Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+) Phương án A: Ta có $a_{1}=1 ; a_{2}=\dfrac{2018}{1+2017}=1 ; a_{3}=1$. Từ đây ta dự đoán $a_{n}=1, \forall n \geq 1$
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng $a_{n}=1, \forall n \geq 1$
Suy ra $(a_n)$ là dãy số không đổi. Do đó phương án A đúng
+) Phương án B: Ta có $b_{n+2}=\tan [2(n+2)+1] \dfrac{\pi}{4}$
$=\tan \left[(2 n+1) \dfrac{\pi}{4}+\pi\right]=\tan (2 n+1) \dfrac{\pi}{4}=a_{n}, \forall n \geq 1$
Vậy $b_{n+2}=b_{n}, \forall n \geq 1$. Do đó phương án B là đúng
+) Phương án C: Ta có $c_{n}=1, \forall n \geq 1$ nên dãy số $(c_n)$ là dãy số không đổi.
Suy ra là dãy số bị chặn. Do đó phương án C là đúng.
+) phương án D: Ta có $d_{2 n}=\cos (2 n \pi)=1=\cos (4 n \pi)=d_{4 n}$
Suy ra khẳng định $(d_n)$ là một dãy số giảm là khẳng định sai.
Đáp án: D
Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát là $u_{n}=2.\left(3^{n}\right)$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$. Công thức truy hồi của dãy số đó là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $u_{1}=2.3^{1}=6$ nên ta loại các đáp án C, D. Ta có $u_{2}=2.3^{2}=18$
Xét đáp án A: $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=6} \\ {u_{n}=6 u_{n-1}, n>1}\end{array} \Rightarrow u_{2}=6 u_{1}=6.6=36 \Rightarrow\right.$ A loại
Xét đáp án B: $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=6} \\ {u_{n}=3 u_{n_{n}-1}, n>1}\end{array} \Rightarrow u_{2}=3 u_{1}=3.6=18 \Rightarrow\right.$ chọn B
Đáp án: B
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào bị chặn trên?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số $(a_n)$ là dãy số tăng và bị chặn dưới bởi $a_1=4$
Dãy số $(b_n)$ có $\dfrac{1}{n(2 n+1)}<1 \forall n \in N^{*} \Rightarrow\left(b_{n}\right)$ là dãy số bị chặn trên bởi 1
Dãy số $\left(c_{n}\right)$ là dãy số tăng và bị chặn dưới bởi $c_{1}=12$
Dãy số $\left(d_{n}\right)$ là dãy đan dấu và $d_{2 n}=(-2)^{2 n}=4^{n}$ lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn và $d_{2 n+1}=(-2)^{2 n+1}=-2.4^{n}$ nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.
Do đó dãy $\left(d_{n}\right)$ không bị chặn.
Đáp án: B
Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+) Dãy số $(a_n)$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì $a_{n}=\sqrt{n^{2}+16} \geq \sqrt{17}, \forall n \geq 1$
+) Dãy số $(b_n)$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì $b_{n}=n+\dfrac{1}{2 n}>2 \sqrt{n \cdot \dfrac{1}{2 n}}=\sqrt{2}, \forall n \geq 1$
+) Dãy số $(c_n)$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì $c_{n}=2^{n}+3 \geq 5, \forall n \geq 1$
+) Dãy số $(d_n)$ là dãy số bị chặn vì
$\begin{array}{l}\n\dfrac{n}{{{n^2} + 4}} \le \dfrac{n}{{4n}} = \dfrac{1}{4}\\\n\dfrac{n}{{{n^2} + 4}} \ge \dfrac{1}{5}\n\end{array}$
Đáp án: D
Cho dãy số $(u_n)$, với $u_{n}=\dfrac{3 n-1}{3 n+7}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{u_{n+1}-u_{n}=\displaystyle\frac{3(n+1)-1}{3(n+1)+7}-\frac{3 n-1}{3 n+7}=\displaystyle\frac{3 n+2}{3 n+10}-\frac{3 n-1}{3 n+7}} \\ {=\dfrac{9 n^{2}+27 n+14-9 n^{2}-27 n+10}{(3 n+10)(3 n+7)}=\dfrac{24}{(3 n+10)(3 n+7)}>0}\end{array}$
Do đó $(u_n)$ là dãy tăng
Ta có $u_{n}=\displaystyle\frac{3 n-1}{3 n+7}=1-\frac{8}{3 n+7}<1 \forall n \geq 1$ nên dãy số $(u_n)$ bị chẵn trên bởi 1.
