Cho tập $A=\{1,2,3,4,5,6,8,9\}$. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 50000
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số cần tìm là $n=\overline{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}}$
Vì n>50000 nên $a_1$ có thể chọn trong các chữ số $\{5,6,8,9\}$
- $a_1$ có 4 cách chọn
- $a_2$ có 7 cách chọn
- $a_3$ có 6cách chọn
- $a_4$ có 5 cách chọn
- $a_5$ có 4 cách chọn
Vậy có tất cả $4.7 .6 .5 . 4=3360$ số
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ nhau
- Đếm số trường hợp có thể xếp nam và nữ
- Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn vị trí cho hai nhóm 3 nam và 3 nữ có 2 cách chọn ( 1 nhóm ở vị trí chẵn và 1 nhóm ở vị trí lẻ)
Xếp 3 nam có $3.2.1$ cách
Xếp 3 nữ có $3.2.1$ cách
Vậy có $2 .(3.2 .1)^{2}=72$ cách xếp
Bạn A muốn cài mật khẩu điện thoại của mình có 6 số thì có bao nhiêu cách?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi mật khẩu bạn A là số có dạng $\overline{\text { abcdef }}$
a,b,c,d,e,f có 10 cách chọn
Vậy có $10^6=1000000$ cách chọn
Số các số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 10 là
Xét từng trường hợp các chữ số rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số cần tìm có dạng : $\overline{\text { abcdef }};(a \ne 0)$
Do số chia hết cho 10 nên f có 1 cách chọn là số 0
a có 9 cách chọn vì a khác 0
b,c,d,e có 10 cách chọn
Vậy có $9.10^4=90000$ số
Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người phụ nữ trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn 1 người trong 10 người đàn ông có 10 cách
Chọn 1 người trong 9 người phụ nữ không phải là vợ của người đàn ông đã chọn 9 cách
Vậy có $10.9=90$ cách chọn
Trong giải đấu cầu lông có 10 đội tham gia với thể thức thi đấu vòng tròn. Cứ hai đội thì gặp nhau đúng 1 lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu xảy ra?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cứ mỗi đậu phải thi đấu với 9 đội còn lại nên có $9.10=90$ trận đấu. Tuy nhiên theo cách tính trên thì trận đội A gặp đội B 2 lần. Do đó số trận đấu thực tế diễn ra là $\dfrac{90} {2}=45$ trận
Có 3 nam và 3 nữ cần xếp ngồi vào 1 hàng ghế. Hỏi có mấy cách xếp sao cho nam nữ ngồi xen kẽ?
Xét thứ tự từng ghế rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2 cách chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6. Vậy có $6.3.2.2.1.1=72$ cách.
Số chứng minh nhân dân ở Huyện A có 9 chữ số và bắt đầu bởi 3 chữ số là 187. Hỏi ở đó có tối đa bao nhiêu chứng minh nhân dân
Xét từng số rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số chứng minh nhân dân cần tìm có dạng $\overline{187 a b c d e f}$
Khi đó a,b,c,d,e,f mỗi số có 10 cách chọn từ 0 đến 9
Nên có tất cả $10.10.10.10.10.10=10^6=1000000$ số
Từ các chữ số 0,2 ,5 ,7 ,8 ,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 7 .
Xét riêng từng trường hợp rồi sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là abcd. Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số 7
nên ta có các trường hợp.
TH1: a =7 khi đó số có dạng $\overline{7 b c d}$ .
Có 2 cách chọn d .Có 4 cách chọn a .Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $1.4.3.2=24$ (số).
TH2: b=7 khi đó số có dạng $\overline{a 7 c d}$.
Có 2 cách chọn d . Có 3 cách chọn a (do ). Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $3.1.3.2=18$ (số).
TH3: c=7 khi đó số có dạng $\overline{a b 7 d}$ .
Có 2 cách chọn d .Có 3 cách chọn a (do ). Có 3 cách chọn b .
Theo quy tắc nhân có $3.1.3.2=18$(số).
TH4: d=7 khi đó số có dạng $\overline{a b c 7}$ .
Có 4 cách chọn a (do ). Có 4 cách chọn b . Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $4.4.3.1=48$ (số).
Theo quy tắc cộng có $24+18+18+48=108$ số
(số).
Từ các chữ số 0,2 ,5 ,7 ,8 ,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 7 .
