Cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$. Tìm giá trị của $k$ thích hợp để $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} = k\overrightarrow {A{C_1}} $
Sử dụng quy tắc cộng vec tơ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {{\rm{C}}{{\rm{C}}_1}} = \overrightarrow {A{C_1}} = > k = 1$
Đáp án B
Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Gọi M là trung điểm của AA', O là tâm của hình bình hành ABCD. Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng ?Cho hình hộp $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$. Gọi M là trung điểm của AA', O là tâm của hình bình hành ABCD. Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\overrightarrow{M O}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A^{\prime} C}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}+\overrightarrow{B^{\prime} C}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}+\overrightarrow{B^{\prime} C^{\prime}}\right)=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B^{\prime} C}$
Vậy ba vecto $\overrightarrow{M O}, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}$ đồng phẳng
Đáp án A
Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc cùng nằm trên một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
Ba vecto $\overrightarrow{A N}, \overrightarrow{C M}, \overrightarrow{M N}$ có giá không thể song song với mặt phẳng nào nên C sai
Đáp án C
Cho tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới đây đồng phẳng?
Ba véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ đồng phẳng khi $\exists m,n$ sao cho $\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b $ ($m,n$ là duy nhất)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\begin{array}{l}{\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N D}} \\ {\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{B M}+\overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N C}} \\ {\Rightarrow \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{M N} \Rightarrow \overrightarrow{M N}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A D}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}}\end{array}$
Vậy ba vecto $\overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{A D} ; \overrightarrow{M N}$ đồng phẳng
Đáp án C
Cho hình lập phương $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Gọi M là trung điểm của AD. Chọn khẳng định đúng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow{C_{1} M}=\overrightarrow{C_{1} D_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{D}_{1} \mathrm{D}}+\overrightarrow{D M}=\overrightarrow{C_{1} D_{1}}+\overrightarrow{C_{1} C}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{C_{1} B_{1}}$ nên B đúng
Đáp án B
Cho $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ?
Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng quy tắc cộng véc tơ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow{A C_{1}}+\overrightarrow{A_{1} C}=2 \overrightarrow{A C} \text { và } \overrightarrow{A C} \neq \overrightarrow{A A_{1}}$ nên C sai
Đáp án C
Cho hình chóp OABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Góc hợp bởi hai vecto $\overrightarrow{B C} \text { và } \overrightarrow{O M}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với $A \in O x ; B \in O y ; C \in O z$
Khi đó $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; a) \Rightarrow M\left(\dfrac{a}{2} ; \dfrac{a}{2} ; 0\right)$
Ta có $\overrightarrow{O M}=\left(\dfrac{a}{2} ; \dfrac{a}{2} ; 0\right) \Rightarrow|\overrightarrow{O M}|=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}+0}=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
$\overrightarrow{B C}=(0 ;-a ; a) \Rightarrow|\overrightarrow{B C}|=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a \sqrt{2}$
Từ đó
$\cos (\overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{O M})=\dfrac{\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{O M}}{|\overrightarrow{B C}| \cdot|\overrightarrow{O M}|}=\dfrac{\dfrac{a}{2} \cdot 0+\dfrac{a}{2} \cdot(-a)+0 . a}{a \sqrt{2} \cdot \dfrac{a \sqrt{2}}{2}}=\dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2}}{a^{2}}=-\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{O M})=\dfrac{\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{O M}}{|\overrightarrow{B C}| \cdot|\overrightarrow{O M}|}=\dfrac{\dfrac{a}{2} \cdot 0+\dfrac{a}{2} \cdot(-a)+0 . a}{a \sqrt{2} \cdot \dfrac{a \sqrt{2}}{2}}=\dfrac{-\dfrac{a^{2}}{2}}{a^{2}}=-\dfrac{1}{2}$
Đáp án B
Cho tứ diện đều ABCD có tam giác BCD đều, AD=AC. Giá trị của $\cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D})$ là :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi N là trung điểm của CD. Tam giác đều BCD nên $B N \perp C D$ . Tam giác ACD cân tại A nên AN vuông góc với CD ta có
$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A N}+\overrightarrow{N B}) \cdot \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A N} \cdot \overrightarrow{C D}+\overrightarrow{N B} \cdot \overrightarrow{C D}=0 \Rightarrow \cos (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D})=\dfrac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}}{|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{C D}|}=0$
Đáp án B
Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau :
Sử dụng điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
A sai vì chỉ cần giá của chúng song song hoặc nằm trên một mặt phẳng nào đó
B sai vì ba vecto cùng phương $\Leftrightarrow \vec{a}=k \cdot \vec{b}=l \cdot \vec{c}$
C sai vì điều kiện cần và đủ để ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng là có các số m,n sao cho $\vec{c}=m \cdot \vec{a}+n . \vec{b}$
Đáp án D
Trong các khẳng định nào sau đây, khẳng định nào sai?
