Đề thi cuối khóa môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận
và trắc nghiệm.Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc
nghiệm,trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu
cách chọn đề thi
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách chọn 1 đề tự luận là 12 cách
Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cách
Vì một học sinh phải đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 180 cách chọn đề thi
Một nữ sinh trung học khi đến trường có thể chọn một trong hai bộ trang phục là
quần trắng áo dài hoặc quần xanh áo sơ mi.
Nữ sinh có 7 chiếc quần trắng, 5 áo dài, 4 quần xanh và 6 áo sơ mi thì có bao nhiêu cách
chọn trang phục?
Sử dụng đồng thời quy tắc cộng và quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nữ sinh được chọn một trong hai bộ trang phục
TH1: Quần trắng + áo dài
- có 7 cách chọn quần trắng
- có 5 cách chọn áo dài
Vậy có 35 cách chọn bộ trang phục thứ nhất
TH2: Quần xanh + áo sơ mi
- có 4 cách chọn quần màu xanh
- có 6 cách chọn áo sơ mi
Vậy có 24 cách chọn bộ trang phục thứ hai
Vậy theo quy tắc cộng thì nữ sinh có 59 cách chọn
Cho hai tập hợp $A=\{a, b, c, d\} ; B=\{c, d, e\}$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Công thức $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $A \cup B=\{a, b, c, d, e\} \Rightarrow N(A \cup B)=5$
Cho hai tập A,B độc lập có số phần tử lần lượt là $n_{A}, n_{B}$ . Số phần tử của tập hợp $A \cup B$ là :
Sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do tập hợp A,B độc lập với nhau nên số phần tử của tập hợp $A \cup B$ là $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{n}_{A}+\boldsymbol{n}_{B}$
Trong một nhóm tình nguyện viên có 17 nam và 28 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm trưởng nhóm?
Sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Có 2 phương án chọn trưởng nhóm là nam hoặc nữ
- Có 17 cách chọn trưởng nhóm là nam
- Có 28 cách chọn trưởng nhóm là nữ
Vậy có tất cả 17+28=45 cách chọn trưởng nhóm
Từ làng A đến làng B có 3 con đường, từ làng A đến làng C có 2 con đường, từ làng B đến làng D có 2 con đường, từ làng C đến làng D có 3 con đường, không có con đường nào nối từ làng C đến làng B. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ làng A đến làng D ?
Sử dụng đồng thời quy tắc cộng và quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến B rồi đến D là $3.2=6$
Số cách đi từ A đến D bằng cách đi từ A đến C rồi đến D là $2.3=6$
Vậy có tất cả 12 cách
Cho tập $A=\{0,1,2,3,5,6,7,8,9\}$. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số lấy ra từ tập A
Sử dụng công thức nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$A=\{0,1,2,3,5,6,7,8,9\}$. Gọi số cần tìm là $\overline{a b c d e}$
- a có 8 cách chọn vì $a \ne 0$
- b, c, d, e đều có 9 cách chọn
Vậy có tất cả $8.9.9.9.9=52488$ số thỏa mãn đề bài.
Cho tập hợp $A=\{1,2,3,5,7,9\}$. Từ tập A có thể lập ra số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số cần tìm là $\overline{a b c d}$
Do số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau nên
- d có 1 cách chọn (d=2)
- a có 5 cách chọn(a khác d)
- b có 4 cách chọn ( b khác a và d)
- c có 3 cách chọn (c khác a,b và d)
Vậy có tất cả $5.4.3.1=60$ số
Một học sinh muốn mua một cây bút mực, một cây bút chì và một cái tẩy chì. Các cây bút có 4 màu khác nhau, các cây bút chì có 5 loại khác nhau và cái tẩy chì có 2 loại. Hỏi có bao nhiêu cách để mua đủ 3 loại bút
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chọn cây bút mực có 4 cách
Chọn cây bút chì có 5 cách
Chọn cái tẩy chì có 2 cách
Vậy số cách mua là $5.4.2=40$ cách
Cho các số: $1,2,3,4,5,6,7$. Hãy tìm số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho chữ số đầu tiên là số 3
Đếm số cách chọn từng chữ số và sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số cần tìm là $\overline{a b c d e}$
a có 1 cách chọn vì a=3
b,c,d,e đều có 7 cách chọn
Vậy có $1.7^4=2401$ số
Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?
