Bất đăng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n \geq 3$ thì:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với ta loại được đáp án: A, B, C
Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đằng thức $2^{n}>2 n+1$ đúng với $n=3$ vì $8>7$
Giả sử bất đẳng thức đúng đến $n=k \geq 3$, tức là $2^{k}>2 k+1$, ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n=k+1$, tức là cần chứng minh $2^{k+1}>2(k+1)+1=2 k+3$
Ta có $2^{k+1}=2.2^{k}>2(2 k+1)=4 k+2=2 k+3+2 k-1$. Vì $k \geq 4 \Rightarrow 2 k-1 \geq 7>0 \Rightarrow 2^{k+1}>2 k+3$
Do đó bất đẳng thức đúng đên $n=k+1$.
Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$
Đáp án: D
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến $P(n)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \geq p$ ($p$ là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề $P(n)$ đúng với $n=k$ và với khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với $n=k$ với $k \geq p$
Đáp án đúng là: B. $k \geq p$
Đối với bài toán chứng minh $P(n)$ đúng với mọi $n \geq p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì ở bước 1 ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đối với bài toán chứng minh $P(n)$ đúng với mọi $n \geq p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:
- Bước 1: Chứng minh $P(n)$ đúng với $n=p$.
- Bước 2: Với $k \geq p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P(n)$ đúng với $n=k$, chứng minh $P(n)$ cũng đúng khi $n=k+1$
Từ đó ta thấy ở bước đầu tiên ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n=p$ chứ không phải $n=1$.
Đáp án: D
Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n=k$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n=k$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$.
Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n=k thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến :
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n= k $ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n= k +1$
Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:
1) $k \in Q$
2) $n \in Q => n+ 1 \in Q $ $\forall n \ge k$.
Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào là đúng?
Dựa vào lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học và loại trừ các đáp án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đáp án A : sai vì $Q \subset N^*$ chứ không phải $N^* \subset Q$, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc Q hết được.
Đáp án B: sai theo giả thiết (2), thì phải là số tự nhiên lớn hơn k thuộc Q.
Đáp án C: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.
Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc Q.
Vậy C đúng
Phương pháp quy nạp toán học gồm bao nhiêu bước cơ bản?
Xem các bước chứng minh quy nạp toán học trong sách giáo khoa
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với $n=p$ ( với p là số tự nhiên, thường là p=1 )
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n=k≥1$giả thiết quy nạp)
Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$
Xác định công thức tổng quát của dãy $u_n$ sau:
$({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = \dfrac{5}{4}\\\n{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2}(n \ge 1)\n\end{array} \right.$
Thử các kết quả với $n=1;n=2;n=3 $ sau đó dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}\n{u_1} = \dfrac{5}{4}\\\n{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2}(n \ge 1)\n\end{array} \right.$
Ta có:
${u_2} = \dfrac{9}{8} = \dfrac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}},{u_3} = \dfrac{{{2^4} + 1}}{{{2^4}}},{u_4} = \dfrac{{33}}{{32}} = \dfrac{{{2^5} + 1}}{{{2^5}}},...$Dự đoán :${u_n} = \dfrac{{{2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}(\forall n \ge 1)$
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n = 1:{u_1} = \dfrac{5}{4}$(đúng).
Giả sử mệnh đề đúng với $n = k(k \ge 1):{u_k} = \dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$
Ta cần chứng minh BĐT đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh: ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^{k + 2}} + 1}}{{{2^{k + 2}}}}$
Thật vậy, ta có: ${u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \left( {\dfrac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} + 1} \right).\dfrac{1}{2} = \dfrac{{{2^{k + 2}} + 1}}{{{2^{k + 2}}}}$
Vậy: ${u_n} = \dfrac{{{2^{n + 1}} + 1}}{{{2^{n + 1}}}}(\forall n \ge 1)$.
Bước đầu tiên của phương pháp quy nạp toán học là gì ?
Cần bước kiểm tra mẫu xem giả thiết quy nạp có đúng không
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo định nghĩa , bước 1 của phương pháp quy nạp có thể là một trong hai cách :
- Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với $n=1$
- Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với $n=p(p \in {\mathbb{N}^*})$
Tính tổng của dãy sau :
$1+3+5+...+(2n-1)$
- Thử các kết quả với n =1 ; n=2 ; n=3 rồi dự đoán
- Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với n=1 : Tổng của dãy là 1
n=2 => S= 4 ; n=3 => S= 9
Dự đoán tổng của dãy là $n^2$.
$1+3+5+...+(2n-1)=n^2(1)$
Chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp/
Kiểm tra khi n=1 : mệnh đề (1) trở thành : $1=1^2=1$ đúng
Giả sử mệnh đề (1) đúng khi $n=k \geq 1$ tức là:
$S_k=1+3+5+...+(2k-1)=k^2$( giả thiết quy nạp)
Ta cần chứng minh (1) đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh:
$S_{k+1}=1+3+5+...+(2k+1)=(k+1)^2$.
Thật vậy: $S_{k+1}=S_k+2[(2(k+1)-1]=k^2+2k+1=(k+1)^2$
Vậy mệnh đề (1) đúng
Tính tổng của dãy sau:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3$
- Lần lượt thay n=1; n=2 ;n=3,... vào và dự đoán công thức tổng quát
- Chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với n=1 => S= 1
n=2 => S= 9 ; n=3 => S= 36
Dự đoán tổng của dãy trên là $\dfrac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}$.
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\dfrac{{{n^2}{{(n + 1)}^2}}}{4}$$(*)$
Chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.