Xét tính đúng, sai của từng đáp án dựa vào định nghĩa và tính chất của ba véc tơ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ba vecto đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nên A sai
Đáp án A
Cho hình lăng trụ tam giác $A B C \cdot A_{1} B_{1} C_{1}$ . Đặt $\overrightarrow{\mathbf{A} \mathbf{A}_{1}}=\vec{a} ; \overrightarrow{\mathbf{A B}}=\vec{b} ; \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c} ; \overrightarrow{B C}=\vec{d}$ trong các đẳng thức sau đẳng thức nào đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\vec{b}-\vec{c}+\vec{d}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{0}$
Đáp án C
Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
Xét tính đúng, sai của từng đáp án, sử dụng các quy tắc cộng, trừ véc tơ và nhân vô hướng hai véc tơ.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do tứ diện ABCD đều nên $A B \perp C D$ nên $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0$
Đáp án D
Cho ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng xét các vecto
$\vec{x}=2 \vec{a}-\vec{b} ; \vec{y}=-4 \vec{a}+2 \vec{b} ; \vec{z}=-3 \vec{a}-2 \vec{c}$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Điều kiện để hai véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne 0$ cùng phương là $\overrightarrow a = k.\overrightarrow b $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy $\vec{y}=-2 \vec{x}$ nên $\vec{x}, \vec{y}$ cùng phương
Đáp án A
Cho ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ . Điều kiện nào dưới đây khẳng định ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $m+n+p \neq 0$ suy ra tồn tại ít nhất 1 số khác 0
Giả sử $m \neq 0$ , ta có $m \vec{a}+n \vec{b}+p \vec{c}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \vec{a}=-\dfrac{n}{m} \cdot \vec{b}-\dfrac{p}{m} \cdot \vec{c}$
Suy ra tồn tại n,p để ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng
Đáp án B
Cho hình lập phương $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh a. Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau :
Sử dụng công thức nhân vô hướng hai véc tơ để kiểm tra tính đúng, sai của từng đáp án.
$\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\overrightarrow{A D^{\prime}} \cdot \overrightarrow{C C^{\prime}}=\overrightarrow{A D^{\prime}} \cdot \overrightarrow{A A^{\prime}}=\left|\overrightarrow{A D^{\prime}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{A A^{\prime}}\right| \cos 45^{0}=a^{2}$ nên A sai
Đáp án A
Cho hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Khi đó tổng 3 góc $\left(\overrightarrow{D_{1} A_{1}}, \overrightarrow{C C_{1}}\right)+\left(\overrightarrow{C_{1} B}, \overrightarrow{D D_{1}}\right)+\left(\overrightarrow{D C_{1}}, \overrightarrow{A_{1} B}\right)$ là :
Dựa vào mối quan hệ các véc tơ bằng nhau, tìm góc giữa các véc tơ và tính tổng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}{\left(\overrightarrow{D_{1} A_{1}}, \overrightarrow{C C_{1}}\right)=90^{\circ}} \\ {\left(\overrightarrow{C_{1} B}, \overrightarrow{D D_{1}}\right)=\left(\overrightarrow{C_{1} B}, \overrightarrow{C C_{1}}\right)=135^{\circ}} \\ {\left(\overrightarrow{D C_{1}}, \overrightarrow{A_{1} B}\right)=\left(\overrightarrow{D C_{1}}, \overrightarrow{D_{1} C}\right)=90^{\circ}}\end{array}$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow\left(\overrightarrow{D_{1} A_{1}}, \overrightarrow{C C_{1}}\right)+\left(\overrightarrow{C_{1} B}, \overrightarrow{D D_{1}}\right)+\left(\overrightarrow{D C_{1}}, \overrightarrow{A_{1} B}\right)} \\ {=90^{0}+135^{0}+90^{0}=315^{0}}\end{array}$
Đáp án D
Cho hình hộp $A B C D . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ . Tìm giá trị của k thỏa mãn $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B A^{\prime}}+k\left(\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C^{\prime} D}\right)=\overrightarrow{0}$
Thử đáp án, cho các giá trị của k và kiểm tra thỏa mãn điều kiện đề bài
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $k=1$ ta có $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B A^{\prime}}+1 .\left(\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{C^{\prime} D}\right)$
$=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B A^{\prime}}+\overrightarrow{C^{\prime} B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C^{\prime} A^{\prime}}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}$
Đáp án B
Cho $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ là hình hộp với $K$ là trung điểm $CC1$. Tìm khẳng định đúng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C K}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A A_{1}}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A A_{1}}$
Đáp án A
Cho hình hộp $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ với $M=C D_{1} \cap C_{1} D$ . Khi đó
Xen các điểm thích hợp, biểu diễn véc tơ $\overrightarrow {AM} $ qua các véc tơ không cùng phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {A{A_1}} $
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D M}=\overrightarrow{A D}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{D C_{1}}=A D+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{D D_{1}}\right)$
$=\overrightarrow{A D}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A A_{1}}$
Đáp án B
Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai ?
Xét tính đúng, sai của từng đáp án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD
Suy ra G là trung điểm của MN $\Rightarrow \overrightarrow{G M}+\overrightarrow{G N}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$ nên B đúng
Ta có $\begin{array}{l}{\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O G}+\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{O G}} \ {+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{O G}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{O G}+\overrightarrow{G D}}\end{array}$
$=4 \overrightarrow{O G}+(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D})=4 \overrightarrow{O G}$ nên A đúng
Khi O trùng A thì D đúng
Đáp án C