Xét riêng từng trường hợp rồi sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $A=\{1,2,3,4,5,6\}$
Các số tự nhiên bé hơn 100 gồm có một chữ số hoặc hai chữ số.
TH1) Có 6 số tự nhiên có một chữ số.
TH2) Giả sử số tự nhiên có hai chữ số có dạng $\overline{a b}$ với a,b thuộc A.
a được chọn từ tập A có 6 phần tử nên có 6 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn a, b được chọn từ tập A có 6 phần tử nên có 6 cách
chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: 6.6 = 36 cách chọn.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 36+6=42 cách chọn.
Trong một đội văn nghệ có 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn một đôi song ca nam – nữ?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để chọn một đôi song ca nam – nữ, đầu tiên chọn một nam từ 8 bạn nam nên
có 8 cách chọn. Ứng với mỗi cách chọn bạn nam, một bạn nữ được chọn từ
6 bạn nữ nên có 6 cách chọn.
Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 8.6=48 cách chọn một đôi song ca.
Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng và một nước uống trong 3loại nước uống. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo quy tắc nhân ta có: $5.3.3=75$ cách chọn thực đơn.
Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ
tự giảm dần
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với một cách chọn 9 chữ số từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ta có duy nhất một cáchxếp chúng theo thứ tự giảm dần.
Ta có 10 cách chọn 9 chữ số từ tập $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
Do đó có 10 số tự nhiên cần tìm.
Một xã có 14 xóm. Mỗi xóm phải đá 4 trận bóng, 2 trận ở xóm mình và 2 trận ở xóm khác. Số trận đấu được sắp xếp là :
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Mỗi xóm sẽ gặp 13 xóm khác trong hai lượt trận tại xóm mình và xóm khác. Có $14.13=182$ trận
Mỗi xóm đá 2 trận xóm mình và 2 trận xóm khác . Nên số trận đấu là $2.182=364$ trận
Từ tập các số $2,3,7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số :
Xét các chọn các chữ số rồi sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abc .
Khi đó: a có 3 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 3 cách chọn.
Nên có tất cả số $3.3.3=27$ số
Cho 5 chữ số $1,3,4,5,6$ số tự nhiên lẻ có 3 chữ số lập thành từ 5 chữ số đó :
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là: $\overline{a b c}, a \neq 0$ , khi đó: c có 3 cách chọn
a có 5 cách chọn
b có 5 cách chọn
Vậy có: $3.5.5=75$ số
Cho tập $A=\{0,1,2,3,4,5,7,8\}$ . Từ tập đó ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi số cần tìm là $\overline{a b c d}, a, b, c, d \in\{0,1,2,3,4,5,7,8\} ; a \neq 0$
a có 7 cách chọn từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8
b có 7 cách chọn từ 8 số đã cho trừ đi 1 số a đã chọn.
c có 6 cách chọn từ 8 số đã cho trừ đi 2 số a và b đã chọn
d có 5 cách chọn từ 8 số đã cho trừ đi 3 số a,b,c đã chọn.
Vậy có $7.7.6.5=1470$
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn trong khoảng $(3000;4000)$ có thể tạo nên bằng các chữ số 1, 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ?
Sử dụng quy tắc nhân
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các số chẵn trong khoảng $(3000;4000)$ có dạng $\overline{a b c d}$
a có 1 cách chọn là 3
d có 3 cách chọn là 2,4,6
b,c có 6 cách chọn
Vậy có $1.6.6.3=108$
Gieo đồng thời 2 con súc sắc. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra mà tổng số chấm trên mặt xuất hiện của 2 con súc sắc là 4
Sử dụng quy tắc cộng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta phải tìm số các bộ $(a,b)$ với $1 \leq a \leq 6 ; 1 \leq b \leq 6$ sao cho $a+b=4$ . Các tập hai số $\{a, b\}$ với $a+b=4$ là $(1,3),(2,2)$
Bằng cách hoán vị phần tử $(1;3)$ thành $(3;1)$
Vậy có tất cả 2+1=3 cách