Cho tứ diện $ABCD, M$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Đặt $\overrightarrow{A B}=\vec{b}, \overrightarrow{A C}=\vec{c}, \overrightarrow{A D}=\vec{d}$. Phân tích vecto $\overrightarrow{M G}$ theo $\vec{d}, \vec{b}, \vec{c}$
Sử dụng công thức trọng tâm $\overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)$ và các quy tắc cộng, trừ véc tơ để biểu diễn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{aligned} \overrightarrow{M G}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}&+\overrightarrow{M D} )=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A C}) +\frac{1}{3}(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A D}) \end{aligned}$
$\begin{aligned}=\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{M A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A D} &=\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \cdot\left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right) +\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A D} \end{aligned}$
$=-\dfrac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A C}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A D}=-\dfrac{1}{6} \vec{b}+\dfrac{1}{3} \vec{c}+\dfrac{1}{3} \vec{d}$
Đáp án A
Cho tứ diện $ABCD$ và điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$ . Gọi O là giao điểm của GA và mặt phẳng $(B C D)$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
Nhận xét vị trí của G dựa vào điều kiện bài cho, từ đó suy ra đáp án đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC, AD$
Suy ra G là trung điểm của $MN$. Gọi H là hình chiếu của N lên $MD$
Suy ra NH là đường trung bình của tam giác $ AOD$ và $OG$ là đường trung bình của tam giác $MNH$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow O G=\dfrac{1}{2} N H=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} A O \Rightarrow O G=\dfrac{1}{2} N H=\dfrac{1}{4} \cdot A O} \\ {\Rightarrow \overrightarrow{G A}=3 \overrightarrow{O G}}\end{array}$
Đáp án C
Trong không gian cho hai tia $Ax,By$ chéo nhau sao cho $AB$ vuông góc với cả hai tia đó. Các điểm $M,N$ lần lượt thay đổi trên $Ax,By$ sao cho độ dài đoạn $MN$ luôn bằng giá trị c không đổi. Gọi $\varphi$ là góc giữa $Ax,By$. Giá trị lớn nhất của $A M . B N$ là :
Biến đổi ${\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right)^2}$ và đánh giá biểu thức $AM.BN$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{c^{2}=M N^{2}=\overrightarrow{M N}^{2}=(\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B N})^{2}=A M^{2}+A B^{2}+B N^{2}-2 \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B N}} \\ {=A M^{2}+A B^{2}+B N^{2}-2 A M \cdot B N \cdot \cos \varphi} \\ { \geq A B^{2}+2 A M \cdot B N \cdot(1-\cos \varphi) \Rightarrow A M \cdot B N \leq \dfrac{c^{2}-A B^{2}}{2(1-\cos \varphi)}}\end{array}$
Vậy biểu thức $A M \cdot B N$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{c^{2}-A B^{2}}{2(1-\cos \varphi)}$
Đáp án A
Cho hình lập phương $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ . Đặt $\alpha=\left(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{D C^{\prime}}\right); \beta=\left(\overrightarrow{D A^{\prime}}, \overrightarrow{B B^{\prime}}\right) ; \gamma=\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}, \overrightarrow{C^{\prime} C}\right)$. Khi đó biểu thức $\alpha+\beta+\gamma$ có giá trị là :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\alpha=\left(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{D C^{\prime}}\right)=\left(\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A B^{\prime}}\right)=60^{\circ}} \\ {\beta=\left(\overrightarrow{D A^{\prime}}, \overrightarrow{B B^{\prime}}\right)=\left(\overrightarrow{D A^{\prime}}, \overrightarrow{A^{\prime} A}\right)=135^{0}} \\ {\gamma=\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}, \overrightarrow{C^{\prime} C}\right)=\left(\overrightarrow{A A^{\prime}}, \overrightarrow{A^{\prime} A}\right)=180^{0}} \\ {\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=60^{0}+135^{0}+180^{0}=375^{0}}\end{array}$
Đáp án B
Cho tứ diện $ABCD$. M là điểm trên AB sao cho $MB=2MA$. N là điểm trên đường thẳng mà $\overrightarrow{C N}=k \overrightarrow{C D}$. Nếu $\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B C}$ đồng phẳng thì giá trị của $k$ là
- Dựng mặt phẳng đi qua M và song song với cả hai đường thẳng BC và AD cắt CD tại N
- Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Qua M vẽ mặt phẳng $(\alpha)$ song song với AD và BC
$(\alpha)$ cắt AC tại E, BD tại F và CD tại N. Ta có $M F / / E N / / A D$
Các vecto $\overrightarrow{M N}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B C}$ có giá song song hay nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ nên đồng phẳng
Ta có $\dfrac{C N}{C D}=\dfrac{B F}{B D}=\dfrac{B M}{B A}=\dfrac{2}{3}(\mathrm{Ta}-\mathrm{let})$ nên $\overrightarrow{C N}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{C D}$
Đáp án A
Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành $A B=6 ; A D=4$$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=-12$. Tính $(\overrightarrow{S C}-\overrightarrow{S A})^{2}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{(\overrightarrow{S C}-\overrightarrow{S A})^{2}=\overrightarrow{A C}^{2}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})^{2}=\overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{A D}^{2}+2 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}} \\ {=6^{2}+4^{2}+2(-12)=28}\end{array}$
Đáp án B
Cho hai điểm phân biệt A,B và một điểm O bất kì không thuộc đường thẳng AB . Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $M \in A B \Leftrightarrow \overrightarrow{M B}=k \overrightarrow{A B}$
Xét điểm O ta được $\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O M}=k(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O B}-k(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}) \Leftrightarrow \overrightarrow{O M}=k \overrightarrow{O A}+(1-k) \overrightarrow{O B}$
Đáp án C
Cho ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng. Xét các vecto $\vec{x}=2 \vec{a}+\vec{b}, \vec{y}=\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}, \vec{z}=-3 \vec{b}-2 \vec{c}$ . Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Điều kiện để ba véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ đồng phẳng là tồn tại duy nhất cặp số $m,n$ sao cho $\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow x = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b = 2\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) - \left( { - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right) = 2\overrightarrow y - \overrightarrow z $
Vậy ba vecto $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đồng phẳng
Đáp án A
Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng quy tắc cộng véc tơ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương án A: Ta có $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {2SC} + 2\overrightarrow {SD} = 6\overrightarrow {SO} \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OB} + 2\left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OC} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OD} } \right) = 6\overrightarrow {SO } \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + 2\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $
Vì O là giao điểm của AC và BD nên đặt $\overrightarrow {OA}=k\overrightarrow {OC} ; \overrightarrow {OB}=m\overrightarrow {OD} $
$ \Rightarrow \left( {k + 2} \right)\overrightarrow {OC} + \left( {m + 2} \right)\overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $
Mà $\overrightarrow {OC};\overrightarrow {OD} $ không cùng phương nên $k=-2;m=-2$ $\Rightarrow \frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}} = 2 \Rightarrow AB//CD$
Phương án A đúng
Phương án B: Ta có $ABCD$ là hình bình hành $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\n\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \\\n\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \n\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow 4\overrightarrow {SO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {SO} \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} $
Phương án B đúng
Phương án C: Nếu ABCD là hình thang cân 2 đáy AD, BC thì phương án C sai
Đáp án C
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng.
Áp dụng quy tắc trung tuyến trong tam giác
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$.
Ta có O là trung điểm của $AC$ suy ra $\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC} =2\overrightarrow {SO} $
O là trung điểm của $BD$ suy ra $\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SD} =2\overrightarrow {SO} $
Vậy $\overrightarrow {SA}+\overrightarrow {SC}=\overrightarrow {SB}+\overrightarrow {SD} $
Đáp án A