\dfrac{2}{3}} \\ {J \in A F ; \dfrac{A J}{A F}=\dfrac{2}{3}}\end{array}$
Xét trong $m p(A E F)$ ta suy ra $I J / / E F$ ( Định lý Ta lét đảo)
Mà MF là đường trung bình của tam giác $A B C \Rightarrow E F / / C D$
Vậy $I J / / C D$
Đáp án: D
Tìm mệnh đề đúng trong mệnh đề sau:
Sử dụng định nghĩa về hai đường thẳng song song và chéo nhau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng phân biệt nếu không có điểm chung( không cắt nhau) thì có thể song song hoặc chéo nhau.
Đáp án: D
Hai đường thẳng song song thì:
Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hai đường thẳng song song với nhau thì chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Đáp án: C
Một mặt phẳng không thể được xác định nếu ta chỉ biết:
Sử dụng điều kiện để xác định mặt phẳng:
Mặt phẳng được xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng nằm trong nó, hai đường thẳng cắt nhau nằm trong nó hoặc hai đường thẳng song song nằm trong nó.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mặt phẳng được xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng nằm trong nó, hai đường thẳng cắt nhau nằm trong nó hoặc hai đường thẳng song song nằm trong nó.
Trường hợp ba điểm phân biệt chưa xác định được mặt phẳng vì nếu ba điểm đó thẳng hàng thì ta không xác định được duy nhất mặt phẳng.
Đáp án: C
Chọn mệnh đề đúng:
Sử dụng tính chất về hai đường thẳng song song
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tính chất hai đường thẳng song song
-Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài đường thẳng đó có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó
- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau
Từ hai tính chất trên ta thấy A đúng
Đáp án: A
Cho 3 đường thẳng $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ không cùng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Sử dụng định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
B sai. Nếu 3 đường thẳng trùng nhau nếu chúng cùng thuộc một mặt phẳng
C sai. Nếu 3 đường thẳng trên chứa 3 cạnh của một tam giác khi đó sẽ tạo thành 3 điểm phân biệt không thẳng hàng (là 3 đỉnh của tam giác), chúng lập thành một mặt phẳng xác định. 3 đường thẳng cùng nằm trên mặt phẳng.
Đáp án: A
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm cạnh $A B, A D, C D, B C$.
Mệnh đề nào sau đây sai?
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Sử dụng các tính chất đường trung bình của tam giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có MN,P Q lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và CBD nên
$M N / / B D ; M N=\dfrac{1}{2} B D \text { và } P Q / / B D ; P Q=\dfrac{1}{2} B D$
$\Rightarrow M N / / P Q \text { và } M N=P Q$
Do đó MNPQ là hình bình hành nên $M P, N Q$ cùng thuộc mặt phẳng
Đáp án: A.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Sử dụng định nghĩa về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau
Hướng dẫn giải (chi tiết)
B sai vì hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì có thể chéo nhau hoặc song song.
C sai vì hai đường thẳng phân biệt không song song thì có thể chéo nhau hoặc cắt nhau
D sai vì hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau hoặc song song.
Đáp án: A
Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx,Cy,Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua B,C,D và nằm về một phía của mặt phẳng $(A B C D)$, đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng đi qua A và cắt Bx,Cy,Dz lần lượt tại các điểm $B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ với $B B^{\prime}=2, D D^{\prime}=4$ . Khi đó $C C^{\prime}$ bằng?
- Đưa về cùng mặt phẳng;
- Sử dụng các tính chất của đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trên Cx và Dy lấy điểm B' và D' sao cho $B B^{\prime}=2, D D^{\prime}=4$
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, I là trung điểm của $B^{\prime} D^{\prime}, I \in B^{\prime} D^{\prime}$
Ta có BDD'B' là hình thang, OI là đường trung bình của hình thanh nên
$O I / / B B^{\prime} / / D D^{\prime} / / C z$ và $O I=\dfrac{B B^{\prime}+\mathrm{D} \mathrm{D}^{\prime}}{2}=\dfrac{2+4}{2}=3$
Xét mặt phẳng tạo bởi OI và CC' có $A I \cap C z=C^{\prime}$
Ta có $O I / / C C^{\prime}, A O=O C \text { suy ra } A I=I C^{\prime}$.
