Cho các dãy số sau. Dãy số nào là dãy số tăng?
Xét tính đúng sai của từng đáp án và sử dụng định nghĩa dãy số tăng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét đáp án A: đây là dãy hằng nên không tăng không giảm
Xét đáp án B: ${u_1} > {u_2}$ loại B
Xét đáp án C: Nhận thấy mỗi số sau đều lớn hơn số trước 2 đơn vị
Xét đáp án D: $1 ; \displaystyle\frac{1}{2} ; \frac{1}{4} ; \frac{1}{8} ; \frac{1}{16} ; \ldots \rightarrow u_{1}>u_{2}>u_{3} \ldots>u_{n}>\ldots \rightarrow$ Loại D
Đáp án: C
Trong các dãy số $(u_n)$ cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau, dãy số nào là dãy số giảm?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $2^n$ là dãy dương tăng nên $\dfrac{1}{2^{n}}$ là dãy giảm chọn A
Xét B: $u_{n+1}-u_{n}=\displaystyle\frac{3 n+2}{n+2}-\frac{3 n-1}{n+1}=\frac{4}{(n+1)(n+2)}>0$ nên $(u_n)$ là dãy tăng nên loại B.
Xét C: $u_{n}=n^{2} \Rightarrow u_{n+1}-u_{n}=(n+1)^{2}-n^{2}=2 n+1>0 \Rightarrow$ loại C
Xét D: $u_{n}=\sqrt{n+2} \Rightarrow u_{n+1}-u_{n}=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2}=\dfrac{1}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}}>0 \Rightarrow$ loại D
Đáp án: A
Tìm số hạng lớn nhất của dãy số $(a_n)$ có $a_{n}=-n^{2}+4 n+11, \forall n \in N^{*}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$a_{n}=-n^{2}+4 n+11=-n^{2}+4 n-4+15=-(n-2)^{2}+15 \leq 15$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $n-2=0 \Leftrightarrow n=2$
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15
Cho dãy số $(x_n)$ có $x_{n}=\left(\dfrac{n-1}{n+1}\right)^{2 n+3}, \forall n \in N^{*}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $x_{n+1}=\left(\dfrac{(n+1)-1}{(n+1)+1}\right)^{2(n+1)+3}=\left(\dfrac{n}{n+2}\right)^{2 n+5}$
Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_{n}=\dfrac{n+1}{2 n+1}$. Số $\dfrac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$u_{n}=\dfrac{n+1}{2 n+1}=\dfrac{8}{15} \Leftrightarrow 15 n+15=16 n+8 \Leftrightarrow n=7$
Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_{n}=\dfrac{2 n+5}{5 n-4}$. Số $\dfrac{7}{12}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$u_{n}=\dfrac{2 n+5}{5 n-4}=\dfrac{7}{12} \Leftrightarrow 24 n+60=35 n-28 \Leftrightarrow 11 n=88 \Leftrightarrow n=8$
Cho dãy số $(y_n)$ xác định bởi $y_{1}=y_{2}=1$ và $y_{n+2}=y_{n+1}+y_{n}, \quad \forall n \in N^*$. Năm số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{y_{1}=y_{2}=1} \\ {y_{3}=y_{2}+y_{1}=1+1=2} \\ {y_{4}=y_{3}+y_{2}=2+1=3} \\ {y_{5}=y_{4}+y_{3}=3+2=5}\end{array}$
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=2} \\ {u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\left(u_{n}+1\right)}\end{array}\right.$. Tìm số hạng $u_4$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{u_{2}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(u_{1}+1\right)=\frac{1}{3}(2+1)=1 ; u_{3}=\frac{1}{3}\left(u_{2}+1\right)=\frac{2}{3}} \\ {u_{4}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(u_{3}+1\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}+1\right)=\frac{5}{9}}\end{array}$
Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_{n}=(-1)^{n} .2 n$. Mệnh đề nào sau đây sai?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{1}=-2.1=-2 ; u_{2}=(-1)^{2} \cdot 2.2=4, u_{3}=(-1)^{3} 2.3=-6 ; u_{4}=(-1)^{4} 2.4=8$
Đáp án D
Cho dãy số $(u_n)$, biết $u_{n}=\dfrac{-n}{n+1}$. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{1}=-\displaystyle\frac{1}{2} ; u_{2}=-\frac{2}{3} ; u_{3}=-\frac{3}{4} ; u_{4}=-\frac{4}{5} ; u_{5}=-\frac{5}{6}$
Cho dãy số $(u_n)$ biết $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=-1} \\ {u_{n+1}=u_{n}+3}\end{array}\right.$ với $n \geq 1$. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $u_{1}=-1 ; u_{2}=u_{1}+3=2 ; u_{3}=u_{2}+3=5$