Xét riêng từng trường hợp rồi sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là abcd. Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số 7
nên ta có các trường hợp.
TH1: a =7 khi đó số có dạng $\overline{7 b c d}$ .
Có 2 cách chọn d .Có 4 cách chọn a .Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $1.4.3.2=24$ (số).
TH2: b=7 khi đó số có dạng $\overline{a 7 c d}$.
Có 2 cách chọn d . Có 3 cách chọn a (do ). Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $3.1.3.2=18$ (số).
TH3: c=7 khi đó số có dạng $\overline{a b 7 d}$ .
Có 2 cách chọn d .Có 3 cách chọn a (do ). Có 3 cách chọn b .
Theo quy tắc nhân có $3.1.3.2=18$(số).
TH4: d=7 khi đó số có dạng $\overline{a b c 7}$ .
Có 4 cách chọn a (do ). Có 4 cách chọn b . Có 3 cách chọn c .
Theo quy tắc nhân có $4.4.3.1=48$ (số).
Theo quy tắc cộng có $24+18+18+48=108$ số
(số).
Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 1000 được lập từ năm chữ số 0,2,4,6,7?
Số nhỏ hơn 1000 là số có 3,2 hoặc 1 chữ số.
Ta đưa về bài toán: "Có bao nhiêu số tự nhiên có 3,2 hoặc 1 chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số 0,2,4,6,7?"
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số nhỏ hơn 1000 là số có 3 chữ số.
TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số 0,2,4,6,7?
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{a b c}(a \neq 0, a \neq b \neq c)$ suy ra có 4 cách chọn a, có 4 cách chọn b, có 3 cách chọn c .
Vậy có 4.4.3=48 số.
TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số 0,2,4,6,7?
Có 4.4=16 số.
TH3: Số có 1 chữ số lập từ các số 0,2,4,6,7?
Có 5 số.
Vậy có tất cả 69 số.
Một tổ gồm 6 HS nam và 4 HS nữ. Giáo viên chọn 3 HS để đi trực thư viện.
Có bao nhiêu cách chọn nếu trong 3 HS được chọn có đúng một HS nữ được chọn?
- Chọn HS nữ trước rồi chọn 2 HS nam
- Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Một HS nữ được chọn từ 4 HS nữ nên có 4 cách chọn.
Một HS nam được chọn từ 6 HS nam nên có 6 cách chọn.
Một HS nam còn lại được chọn từ 5 HS nam còn lại nên có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 4.5.6 = 120 cách chọn.
Biển đăng ký xe ô tô có 6 chữ số và hai chữ cái đầu tiên trong 26 chữ cái
(không dùng chữ I và O). Chữ số đầu tiên khác 0. Hỏi số ô tô đăng ký nhiều
nhất là bao nhiêu
- Chọn hai chữ cái trong 24 chữ cái sau đó chọn 6 chữ số
- Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Biển đăng ký xe có:
Hai chữ cái đầu tiên trong 24 chữ cái nên ta có: 24.24 = 576 cách chọn.
Chữ số đầu tiên khác 0 nên ta có: 9 cách chọn.
Năm chữ số còn lại không nhất thiết phải khác 0 và có thể trùng nhau nên ta
có: 10.10.10.10.10 = 100000 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: 576.9.100000 = 518400000 cách chọn.
Nếu tất cả các đường chéo của đa giác đều 12 cạnh được vẽ thì số đường chéo là:
Đếm số cách chọn hai trong 12 cạnh rồi trừ đi số cạnh của đa giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Cứ 2 đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một đoạn thẳng (bao gồm cả cạnh đa giác và đường chéo).
Có 12 đỉnh nên có 12 cách chọn điểm đầu tiên
Có 11 cách chọn điểm thứ hai
Chọn như trên sẽ bị trùng 2 lần nên số đoạn thẳng là $\dfrac {11.12} { 2 }=66$
Số đường chéo là $66-12=54$
Một dãy ghế dài có 10 ghế. Xếp một cặp vợ chồng ngồi vào 2 trong 10 ghế sao cho người vợ ngồi bên phải người chồng (không bắt buộc ngồi gần nhau). Số cách xếp là:
- Xét lần lượt các trường hợp: người chồng ở vị trí đầu tiên, thứ 2, thứ 3,… và tính số cách xếp vị trí của người vợ.
