Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét A: $u_{n}=\displaystyle\frac{1-n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{n} \Rightarrow u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n}}+\sqrt{n}-\sqrt{n+1}<0$ nên dãy $(u_n)$ là dãy giảm nên A đúng.

Xét đáp án B: $u_{n}=2 n^{2}-5$ là dãy tăng vì $n^2$ là dãy tăng nên B đúng. Hoặc $u_{n+1}-u_{n}=2(2 n+1)>0$ nên $(u_n)$ là dãy tăng.

Xét C: $u_{n}=\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^{n}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n}>0 \Rightarrow \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{n+2}{n+1} \cdot\left(\dfrac{n+2}{n}\right)^{n}>1 \Rightarrow\left(u_{n}\right)$ là dãy tăng nên chọn C

Xét D: $u_{n}=n+\sin ^{2} n \Rightarrow u_{n+1}-u_{n}=\left(1-\sin ^{2}(n+1)\right)+\sin ^{2} n>0$ nên D đúng.

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét thương:

$\begin{array}{l}{\displaystyle\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\dfrac{(n+2) !}{2^{n+1}}}{\dfrac{(n+1) !}{2^{n}}}=\frac{(n+2) !}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^{n}}{(n+1) !}=\frac{n+2}{2}=\frac{n}{2}+1>1 \forall n \geq 1 \Rightarrow x_{n+1}>x_{n}} \ {\Rightarrow\left(x_{n}\right)}\end{array}$ là dãy tăng

Xét hiệu

$\begin{array}{l}{y_{n+1}-y_{n}=(n+1)+\sin ^{2}(n+2)-n-\sin ^{2}(n+1)} \\ {=\sin ^{2}(n+2)-\sin ^{2}(n+1)+1>0 \forall n \geq 1 \Rightarrow y_{n+1}>y_{n}}\end{array}$

Do đó $(y_n)$ là dãy tăng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

+) Dãy số $(a_n)$ là dãy đan dấu nên không phải dãy tăng cung không phải dãy giảm.

+) Dãy số $(b_n)$ là một dãy số tăng vì ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 + \dfrac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \dfrac{1}{n}} \right) = \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{{n - 1}}{n} > 0$

+) Dãy số $(c_n)$ là một dãy số giảm vì $c_{n}=\displaystyle\frac{1}{n^{3}+1}>\frac{1}{(n+1)^{3}+1}=c_{n+1}, \forall n \geq 1$

+) Dãy số $(d_n)$, là một dãy số tăng vì $d_{n}=3.2^{n}<3.2^{n+1}=d_{n+1}, \forall n \geq 1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta thấy $(a_n)$ dãy số dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.

Với dãy $(b_n)$, ta có $b_{n}=5^{n}+1, \quad \forall n \in N^{*},$ vì $(-1)^{2 n}=1$. Vì $b_{n+1}=5^{n+1}+1=5.5^{n}+1>b_{n} \Rightarrow\left(b_{n}\right)$ là dãy số tăng.

Với dãy số $(c_n)$ ta có $c_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{n+1+\sqrt{n+2}}<\frac{1}{n+\sqrt{n+1}}=c_{n} \Rightarrow\left(c_{n}\right)$ là dãy số giảm

Với dãy số $(d_n)$ ta có $d_{n+1}=\dfrac{n+1}{(n+1)^{2}+1}=\dfrac{n+1}{n^{2}+2 n+2}$

Xét hiệu 

$\begin{array}{l}{d_{n+1}-d_{n}=\displaystyle\frac{n+1}{n^{2}+2 n+2}-\frac{n}{n^{2}+1}=\frac{n^{3}+n^{2}+n+1-n^{3}-2 n^{2}-2 n}{\left(n^{2}+2 n+2\right)\left(n^{2}+1\right)}} \\ {=\dfrac{-n^{2}-n+1}{\left(n^{2}+2 n+2\right)\left(n^{2}+1\right)}<0 \forall n \in N^{*}}\end{array}$

Vậy $(d_n)$ là dãy giảm.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $x_{n}>0, \forall n \geq 1$ và $\displaystyle\frac{1}{x_{n+1}}=2(2 n+1)+\frac{1}{x_{n}}, \forall n \geq 1$

$\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}=4 n+2$

Ta có:

+) $\displaystyle\frac{1}{x_{2}}-\frac{1}{x_{1}}=4.1+2$

+) $\displaystyle\frac{1}{x_{3}}-\frac{1}{x_{2}}=4.2+2$

...

