Một đội văn nghệ đã chuẩn 3 bài múa, 4 bài hát và 1 vở kịch. Thầy giáo yêu cầu đội chọn biểu diễn 1 vở kịch hoặc 1 bài hát. Số cách chọn bài biểu diễn của đội là
Sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 2 phương án chọn bài biểu diễn là bài hát và vở kịch
- Có 4 cách chọn bài hát
- Có 1 cách chọn vở kịch
Vậy có tất cả 5 cách chọn bài biểu diễn
Một lớp có 3 tổ được chia như sau: Đội 1 có 12 người, đội 2 có 11 người, đội 3 có 13 người. Giáo viên cần chọn ra 1 bạn làm lớp trưởng, biết rằng giáo viên chỉ chọn một ở tổ 1 hoặc 3 làm lớp trưởng, còn các bạn ở tổ 2 thì chọn lấy 1 bạn làm lớp phó học tập. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra lớp trưởng?
Sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có hai khả năng để giáo viên chọn:
- Tổ 1 có bạn được làm lớp trưởng thì có 12 cách chọn
- Tổ 3 có bạn được làm lớp trưởng thì có 13 cách chọn
Vậy có tất cả 12+13=25 cách chọn
Trên giá sách có 6 quyển Văn khác nhau, 5 quyển sách Toán khác nhau và 9 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
Xét riêng từng trường hợp rồi sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo quy tắc nhân ta có :
$6.5=30$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Toán khác nhau.
$6.9=54$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
$5.9=45$ cách chọn một quy ển Toán và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
Vậy có $30+54+45=129$ cách
Cho tập $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao chữ số 2 có mặt đúng một lần
Xét từng trường hợp rồi sử dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số cần tìm là $\overline{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}}$
Trường hợp 1: $a_4$ =2
- $a_1$ có 5 cách chọn
- $a_2$ có 4 cách chọn
- $a_3$ có 3 cách chọn
Nên số cần tìm là 5.4.3 = 60 số
Trường hợp 2 : $a_4 \ne 2$ nên có 2 cách chọn {4,6},số 2 có 3 vị trí giả sử $a_1=2$
- $a_1$ có 1 cách chọn
- $a_2$ có 4 cách chọn
- $a_3$ có 3 cách chọn
Nên có 2.3.4.3.1 = 72 số
Vậy có 60 + 72 = 132 số cần tìm
Một nhóm 9 người gồm 3 đàn ông, 4 phụ nữ và 2 đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai người phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau.
- Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi.
- Xét lần lượt các phương án sau và sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp.
PA1: TNCNTNCNT.
PA2: TNTNCNCNT.
PA3: TNCNCNTNT.
- Sử dụng quy tắc cộng để tính số cách xếp thỏa mãn.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:
PA1: TNCNTNCNT.
PA2: TNTNCNCNT.
PA3: TNCNCNTNT.
Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho 3 người đàn ông ngồi.
- Người đàn ông thứ nhất có 33 cách xếp.
- Người đàn ông thứ hai có 22 cách xếp.
- Người đàn ông thứ ba có 11 cách xếp
Nên số cách xếp ba vị trí cho 3 người đàn ông là 3.2.1=6 cách.
Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có 4.3.2.1=24 cách.
Hai vị trí cho trẻ em ngồi có 2.1=2 cách.
Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.
Theo quy tắc cộng ta có: 3.6.24.2=864 cách.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 người A,B,C,D lên 3 toa tàu, biết mỗi toa có thể chứa 4 người
A,B,C,D vai trò tương tự nên chỉ cần tìm cách xếp một người rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để xếp A ta có 3 cách lên một trong ba toa
B,C,D tương tự cũng có 3 cách
Vậy có $3.3.3.3=81$ cách xếp 4 người lên toa tàu
Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?
- Phân tích số đó về dạng lũy thừa của các số nguyên tố $A=a^{m} \cdot b^{n} \cdot c^{p}$ (a,b,c là các số nguyên tố )thì ước của chúng có dạng là $a^{\alpha} \cdot b^{\beta} \cdot c^{\gamma}$
- Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $253125000=2^{3} \cdot 3^{4} .5^{8}$ nên mỗi ước số tự nhiên của số đã cho đều có dạng $2^{m} .3^{n} .5^{p}$ trong đó $m, n, p \in \mathbb{N}$ sao cho $0 \leq m \leq 3 ; 0 \leq n \leq 4 ; 0 \leq p \leq 8$
Có 4 cách chọn m.
Có 5 cách chọn n.
Có 9 cách chọn p.
Vậy theo quy tắc nhân ta có $4.5.9=180$ ước số tự nhiên.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ khác nhau và 8 viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở cạnh nhau?
+ Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: bi đỏ ở vị trí lẻ, bi xanh ở vị trí chẵn.
- Trường hợp 2: bi đỏ ở vị trí chẵn, bi xanh ở vị trí lẻ.
+ Sử dụng quy tắc nhân đếm số cách chọn cho từng trường hợp.
+ Sử dụng quy tắc cộng để giải bài toán.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.
Có 8 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.
Có 7 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.
...
Có 1 cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.
Suy ra có 8.7.6.5.4.3.2.1 cách xếp viên bi đỏ.
Tương tự có 8.7.6.5.4.3.2.1 cách xếp viên bi xanh.
Vậy có $(8.7 .6 .5 .4 .3 .2 .1)^{2}$ cách xếp.
Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: $2 .(8.7 .6 .5 .4 .3 .2 .1)^{2}=3251404800$
Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:
- Đếm số cách chọn chỗ ngồi cho lần lượt mỗi bạn.
- Sử dụng quy tắc nhân và kết luận.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Bước 1: Học sinh đầu tiên, giả sử đó là học sinh lớp A có 10 cách chọn ghế.
Bước 2: Có 5 cách chọn ra một học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện.
Bước 3: Có 8 cách chọn ra một học sinh lớp A vào ghế tiếp theo.
Bước 4: Có 4 cách chọn ra học sinh lớp B vào ghế đối diện.
Bước 5: Có 6 cách chọn ra học sinh lớp A.
Bước 6: Có 3 cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện.
Bước 7: Có 4 cách chọn học sinh lớp A vào ghế tiếp.
Bước 8: Có 2 cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện.
Bước 9: Có 2 cách chọn học sinh lớp A vào ghế kế tiếp.
Bước 10: Có 1 cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện.
Theo quy tắc nhân thì có $10.5 .8 .4 .6 .3 .4 .2 .2 .1=(5 !)^{2} .2^{5}=460800$ cách.
Có 6 học sinh và 33 thầy giáo A,B,C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh?
Sử dụng phương pháp vách ngăn: Xếp chỗ cho 6 học sinh và đếm số cách xếp chỗ cho mỗi thầy giáo vào các khoảng trống giữa 6 học sinh.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta sử dụng phương pháp tạo "vách ngăn".
Bước 1: Xếp vị trí cho 6 học sinh có 6! cách.
Bước 2: Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính 5 vách ngăn được tạo ra giữa 6 học sinh.
+) Thầy A có 5 cách xếp chỗ.
+) Thầy B có 4 cách xếp chỗ.
+) Thầy C có 3 cách xếp chỗ.
Vậy theo quy tắc nhân thì có 43200 cách.