Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n=1$ ta có $\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{a+b}{2}$ , do đó loại đáp án A.

Với $n=2$, chọn bất kì $a=1, b=2$ ta có:

$\begin{array}{l}{\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}=\dfrac{1^{2}+2^{2}}{2}=\dfrac{5}{2},\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{n}=\left(\dfrac{1+2}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}} \\ {\Rightarrow \dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}>\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{n}}\end{array}$

Đáp án C sai.

Ta chứng minh đáp án B đúng với mọi $a \geq 0, b \geq 0, n \in N^{*}$ bằng phương pháp quy nạp.

Với $n=1$ mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng đến $n=k(k \geq 1) \Leftrightarrow \dfrac{a^{k}+b^{k}}{2} \geq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k}(1)$

Ta phải chứng minh $\dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} \geq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k+1}$

Thật vậy, ta nhân 2 vế của (1) với $\dfrac{a+b}{2}>0$, ta có:

$\dfrac{a^{k}+b^{k}}{2} \cdot \dfrac{a+b}{2} \geq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k} \cdot \dfrac{a+b}{2} \Leftrightarrow \dfrac{a^{k+1}+a^{k} b+a b^{k}+b^{k+1}}{4} \geq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{k+1}(2)$

Do $a \geq 0, b \geq 0$. Nếu $a \geq b \geq 0 \Rightarrow\left(a^{k}-b^{k}\right)(a-b) \geq 0$, nếu

$\begin{array}{l} 0 \le a \le b = > \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0\\ = > \left( {{a^k} - {b^k}} \right)\left( {a - b} \right) \ge 0 \ \forall a \ge 0,b \ge 0\\ = > {a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} \ge {a^k}b + a{b^k} = > \dfrac{{{a^{k + 1}} + {a^k}b + a{b^k} + {b^{k + 1}}}}{4} \le \dfrac{{{a^{k + 1}} + {a^{k + 1}} + {b^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{4} = \dfrac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \end{array}$

Từ (2) suy ra $\dfrac{{{a^{k + 1}} + {b^{k + 1}}}}{2} \ge {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^{k + 1}}$, do đó mệnh đề đúng nến n=k+1.

Vậy mệnh đề đúng với mọi n,a,b thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n=2$ ta có: $3^2=9>3.2+2$

Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức đúng với $n=2$, giả sử bất đẳng thức đúng đến $n=k(k \geq 2)$, tức là $3^k>3k+2$.

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n=k+1$, tức là cần chứng minh $3^{k+1}>3(k+1)+2=3k+5$

Ta có: $3^{k+1}=3.3^k>3(3k+2)=9k+6>3k+5$

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi $Sn=2+5+8+…+(3n−1)$ 

Với $n=1$ ta có: $S1=2,$ ta loại được các đáp án B, C và D.

Ta chứng minh $Sn=2+5+8+…+(3n−1)=\dfrac{n(3n+1)}2(∗)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$  bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử (*) đúng đến $n=k(k≥1)$, tức là $2+5+8+..+(3k-1)=\dfrac{k(3k+1)}2$ 

Ta cần chứng minh (*) đúng đến $n=k+1,$ tức là cần chứng minh $S_{k+1}=2+5+8+…+(3(k+1)−1)=\dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}2=\dfrac{(k+1)(3k+4)}2$ 

Ta có: $S_{k+1}=2+5+8+…+(3(k+1)−1)=2+5+8+…+(3k−1)+(3k+2)=\dfrac{k(3k+1)}2+3k+2=\dfrac{3k^2+6k+6k+4}2=(\dfrac{(k+1)(3k+4)}2$

Do đó (*) đúng đến $n=k+1$

Vậy $S_n=2+5+8+…+(3n−1)=\dfrac{n(3n+1)}2$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét $n=0;1;2;3;4;....$ , khi đó S là số nguyên 

Giả sử S là số nguyên 

Ta chứng minh giả thiết bằng phương pháp quy nạp.

Mệnh đề đúng với $n=0$.

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$, $P_k=\dfrac{{{k^5}}}{5} + \dfrac{{{k^4}}}{2} + \dfrac{{{k^3}}}{3} - \dfrac{k}{{30}}$ là số nguyên . 