+) $\displaystyle\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n-1}}=4 .(n-1)+2$

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được $\displaystyle\frac{1}{x_{n}}=\frac{1}{x_{1}}+4(1+2+\ldots+n-1)+2(n-1)$

$=\displaystyle\frac{3}{2}+2 n(n-1)+2(n-1)=\frac{4 n^{2}-1}{2}$

Suy ra $x_{n}=\dfrac{2}{4 n^{2}-1}$. Do đó $x_{100}=\dfrac{2}{39999}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $u_{1}=\dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}{u_{2}=u_{1}+2.2=\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{1}{2}+2.2} \\ {u_{3}=u_{2}+2.3=\dfrac{1}{2}+4+6=\dfrac{1}{2}+2(2+3)} \\ {u_{4}=u_{3}+2.4=\dfrac{1}{2}+4+6+8=\dfrac{1}{2}+2(2+3+4)} \\ {\ldots}\end{array}$

Dự đoán số hạng tổng quát $u_{n}=\dfrac{1}{2}+2(2+3+\ldots+n) \quad(*) \forall n \geq 2$

Chứng minh bằng quy nạp:

Dễ thấy (*) đúng với $n=2$.

Giả sử (*) đúng đến $n=k \geq 2$, tức là $u_{k}=\dfrac{1}{2}+2(2+3+\ldots+k)$, ta chứng minh (*) đúng đến $n=k+1$, tức là cần chứng minh $u_{k+1}=\dfrac{1}{2}+2(2+3+\ldots+k+1)$

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_{k+1}=u_{k}+2(k+1)=\displaystyle\frac{1}{2}+2(2+3+\ldots+k)+2(k+1)=\frac{1}{2}} \ {+2(2+3+\ldots+k+k+1)}\end{array}$

Vậy (*) đúng với mọi $n \geq 2$

Mặt khác ta có: $1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \Leftrightarrow 2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}-1$

Khi đó số hạng $u_{50}=\displaystyle\frac{1}{2}+2(2+3+\ldots+50)=\frac{1}{2}+2\left(\frac{50.51}{2}-1\right)=2548,5$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{x_{1}=5} \\ {x_{2}=x_{1}+1=5+1} \\ {x_{3}=x_{2}+2=5+1+2} \\ {x_{4}=x_{3}+3=5+1+2+3} \\ {\ldots}\end{array}$

Dự đoán $x_{n}=5+1+2+3+\ldots+n-1=5+\dfrac{n(n-1)}{2}(*) \forall n \in N^{*}$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Dễ thấy, (*) đúng với $n=1$

Giả sử (*) đúng đến $n=k(k \geq 1)$, tức là , ta chứng minh (*) đúng đến $n=k+1$, tức là ta cần chứng minh $x_{k+1}=5+\dfrac{(k+1) k^{2}}{2}$

Ta có: $\begin{array}{l}{x_{k+1}=x_{k}+k=5+\displaystyle\frac{k(k-1)}{2}+k=5+\frac{k(k-1)+2 k}{2}=5+\frac{k(k-1+2)}{2}=5} \ {+\dfrac{(k+1) k}{2}}\end{array}$

Vậy (*) đúng với mọi $n \in N^{*}$

Vậy $x_{n}=5+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^{2}-n+10}{2}, \forall n \in N^{*}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Kiểm tra $u_1=1$ ta loại đáp án A. Ta có $u_{2}=u_{1}+1^{2}=2$

Xét đáp án B: $u_{n}=1+\displaystyle\frac{n(n-1)(2 n+2)}{6} \Rightarrow u_{2}=1+\frac{2.1 .6}{6}=3 \neq 2 \Rightarrow$B loại

Xét đáp án D: $u_{n}=1+\displaystyle\frac{n(n+1)(2 n-2)}{6} \Rightarrow u_{2}=1+\frac{2.3 .2}{6}=3 \neq 2 \Rightarrow$ D loại 

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

$\begin{array}{l}{a_{5}=1} \\ {a_{2}=-\displaystyle\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+1=2} \\ {a_{3}=-\displaystyle\frac{3}{2} \cdot 4+\frac{5}{2} \cdot 2+1=0} \\ {a_{5}=-\displaystyle\frac{3}{2} \cdot 4+\frac{5}{2}+1=2} \\ {a_{6}=-\displaystyle\frac{3}{2} \cdot 4+\frac{5}{2} \cdot 2+1=0}\end{array}$

Ta thấy cứ sau 3 số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán $a_{n+3}=a_{n} \forall n \geq 1$

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp.