Cho dãy số $(y_n)$ xác định bởi $y_{n}=\sin ^{2} \dfrac{n \pi}{4}+\cos \dfrac{2 n \pi}{3}$. Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $y_{1}=\sin ^{2} \dfrac{\pi}{4}+\cos \dfrac{2 \pi}{3}=0 ; y_{2}=\sin ^{2} \dfrac{\pi}{4}+\cos \dfrac{4 \pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ (loại phương án B và D) và $y_{3}=\sin ^{2} \dfrac{3 \pi}{4}+\cos 2 \pi=\dfrac{3}{2}$ (loại phương án C)
Đáp án: A
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=- \dfrac{1}{n}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
Xét từng phương án và sử dụng nguyên lí của dãy số bị chặn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\dfrac{{ - 1}}{n} \ge \dfrac{{ - 1}}{1} = - 1$ nên dãy số bị chặn dưới bởi $M=-1$
Đáp án B
Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi: $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = 2\\\n{u_{n + 1}} = 2{u_n} - 1\n\end{array} \right.$. Số hạng thứ 3 của dãy số là
Sử dụng công thức truy hồi sau đó tính số hạng thứ 2, thứ 3
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = 2\\\n{u_{n + 1}} = 2{u_n} - 1\n\end{array} \right.$
$\begin{array}{l} \Rightarrow {u_2} = 2{u_1} - 1 = 3\\ \Rightarrow {u_3} = 2{u_2} - 1 = 5\n\end{array}$
Đáp án D
Cho dãy số ${z_n} = 1 + \left( {4n - 3} \right){.2^n}$. Khẳng định đúng dưới đây là:
- Xét từng phương án
- Xét hiệu $z_{n+1}-z_n$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có ${z_n} = 1 + \left( {4n - 3} \right){.2^n} \Rightarrow {z_{n + 1}} - {z_n} = \left[ {1 + \left( {4n + 4 - 3} \right){{.2}^{n + 1}}} \right] - \left[ {1 + \left( {4n - 3} \right){{.2}^n}} \right] = \left( {4n + 5} \right){.2^n} > 0$
Suy ra dãy số $(z_n)$ là dãy tăng
Đáp án A
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng
Dãy số tăng là dãy số thỏa mãn $u_{n+1} > u_n$ với mọi số tự nhiên $n$
- Xét từng phương án và xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ hoặc thương $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương án A: Xét thương $\dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{{n + 1}}{{{4^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{n}{{{4^n}}}}} = \dfrac{{n + 1}}{{4n}} < 1$ suy ra dãy số là dãy giảm
Phương án B: Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{n + 6}}{{n + 3}} - \dfrac{{n + 5}}{{n + 2}} = \dfrac{{ - 15}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} < 0$ suy ra dãy số là dãy giảm
Phương án C: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+3n+3-(n^2+3n)=2n+4 > 0$ suy ra dãy số là dãy tăng
Đáp án C
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm
Dãy số giảm là dãy số thỏa mãn $u_{n+1} < u_n$ với mọi số tự nhiên $n$
- Xét từng phương án và xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ hoặc thương $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương án A: Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{2n + 3}}{n} - \dfrac{{2n + 1}}{{n - 1}} = \dfrac{{\left( {2n + 3} \right)\left( {n - 1} \right) - \left( {2n + 1} \right)n}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = \dfrac{{ - 3}}{{n\left( {n - 1} \right)}} < 0$ suy ra dãy số là dãy giảm
Đáp án A
Số $7930$ là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy $(u_n)$ với $u_n=n^2+9 $ với mọi $n \in \mathbb{N}$.
Thay $u_n$ vào phương trình và giải phương trình bậc 2
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số $7930$ là số thuộc dãy $u_n$
=> $n^2+9=7930=>n=89$
Vậy: Số $7930$ là số hạng thứ $89$ của dãy.
Trong các dãy số cho bởi số hạng tổng quát $u_n$ sau , dãy số nào là dãy số tăng?
Sử dụng định nghĩa dãy số tăng , áp dụng cho các trường hợp A, B , C ,D
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét đáp án A:
Dễ thấy $u_n>0$ với mọi $n \in \mathbb {N^*}$, xét tỉ số:
$P = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{3^{n + 1}}}}{{{3^n}}} = 3 > 1$ Vậy dãy $(u_n)$ tăng .
Số hạng lớn nhất của dãy số :$u_n=\dfrac{n+1}{n^2+2n+65}$ là :
Mẫu số có $(n+1)^2$ , ta sử dụng bất đẳng thức Cosi cho mẫu số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Sử dụng bất đẳng thức Cosi, ta có biến đổi:
$u_n=\dfrac{n+1}{n^2+2n+65}=\dfrac{n+1}{(n+1)^2+64} \leq \dfrac{n+1}{2\sqrt{(n+1)^2.64}}=\dfrac{1}{16}$