Ta cần chứng minh nó đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh:

$\dfrac{{{(k+1)^5}}}{5} + \dfrac{{{(k+1)^4}}}{2} + \dfrac{{{(k+1)^3}}}{3} - \dfrac{k+1}{{30}}$ là số nguyên.

Khai triển biểu thức trên:

$\dfrac{{{k^5} + 5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k + 1}}{5} + \dfrac{{{k^4} + 4{k^3} + 6{k^2} + 4k + 1}}{2} + \dfrac{{{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1}}{3} - \dfrac{{k + 1}}{{30}}$

Nhóm lại để xuất hiện $P_k$

$\dfrac{{{k^5}}}{5} + \dfrac{{{k^4}}}{2} + \dfrac{{{k^3}}}{3} - \dfrac{k}{{30}} + {k^4} + 2{k^3} + 2{k^2} + k + 2{k^3} + 3{k^2} + 2k + {k^2} + k + 1$

Nhóm thứ nhất theo giả thiết quy nạp là số nguyên , còn nhóm phía sau đều là số nguyên 

Như vậy $P_{k+1}$ đúng với mọi n 

=> Giả thiết đúng 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Với $n=0;1$ => Chỉ có $v_n=2^n+1$ thỏa mãn 

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giả sử công thức đã đúng cho $n=k$ và $n=k-1$ , nghĩa là $v_k=2^k+1$ và $v_{k-1}=2^{k-1}+1$, khi đó : 

 $v_{k+1}=3(2^k+1)-2(2^k+1)=2^{k+1}+1$

Theo định lý 1 với $p=2$ , suy ra $v_n=2^n+1$ đúng với mọi số tự nhiên n.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Xét các trường hợp $n=0;n=1;n=2$ , ta sẽ thấy chỉ có trường hợp tổng không chia hết cho $715$ là đúng .

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Theo công thức Viet $x_1+x_2=27$ và $x_1.x_2=14$.

Bước cơ sở: Các số $\begin{array}{l}\n{S_1} = 27;\\\n{S_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 701;\\\n{S_3} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = 27687\n\end{array}$ đều không chia hết cho $715$.

Suy ra mệnh đề đúng.

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng đến $n=k-2;n=k-1;n=k$, ta tính:

$\begin{array}{l}\nx_1^{k + 1} + x_2^{k + 1} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)(x_1^k + x_2^k) - {x_1}{x_2}\left( {x_1^{k - 1} + x_2^{k - 1}} \right)\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^{k - 1} + x_2^{k - 1}} \right) - {x_1}{x_2}\left( {x_1^{k - 2} - x_2^{k - 2}} \right)} \right] - {x_1}{x_2}\left( {x_1^{k - 1} + x_2^{k - 1}} \right)\\ = 715\left( {x_1^{k - 1} + x_2^{k - 1}} \right) - 378\left( {x_1^{k - 2} + x_2^{k - 2}} \right)\n\end{array}$

Do đó $x_1^{k + 1} + x_2^{k + 1}$ không chia hết cho $715$, vì $378$ không chia hết cho $715$, nói cách khác mệnh đề đúng với $n=k+1$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

(1) Cơ sở quy nạp. Với $n=5$, mệnh đề đúng.

(2) Bước quy nạp.

      Giả sử mệnh đề đúng với $n=k(k \geq 5)$, tức là một $k$- giác lồi đều chia được thành một số hữu hạn các ngũ giác lồi. Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$, tức là mọi $(k+1)$- giác lồi $(H)$ đều chia được thành một số hữu hạn các ngũ giác lồi.

     Thật vậy, xét $(k+1)$- giác lồi $(H)=A_1A_2..A_kA_{k+1}$. Trên các cạnh $A_1A_{k+1}$ và $A_3A_4$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ khác các đỉnh. Đoạn $MN$ chia $(H)$ thành hai đa giác.