Đặng thức đúng với $n=1, a_{1}=a_{4}=1$

Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$ tức là $a_{k+3}=a_{k}$, ta cần chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$, tức là cần chứng minh $a_{k+4}=a_{k+1}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{a_{k+4}=-\displaystyle\frac{3}{2} a_{k+3}^{2}+\frac{5}{2} a_{k+3}+1} \\ {a_{k+1}=-\displaystyle\frac{3}{2} a_{k}^{2}+\frac{5}{2} a_{k}+1}\end{array}$

Mà $a_{k+3}=a_{k} \Rightarrow a_{k+4}=a_{k+1}$, vậy $ a_{n+3}=a_{n} \quad \forall n \geq 1$.

Tổng quát $a_{3 n+m}=a_{m}, \forall m, n \in N^{*}$

Ta lại có $2018=3.672+2$

Từ đó suy ra $a_{2018}=a_{2}$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Trước hết ta kiểm tra phương án với $p$ nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của $(a_n)$: 

$\begin{array}{l}{a_{1}=1 ; a_{1}=2 ; a_{3}=2 \sqrt{3}-1 ; a_{4}=4-\sqrt{3} ; a_{5}=2 \sqrt{3}-2 ; a_{6}=2-\sqrt{3} ; a_{7}=-1} \\ {a_{8}=-2 ; a_{9}=1-2 \sqrt{3} ; a_{10}=\sqrt{3}-4}\end{array}$

Dễ dạng thấy $a_{10}=\sqrt{3}-4 \neq 1=a_{1}$ nên phương án A sai.

 Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy $(a_n)$ ta được:

$\begin{array}{l}{\left(a_{n}\right) : a_{1}=1 ; a_{1}=2 ; a_{3}=2 \sqrt{3}-1 ; a_{4}=4-\sqrt{3} ; a_{5}=2 \sqrt{3}-2 ; a_{6}=2-\sqrt{3} ; a_{7}=-1} \\ {a_{8}=-2 ; a_{9}=1-2 \sqrt{3} ; a_{10}=\sqrt{3}-4 ; a_{11}=2-2 \sqrt{3} ; a_{12}=\sqrt{3}-2 ; a_{13}=1 ; a_{14}=2}\end{array}$

Từ đây ta dự đoán được $a_{n+12}=a_{n}, \forall n \geq 1$

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được $a_{n+12}=a_{n}, \forall n \geq 1$

Vậy số nguyên dương cần tìm là $p=12$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

+) Dãy số $(x_n)$ là dãy đan dấu và $x_{2n}$ lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn, $x_{2n+1}$ nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.

+) Dãy số $(y_n)$ là dãy số giảm và $y_{n}$ nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.

+) Dãy số $(z_n)$ là dãy số tăng nên nó bị chặn dưới bởi $z_{1}=\dfrac{2018}{2017^{2}}$.

+) Dãy số $(w_n)$ là dãy đan dấu và $w_{2n}$ lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn, $w_{2n+1}$ nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có:

$\begin{array}{l}{x_{n+1}=2.3^{n+1}-5.2^{n+1}=6.3^{n}-10.2^{n}} \\ {x_{n+2}=2.3^{n+2}-5.2^{n+2}=18.3^{n}-20.2^{n}}\end{array}$

Đáp án A: $5 x_{n+1}-6 x_{n}=5\left(6.3^{n}-10.2^{n}\right)-6\left(2.3^{n}-5.2^{n}\right)=18.3^{n}-20.2^{n}=x_{n+2} \Rightarrow$ A đúng

Đáp án B: $6 x_{n+1}-5 x_{n}=6\left(6.3^{n}-10.2^{n}\right)-5\left(2.3^{n}-5.2^{n}\right)=16.3^{n}-35.2^{n} \neq x_{n+2} \Rightarrow$ B sai

Đáp án C: $x_{n+2}+5 x_{n+1}-6 x_{n}=18.3^{n}-20.2^{n}-5\left(6.3^{n}-5.2^{n}\right)=36.3^{n}-40.2^{n}\neq 0 \Rightarrow$ C sai

Đáp án D: $x_{n+2}+6 x_{n+1}-5 x_{n}=18.3^{n}-20.2^{n}+6\left(6.3^{n}-10.2^{n}\right)-5\left(2.3^{n}-5.2^{n}\right)=44.3^{n}-55.2^{n}\neq 0 \Rightarrow$ D sai 

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $u_{n+1}=u_{n}+(-1)^{2 n}=u_{n}+1$

$\begin{array}{l}\n{u_1} = 1\\\n{u_2} = {u_1} + 1\\\n{u_3} = {u_2} + 1\\\n{u_n} = {u_{n - 1}} + 1\\ \Leftrightarrow {u_n} = {u_1} + \underbrace {1 + ... + 1}_{n - 1} = {u_1} + n - 1 = n\n\end{array}$