Suy ra $OI$ là đường trung bình của tam giác $A C C^{\prime} \Rightarrow C C^{\prime}=2 O I=6$
Đáp án: D
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang đáy lớn là $CD$. Gọi M là trung điểm của cạnh $SA$, N là giao điểm của $SB$ và mặt phẳng $(MCD)$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
Sử dụng $\left\{ \begin{array}{l}\na//b\\\na \subset \left( \alpha \right)\\\nb \subset \left( \beta \right)\\\n\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = c\n\end{array} \right. \Rightarrow b//c$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $(MCD)$ chứa $CD//AB$ nên mặt phẳng $(MCD)$ cắt các mặt phẳng chứa $AB$ theo các giao tuyến song song với $AB$
Mà $M$ là một điểm chung của $(MCD),(SAB)$ nên theo nhận xét trên giao tuyến $MN//AB$
Vậy $MN//CD$
Đáp án B
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD,CD,BC$. Mệnh đề nào sau đây sai?
+) Sử dụng định lý đường trung bình trong tam giác
+) Hai đường thẳng $a,b$ chéo nhau $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \cap b = \emptyset \\\na \subset \left( \alpha \right)\\\nb \subset \left( \beta \right)\\\n\left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = c\n\end{array} \right.$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có $MN,PQ$ lần lượt là đường trung bình tam giác $ABD,BCD$ nên
$\left\{ \begin{array}{l}\nMN//BD,MN = \dfrac{{BD}}{2}\\\nPQ//BD,PQ = \dfrac{{BD}}{2}\n\end{array} \right. \Rightarrow MN//PQ,MN = PQ$
$\Rightarrow $ $MNPQ$ là hình bình hành
Do đó $MP,NQ \subset \left( {MNPQ} \right)$
Đáp án D
Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M,N,P,Q,R,T$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC,BD,BC,CD,SA,SD$. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
+) Sử dụng đường trung bình của tam giác
+) $\left\{ \begin{array}{l}\nE,F \in a\\\nG,H \in b\\\na//b\n\end{array} \right. \Rightarrow $ 4 điểm $E,F,G,H$ đồng phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $RT//AD$
$MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $MQ//AD$
Suy ra $RT//MQ$. Do đó $M,Q,T,R$ đồng phẳng
Đáp án B
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $AC,BC,BD,AD$. Điều kiện để $MNPQ $ là hình thoi
+) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác
+) Đưa về cùng mặt phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $MQ,PQ,MN$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $ACD,DAB,ABC$ nên
$\left\{ \begin{array}{l}\nMQ//CD;MQ = \dfrac{{CD}}{2}\\\nMN//AB;MN = \dfrac{{AB}}{2}\\\nPQ//AB;PQ = \dfrac{{AB}}{2}\n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\nMQ//CD;MQ = \dfrac{{CD}}{2}\\\nMN//PQ;MN = PQ\n\end{array} \right. \Rightarrow $ $MNPQ$ là hình bình hành
Để $MNPQ$ là hình thoi
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow MQ = PQ\\ \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{CD}}{2} \Leftrightarrow AB = CD\n\end{array}$
Đáp án D
Cho tứ diện $S.ABC$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $SA,SB,AC$ sao cho $LM$ không song song với $AB$, $LN$ không song song với $SC$. Mặt phẳng $(LMN)$ cắt các cạnh $AB,BC,SC$ lần lượt tại $K,I,J$. Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
+) Tìm giao tuyến $d$ của 2 mặt phẳng $(LMN),(SBC)$
+) Chứng minh 3 điểm $M,I,J \in d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $M \in SB$ nên $M$ là điểm chung của $(LMN)$ và $(SBC)$
$I \in BC \Rightarrow I$ là điểm chung của $(LMN)$ và $(SBC)$
$J \in SC \Rightarrow J$ là điểm chung của $(LMN)$ và $(SBC)$
Vậy $M,I,J$ thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng $(LMN),(SBC)$
Đáp án B