$(H_1)=MA_1A_2A_3N$ và $(H_2)=MNA_4A_5...A_kA_{k+1}$

Rõ ràng $(H_1)$ là ngũ giác lồi còn $(H_2)$ là $k$- giác lồi . Theo giả thiết quy nạp, $(H_2)$ chia được thành một số hữu hạn ngũ giác lồi, Vậy $(k+1)$- giác lồi $(H)$ chia được thành một số hữu hạn các ngũ giác lồi.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

- Với n=1 , số dây cung là 1 nên cắt nhau tại m=0 điểm, số phần là 2

- Với n=2 , số dây cung là 2 nên cắt nhau tại m=1 điểm ,số phần là 4

- Với n=3 , số dây cung là 3 nên cắt nhau tại m=3 điểm , số phần là 7

=> Ta thấy 3 trường hợp mẫu đều có chung kết quả số phần tổng quát là $n+m+1$ (1)

Chứng minh (1) đúng bằng phương pháp quy nạp.

- Cơ sở quy nạp: đã đúng với $n=1$ở trên 

- Bước quy nạp: Giả sử bài toán đúng với  $n=k$ , nghĩa là $k$ dây cung cắt nhau tại $m_1$ điểm trong hình tròn, được chia thành $k+m_1+1$ phần. Ta chứng minh bài toán đúng với $n=k+1$, nghĩa là $k+1$ dây cung cắt nhau tại $m$ điểm trong hình tròn, hình tròn được chia thành $k+1+m+1=k+m+2$ phần.

Thật vậy, xét $n=k+1$ dây cung tùy ý, cắt nhau tại $m$ điểm trong. Đánh số các dây cung từ $1$ đến $k+1$ . Ta bỏ đi một dây cung tùy ý, chẳng hạn dây cung $k+1$ . Khi đó , trong hình tròn chỉ còn $k$ dây cung cắt nhau tại $m_1$ điểm trong, theo giả thiết quy nạp, hình tròn được chia thành $k+m_1+1$ phần. "Khôi phục " lại dây cung thứ $k+1$, khi đó dây cung $k+1$ bị các dây cung có chỉ số từ $1$ đến $k$ chia cắt thành $m-m_1+1$ phần, nếu hình tròn được thêm $m-m_1+1$ phần. Bởi vậy, số phần hình tròn được chia bởi $k+1$ dây cung là:

$k+m_1+1+m-m_1+1=k+1+m+1=k+m+2$

Vậy, theo nguyên lý quy nạp thì mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Gọi số miền thu được bởi $n$ đường tròn trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện đề bài là $F(n)$.

(1) Cơ sở quy nạp.

   Với $n=1$ , dễ thấy $F(1)=2$  (hình 2.3a )

   Với $n=2$, ta có hai đường tròn cắt nhau và $F(2)=4$ ( hình 2.3b).

(2) Bước quy nạp . Giả sử với $k$ đường tròn thỏa mãn điều kiện đề bài, chúng chia mặt phẳng ra làm $F(k)$ miền. Xét $(k+1)$ đường tròn thỏa mãn điều kiện đề bài. Ta tính $F(k+1)$.

Gọi $(k+1)$ đường tròn đó là $(C_1),(C_2),...,(C_{k+1})$. Bỏ đi một đường tròn bất kì trong $(k+1)$ đường tròn đó, chẳng hạn $(C_{k+1})$. Khi đó còn $k$ đường tròn, theo giả thiết quy nạp, số miền thu được là $F(k)$.

Bây giờ ta dựng lại $(C_{k+1})$. Khi đó đường tròn $(C_{k+1})$ giao với cả $k$ đường tròn ban đầu. Trên $(C_{k+1})$ có $k$ cặp giao điểm nên cho ta thêm $2k$ miền.

Vậy $F(k+1)=F(k)+2k$. Do đó ta có,

$F(k)=F(k-1)+2(k-1)\\\nF(k-1)=F(k-2)+2(k-2)\\\n...\\\nF(2)=F(1)+2.1\\\nF(1)=2$

Công các đẳng thức trên lại ta được:

$F(k)=2[1+1+2+3+...+(k-2)+(k-1)]=2[1+\dfrac{k(k-1)}2]=k^2-k+2$.

Vậy số miền thu được từ $n$ đường tròn thỏa mãn đề bài là $F(n)=n^2-n+2$