$u_{1}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow\left(u_{n}\right)$ bị chặn dưới bởi $\dfrac{1}{5}$
Đáp án: C
Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_{n}=2017 \sin \dfrac{n \pi}{2}+2018 \cos \dfrac{n \pi}{3}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+ Ta có $a_{n+6}=2017 \sin \dfrac{(n+6) \pi}{2}+2018 \cos \dfrac{(n+6) \pi}{3}=-2017 \sin \dfrac{n \pi}{2}+2018 \cos \dfrac{n \pi}{3} \not=a_{n}$
+ Ta có $a_{n+6}=2017 \sin \dfrac{(n+9) \pi}{2}+2018 \cos \dfrac{(n+9) \pi}{3}=2017 \sin \dfrac{n \pi}{2}-2018 \cos \dfrac{n \pi}{3} \neq a_{n}$
+ Ta có $a_{n+12}=2017 \sin \dfrac{(n+12) \pi}{2}+2018 \cos \dfrac{(n+12) \pi}{3}=2017 \sin \dfrac{n \pi}{2}+2018 \cos \dfrac{n \pi}{3}=a_{n}$
+ Ta có $a_{n+15}=2017 \sin \dfrac{(n+15) \pi}{2}+2018 \cos \dfrac{(n+15) \pi}{3}=-2017 \sin \dfrac{n \pi}{2}-2018 \cos \dfrac{n \pi}{3} \neq a_{n}$
Đáp án: C
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}^{2}}, \quad \forall n \geq 1$. Tổng $S_{2018}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\ldots+u_{2018}^{2}$ là?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}^{2}} \Leftrightarrow u_{n+1}^{2}=u_{n}^{2}+2=u_{n-1}^{2}+2+2=\ldots=u_{1}^{2}+2 n=1+2 n} \\ {\Leftrightarrow u_{n}^{2}=1+2(n-1)=2 n-1}\end{array}$
Khi đó
$\begin{array}{l}{S_{2018}=\sum_{n=1}^{2018}(2 n-1)=2 \sum\limits_{n=1}^{2018} n-\sum\limits_{n=1}^{2018} 1=2(1+2+\ldots+2018)-2018} \\ {=2 \dfrac{2018(2018+1)}{2}-2018=2018^{2}+2018-2018=2018^{2}}\end{array}$
Đáp án: B
Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_{1}=\displaystyle\frac{1}{2} ; u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2(n+1) u_{n}+1}, n \geq 1$. $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}<\dfrac{2017}{2018}$ khi n có giá trị dương lớn nhất là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ hệ thức try hồi của dãy số ta có
$\displaystyle\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{2(n+1) u_{n}+1}{u_{n}}=\frac{1}{u_{n}}+2 n+2$
$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{1}{u_{n}}=& \frac{1}{u_{n-1}}+2(n-1)+2=\frac{1}{u_{n-2}}+2(n-1)+2+2(n-2)+2=\ldots=\frac{1}{u_{1}} +2(1+2+\ldots+n-1)+2(n-1) & \end{aligned}$
$=2+2 \dfrac{n(n-1)}{2}+2 n-2=n^{2}+n$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow u_{n}=\displaystyle\frac{1}{n^{2}+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}} \\ {\Rightarrow S_{n}=\displaystyle\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}<\frac{2017}{2018}} \\ {\Rightarrow 2018 n<2017 n+2017 \Leftrightarrow n<2017}\end{array}$
Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là $n=2016$
Đáp án: C
Cho dãy số $(z_n)$ xác định bởi $z_{n}=\sin \displaystyle\frac{n \pi}{2}+2 \cos \frac{n \pi}{3}$. Gọi M. m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số $(z_n)$. tính giá trị biểu thức $T=M^{2}+m^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dựa vào chu kì của hàm số $y=\sin x ; y=\cos x$, ta có $z_{n+12}=z_{n}, \forall n \geq 1$
Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là: $S=\left\{z_{1} ; z_{2} ; \ldots ; z_{12}\right\}=\{-3 ;-2 ;-1 ; 0 ; 2\}$
Suy ra $M=2 ; m=-3$. Do đó $T=13$
Đáp án: A
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {u_{n+1}=u_{n}+2 n+1, n \geq 1}\end{array}\right.$. Giá trị của n để $-u_{n}+2017 n+2018=0$ là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $n=1$ ta có $u_{2}=u_{1}+3=4=2^{2}$
Với $n=2$ ta có $u_{3}=u_{2}+2.2+1=9=3^{2}$
Với $n=3$ ta có $u_{4}=u_{3}+2.3+1=16=4^{2}$
Suy ra $u_{n}=n^{2}$ được chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Suy ra $-u_{n}+2017 n+2018=0 \Leftrightarrow-n^{2}+2017 n+2018=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{n=-1(L)} \\ {n=2018(N)}\end{array}\right.$
Đáp án C