- Sử dụng quy tắc cộng để tính số cách xếp hai vợ chồng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta lần lượt đánh số các ghế từ 1 đến 10.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 1 thì có 9 cách xếp người vợ.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 2 thì có 8 cách xếp người vợ.
….
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 9 thì có 1 cách xếp người vợ.
Nếu người chồng ngồi ở vị trí 10 thì có 0 cách xếp người vợ.
Vậy có tất cả 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 cách.
Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số thỏa mãn điều kiện sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị
Xét các cặp số chữ số thỏa mãn rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $x=\overline{\text { abcdef }}$ là số cần lập
Ta có $\left\{\begin{array}{l}{a+b+c+d+e+f=1+2+3+4+5+6=21} \\ {a+b+c=d+e+f+1}\end{array}\right.$
$\Rightarrow a+b+c=11$ Do $a, b, c \in\{1,2,3,4,5,6\}$
Suy ra ta có các cặp sau: $(a, b, c)=(1,4,6) ;(2,3,6) ;(2,4,5)$
Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn a,b,c và 3! cách chọn d,e,f
Do đó có $3.3 ! .3 !=108$ số thỏa mãn điều kiện đề bài
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?
Sắp xếp bộ ba số 1,2,3 sau đó chọn các số tiếp theo
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Sắp xếp bộ ba số 1, 2, 3 sao cho 2 đứng giữa 1,3 có 2 cách.
Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số
1 và 3 kể cả trường hợp số 0 đứng đầu là : $2 . C_{7}^{4}, 5 !$ số
Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số
1 và 3, có số 0 đứng đầu là: $2 . C_{6}^{3}, 4 !$
Suy ra số số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $2 . C_{7}^{4} .5!-2 . C_{6}^{3} .4!=7440$
Cho X={0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một từ X sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số 1.
- Xét các trường hợp:
+ Chữ số đầu tiên bằng 1.
+ Chữ số đầu tiên khác 1.
- Sử dụng quy tắc nhân để đếm số cách chọn trong mỗi trường hợp.
- Sử dụng quy tắc cộng để đếm số cách chọn cho bài toán.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{\text {abcde}}(a \neq 0)$
TH1: Nếu a=1 khi đó:
Có 1 cách chọn a.
Có 7 cách chọn b.
Có 6 cách chọn c.
Có 5 cách chọn d.
Có 4 cách chọn e.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: 1.7.6.5.4=840 số.
TH2: Nếu a≠1 khi đó:
Có 6 cách chọn a.
Có 2 cách xếp vị trí cho chữ số 1 là b hoặc c.
Cách xếp các chữ số còn lại có 6.5.4 = 120 cách.
Áp dụng quy tắc nhân ta có: 6.2.120 = 1440 số.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 840 + 1440 = 2280 số.
Một nhóm học sinh có 3 em nữ và 7 em trai. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 em này thành một hàng ngang sao cho giữa hai em nữ bất kì đều không có một em nam nào?
Giữa hai em nữ không có bất kì em nam nào có nghĩa là 3 em nữ phải đứng cạnh nhau.
Sử dụng phương pháp gom phần tử.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Bước 1: Gom 3 em nữ thành một nhóm thì số cách đổi vị trí các em nữ trong nhóm đó là 3! cách.
Bước 2: Sau khi nhóm 3 em nữ thì ta chỉ còn 8 phần tử. Số cách xếp 8 phần từ này là 8! cách.
Theo quy tắc nhân thì có 3!.8!=241920 cách.
Trong một tuần bạn A dự định mỗi ngày đi thăm 1 người bạn trong 10 người bạn của mình. Hỏi bạn A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn của mình ( thăm một bạn không quá một lần)
Chọn số cách đi thăm bạn mỗi ngày rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có một tuần có bảy ngày và mỗi ngày thăm một bạn
- Có 10 cách chọn bạn vào ngày thứ nhất
Có 9 cách chọn bạn vào ngày thứ hai.·
Có 8 cách chọn bạn vào ngày thứ ba.·
Có 7 cách chọn bạn vào ngày thứ tư.
Có 6 cách chọn bạn vào ngày thứ năm.·
Có 5 cách chọn bạn vào ngày thứ sáu.·
Có 4 cách chọn bạn vào ngày thứ bảy.
Theo quy tắc nhân ta có $10.9.8.7.6.5.4=604800$ cách