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $x_{n+2}=2.3^{n+2}-5.2^{n+2}=18.3^{n}-20.2^{n} ; x_{n+1}=2.3^{n+1}-5.2^{n+1}=6.3^{n}-10.2^{n}$

Phương án A: $x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=0$

Phương án B: $x_{n+2}-6 x_{n+1}+5 x_{n}=-8.3^{n}+15.2^{n} \neq 0$

Phương án C: $x_{n+2}+5 x_{n+1}-6 x_{n}=36.3^{n}-40.2^{n} \neq 0$

Phương án D: $x_{n+2}+6 x_{n+1}-5 x_{n}=44.3^{n}-55.2^{n} \neq 0$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có $\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+10}=\sqrt{2 u_{1}+6 u_{2}} \Leftrightarrow u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+10=2 u_{1}+6 u_{2}$

$\Leftrightarrow\left(u_{1}-1\right)^{2}+\left(u_{2}-3\right)^{2}=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=1} \\ {u_{2}=3}\end{array}\right.$

Đặt ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n} \ {\rm{ với }} \ n \ge 1 \Rightarrow {v_1} = {u_2} - {u_1} = 2$

Theo giả thiết $u_{n+2}+u_{n}=2 u_{n+1}+1$

$ \Leftrightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = {v_n} + 1,\forall n \ge 1$

Suy ra $\left(v_{n}\right) \text { là cấp số cộng có công sai } d=1 \Rightarrow v_{n}=v_{1}+(n-1) d=n-3$

Ta có 

$\begin{array}{*{20}{l}}\n{{u_{n + 1}} = \underbrace {{u_{n + 1}} - {u_n}}_{{v_n}} + \underbrace {{u_n} - {u_{n - 1}}}_{{v_{n - 1}}} + \ldots + \underbrace {{u_3} - {u_2}}_{{v_2}} + \underbrace {{u_2} - {u_1}}_{{v_1}} + {u_1} = {S_n} + {u_1}}\\\n{{\rm{ }}{S_n} = {v_1} + {v_2} + \ldots + {v_n} = \dfrac{n}{2}\left( {{v_1} + {v_n}} \right) = \dfrac{{n(n - 1)}}{2}}\\\n{{\rm{ Suy ra: }}{u_{n + 1}} = \dfrac{{n(n - 1)}}{2} + 1 \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{(n - 1)(n - 2)}}{2} + 1}\n\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {{u_n} > 5050 \Leftrightarrow \dfrac{{(n - 1)(n - 2)}}{2} + 1 > 5050 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10096 > 0 \Leftrightarrow n} { > 101,99} \end{array}$

Vậy số n nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 102.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với mỗi $n \in \mathbb{N}^+$, xét các hình vuông ${A_n}{B_n}{C_n}{D_n}$ và ${A_{n+1}}{B_{n+1}}{C_{n+1}}{D_{n+1}}$ ta có

${u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} + {{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_{n - 1}}} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {{{\left( {{u_n} - 1} \right)}^2} + 1} $

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${u_n} = {a^n} + b.n + c \Rightarrow {u_{n + 1}} = {a^{n + 1}} + b\left( {n + 1} \right) + c$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na + b + c = 11\\\n{a^{n + 1}} + b\left( {n + 1} \right) + c = 10{a^n} + 10b.n + 10c + 1 - 9n\n\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\na + b + c = 11\\\n\left( {a - 10} \right){a^n} + \left( {9 - 9b} \right)n + b - 9c = 1\n\end{array} \right.\n\end{array}$

Đồng nhất hệ số $\Rightarrow a = 10,b = 1,c = 0$

Vậy $ab-c=10$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${u_n} = \sin n + \cos n = \sqrt 2 \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right)$

Mặt khác $- 1 \le \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le {u_n} \le \sqrt 2 $

$ \Rightarrow M = \sqrt 2 ;m = - \sqrt 2 \Rightarrow 3M + 2m = \sqrt 2 $

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có ${u_{n + 1}} = {u_n} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} + 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n + 1}} = {u_n} + 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n}$

Đặt ${u_n} + 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} = {v_n}$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n{v_1} = {u_1} + 1\\\n{v_{n + 1}} = {v_n} \n\end{array} \right. \Rightarrow {v_n} = {v_1} = 2$

$ \Rightarrow {u_n} + 2{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^n} = 2 \Rightarrow {u_n} = \dfrac{{{{2.2}^n} - 2}}{{{2^n}}}$

Vậy $a+b+c=5$

Đáp án C