Xét với $n=1$, ta có VT=VP => Mệnh đề đúng
Giả sử (*) đúng với $n=k(k \geq 1)$, khi đó ta có:
$1^3+2^3+3^3+...+k^3=\dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}$(**)
Ta cần chứng minh ( **) đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh:
$1^3+2^3+3^3+...+(k+1)^3=\dfrac{{{(k+1)^2}{{(k + 2)}^2}}}{4}$
Ta có VT ( **) = $1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=\dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2}}}{4}+(k+1)^3$
=$\dfrac{{{k^2}{{(k + 1)}^2} + 4{{(k + 1)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{\rm{[}}{{\rm{k}}^2}{\rm{ + 4(k + 1)]}}}}{4} = \dfrac{{{{(k + 1)}^2}{{(k + 2)}^2}}}{4} = VP(**)$
Vậy (**) đúng với n=k+1
Cho dãy số $(U_n)$ với ${U_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}$. Khẳng định nào sau đây là đúng
Thử các đáp án A, B ,C ,D và loại trường hợp sau đó chọn đáp án đúng
Chú ý đáp án A, B về câu từ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số trên là dãy số giảm dần về -1 => loại đáp án C, D
Mỗi số hạng chỉ có 1 phần tử => loại B
Đáp án A đúng khi thay các trường hợp $n=1;2;3;4;5$ vào dãy số
Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $u_n=2.3^n$. Giá trị của $u_{20}$ với mọi số nguyên dương $n$ là:
Thay $n=20$ vào , ta xác định được giá trị cần tìm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thay $n=20$ vào , ta xác định được giá trị cần tìm :
$u_{20}=2.3^{20}$
Cho dãy số $(U_n)$ với $U_n=\dfrac{a-1}{n^2}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta dùng phương pháp loại trừ trường hợp để loại trừ đáp án
Xét trường hợp a làm cho dãy số không đổi
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $a=0$ dãy số luôn không đổi => Loại C, D
Thay $n+1$ vào dãy số => Ta chọn đáp án B
Cho dãy số có các số hạng đầu là $5;10;15;20;25;...$. Số hạng tổng quát của dãy số này là :
Dự đoán dãy số $U_n=5n$ sau đó chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo dãy số đã cho, ta dự đoán số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: $U_n=5n$
Với $n=1$ ( đúng )
Giả sử giả thiết đúng với $n=k$ , tức là $U_k=5k$
Ta cần chứng minh dãy số đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh $U_k=5(k+1)$
Thật vậy: $U_{k+1}=5(k+1)=5k+5=U_k+k$
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng
Xét các trường hợp $n=1;2;3;4;...$ ta chọn được mệnh đề đúng
Sau đó ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $n=1;2;3;4;...$ ta thấy $n^3+11n \vdots 6$
Giả sử $n^3+11n \vdots 6$
Xét $n=1$ ( đúng)
Giả sử khẳng định trên đúng với $n=k(k \geq 1) $, ta cần chứng minh đúng đến $n=k+1$, tức là chứng minh:
$(k+1)^3+11(k+1)=k^3+11k+3k^2+3k+12 \vdots 6$
$<=>3k^2+3k+12 \vdots 6$
Do $3k^2+3k$ luôn là số chẵn => $3k^2+3k \vdots 2$ mà $3k^2+3k \vdots 3$
=> $3k^2+3k \vdots 6$
Cho ${S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} +\dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$.
Dự đoán công thức tính $S_n$
Xét $n=1;2;3;4;5;6;...$ rồi dự đoán công thức tính trên
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta phân tích tổng trên:
${S_n} = \dfrac{1}{4}(1 - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{13}} + ... - \dfrac{1}{{4n - 1}} + \dfrac{1}{{4n - 1}} - \dfrac{1}{{4n + 1}}) = \dfrac{1}{4}(1 - \dfrac{1}{{4n + 1}}) = \dfrac{n}{{4n + 1}}$
Với giá trị nào của n thì mệnh đề sau đúng với mọi n :
$n! > 2^{n-1}$
Xét các trường hợp từ nhỏ đến lớn của n , từ đó ta chọn đáp án đúng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $n=1;2$ mệnh đề sai
=> Khi $n=3;4;5;...$ mệnh đề đúng
Cho tổng sau: $S_n=3+9+27+...+3^n$
Xác định tổng trên
Chọn $n=1;2;3;4;...$ rồi giả sử công thức tổng trên rồi chứng minh giả thiết đó bằng phương pháp quy nạp toán học
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $n=1;2;3;4;..$ , ta giả sử công thức của tổng trên là $\dfrac{1}{2}({3^{n + 1}} - 3)$
Ta sẽ chứng minh giả sử trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
Giả sử mệnh đề trên đúng với $n=k(k \geq 1)$ , ta cần chứng minh mệnh đề trên cũng đúng với $n=k+1$, tức là chứng minh:
$S_{k+1}=\dfrac{1}{2}({3^{k + 2}} - 3)$
Thật vậy: $S_{k+1}=$$\dfrac{1}{2}({3^{k + 1}} - 3)+3^{k+1}$
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
Xét với $n=1;2;3$ ta thấy chỉ có mệnh đề A thỏa mãn
Chứng minh bằng quy nạp toán học
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét với $n=1;2;3$ ta thấy chỉ có mệnh đề A thỏa mãn
Ta chứng minh mệnh đề trên đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với $n=1$ ( đúng)
Giả sử mệnh đề đúng với $n=k(k \geq 1)$ tức là : $3^{2k}-1 \vdots 8$
Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng đến $n=k+1$, tức là chứng minh : $3^{2k+2}-1 \vdots 8$
Thật vậy : $3^{2k+2}-1=(3^{2k}-1).8+3^{2k}-1+8 \vdots 8$