Chọn đáp án đúng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty $ nên A đúng, B sai.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^4}} \right) = - \infty $ nên C và D đều sai.
Đáp án: A.
Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x^{2}+1}{1-x}$. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{x^{2}+1}{1-x}=+\infty$
vì
$\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0\\ 1 - x > 0(\forall x < 1) \end{array} \right.$
Đáp án: A.
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{2 x}{\sqrt{1-x}}(x<1)} \\ {\sqrt{3 x^{2}+1}(x \geq 1)}\end{array}\right.$. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) $ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) =\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\sqrt{3 x^{2}+1}=\sqrt{3.1^{2}+1}=2.$
Đáp án: B.
Cho $n=2 k+1, k \in \mathbb N$. Khi đó:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = + \infty $ nếu $k$ chẵn và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = - \infty $ nếu $k$ lẻ.
Do đó, vì $n=2 k+1, k \in \mathbb N$ là số nguyên lẻ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty $
Đáp án: C.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right) =\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}+1\right)=+\infty$ vì:
$\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} + 1 = 2 > 0 \end{array} \right.$
Đáp án: B.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt[3]{3 x^{3}-1}+\sqrt{x^{2}+2}\right)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt[3]{3 x^{3}-1}+\sqrt{x^{2}+2}\right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left(\sqrt[3]{3-\dfrac{1}{x^{3}}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{x^{2}}}\right)=+\infty$ vì:
$\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[3]{{3 - \dfrac{1}{{{x^3}}}}} + \sqrt {1 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} } \right) = \sqrt[3]{3} + 1 > 0 \end{array} \right.$
Đáp án: B.
Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{x-15}{x-2}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 15) = - 13 < 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x - 2) = 0\\ x - 2 > 0,\forall x > 2 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}} = - \infty $
Đáp án: A.
Chọn mệnh đề đúng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) =+\infty \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \left[ { - f(x)} \right] = - \infty $
Đáp án: B.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(|x|^{3}+2 x^{2}+3|x|\right)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\left(|x|^{3}+2 x^{2}+3|x|\right)= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(-x^{3}+2 x^{2}-3 x\right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x^{3}\left(-1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^{2}}\right)=+\infty$
Đáp án: B.
Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2} = 2 > 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2} = 0\\ \sqrt {x - 2} > 0,\forall x > 2 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }} = + \infty $
Đáp án: B.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt{\dfrac{9 x^{2}-x}{(2 x-1)\left(x^{4}-3\right)}}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt{\dfrac{9 x^{2}-x}{(2 x-1)\left(x^{4}-3\right)}}=\sqrt{\dfrac{9.3^{2}-3}{(2.3-1)\left(3^{4}-3\right)}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$
Đáp án: C.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(x-x^{3}+1\right)$là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(x-x^{3}+1\right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x^{3}\left(\dfrac{1}{x^{2}}-1+\dfrac{1}{x^{3}}\right) =+\infty$ vì
$\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = - 1 < 0 \end{array} \right.$
Đáp án: D.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left|x^{2}-4\right|$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left|x^{2}-4\right| = \left|(\sqrt{3})^{2}-4\right|=1$
Đáp án: B.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{\dfrac{x^{2}-x-1}{x^{2}+2 x}}$ là:
Thay $x=2$ để tính giá trị giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt[3]{\dfrac{x^{2}-x-1}{x^{2}+2 x}}=\sqrt[3]{\dfrac{2^{2}-2-1}{2^{2}+2.2}}=\dfrac{1}{2}$
Đáp án: B.
Kết quả của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{\sqrt{4 x^{2}-2 x+1}+2-x}{\sqrt{9 x^{2}-3 x}+2 x}$ là:
Chia cả tử và mẫu cho bậc lớn nhất
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{\sqrt{4 x^{2}-2 x+1}+2-x}{\sqrt{9 x^{2}-3 x}+2 x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{\sqrt{4-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}+\dfrac{2}{x}-1}{\sqrt{9-\dfrac{3}{x}}+2}=\dfrac{1}{5}$.
Đáp án cần chọn là: D.
Giá trị của giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}}\right)$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}}\right)=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\left(\sqrt{x^{2}+x}-x+x-\sqrt[3]{x^{3}-x^{2}}\right)} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}+\dfrac{x^{2}}{x^{2}+x \sqrt[3]{x^{3}-1}+\sqrt[3]{\left(x^{3}-1\right)^{2}}}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}}\end{array}$
Đáp án cần chọn là A.
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(\sqrt{x^{2}+1}+x-1\right)$ bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left(\sqrt{x^{2}+1}+x-1\right)} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+1}+x-1\right)\left(\sqrt{x^{2}+1}-x+1\right)}{\sqrt{x^{2}+1}-x+1}} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\dfrac{x^{2}+1-(x-1)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}-x+1}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{x^{2}+1-x^{2}+2 x-1}{\sqrt{x^{2}+1}-x+1}} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}-x+1}} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }\dfrac{\dfrac{2 x}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}-\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{2}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}-1+\dfrac{1}{x}}} \\ {=\dfrac{2}{-1-1+0}=-1}\end{array}$
Đáp án cần chọn là: A.
Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+x+3}-x\right)$ bằng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left(\sqrt{x^{2}+x+3}-x\right)} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{\left(\sqrt{x^{2}+x+3}-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+x+3}+x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+x+3}+x\right)}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x^{2}+x+3-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+3}+x}} \\ {=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x+3}+x}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}}+1}} \\ {=\dfrac{1+0}{\sqrt{1+0+0}+1}=\dfrac{1}{2}}\end{array}$
Đáp án cần chọn là: C.
Kết quả của biểu thức $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^3}\cos \dfrac{8}{{nx}}$ là
Sử dụng định lí kẹp để tính giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $0 \le \left| {\cos \dfrac{8}{{nx}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow 0 \le \left| {{x^3}\cos \dfrac{8}{{nx}}} \right| \le {x^3}$
Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^3} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^3}\cos \dfrac{8}{{nx}} = 0$
Đáp án C
Tính giới hạn $A=\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sin \sqrt {x + 1} - \sin \sqrt x } \right)$
Sử dụng nguyên lí kẹp để tính giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sin \sqrt {x + 1} - \sin \sqrt x } \right)$
$\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2\sin \dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{2}.\cos \dfrac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2\sin \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}.\cos \dfrac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{2}} \right)\n\end{array}$
Mặt khác $0 \le \left| {\cos \dfrac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{2}} \right| \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| {2\sin \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}.\cos \dfrac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{2}} \right| \le \left| {2\sin \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}} \right|$
$\begin{array}{l}\n\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2\sin \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}} = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2\sin \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}.\cos \dfrac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{2} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sin \sqrt {x + 1} - \sin \sqrt x } \right) = 0\n\end{array}$
Đáp án D