Cho đường thẳng $d$ và điểm $M’$ là ảnh của điểm $M$ nằm ngoài $d$ qua phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$. Chọn mệnh đề đúng:
Sử dụng định nghĩa phép chiếu vuông góc. Cho đường thẳng $d$ với mỗi điểm $M$, xác định điểm $M’$ là hình chiếu của $M$ lên $d$. Phép biến hình này là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Từ định nghĩa phép chiếu vuông góc ta thấy $MM’$ vuông góc với $d$ tại $M’$ ( vì $M’$ là hình chiếu của $M$ trên $d$ nên $M’ \in d$ )
Đáp án : B
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, với $\alpha,a,b$ là những số cho trước, xét phép biến hình biến mỗi điểm $M(x;y)$ thành điểm $M’(x’;y’)$ trong đó $\left\{ \begin{array}{l}x’ = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a\\ y’ = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b \end{array} \right.$. Cho hai điểm $M(x_1;y_1)$, $N(x_2;y_2)$ , gọi $M’,N’$ lần lượt là ảnh của $M,N$ qua phép biến hình $F$. Khi đó khoảng cách giữa $M’,N’$ bằng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x’ = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a\\ y’ = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b \end{array} \right.$$\left\{ \begin{array}{l} x’ = x\cos \alpha - y\sin \alpha + a\\ y’ = x\sin \alpha + y\cos \alpha + b \end{array} \right.$
$ \Rightarrow M^{\prime}N^{\prime} = \sqrt {{{(x_2^{\prime} - x_1^{^{\prime}})}^2} + {{(y_2^{^{\prime}} - y_1^{^{\prime}})}^2}} $
$ = \sqrt {{{(x_2^{\prime} - x_1^{\prime})}^2}{{\cos }^2}\alpha + {{(y_2^{\prime} - y_1^{\prime})}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{(x_2^{\prime} - x_1^{\prime})}^2}{{\sin }^2}\alpha + {{(y_2^{\prime} - y_1^{\prime})}^2}{{\cos }^2}\alpha } $
$ = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} \Rightarrow d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2}} $
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $OABC$ với điểm $A(1;2)$, điểm $B$ thuộc đường thẳng $\Delta: x-2y-6=0$. Tìm quỹ tích đỉnh $C?$
$OABC$ là hình bình hành nên ${T_{\overrightarrow {AO} }}(B) = C$
Quỹ tích điểm $C$ là đường thẳng $\Delta^{\prime}$ song song với $\Delta$ .
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $OABC$ là hình bình hành nên ${T_{\overrightarrow {AO} }}(B) = C$
Vậy quỹ tích điểm $C$ là đường thẳng $\Delta^{\prime}$ song song với $\Delta$ .
Phương trình $\Delta^{\prime}$ có dạng: $x-2y+t=0$
Gọi điểm $M(6;0) \in \Delta$ , còn ${T_{\overrightarrow {AO} }}(M) = N$ , khi đó $N(5;-2)$ mà $ N \in \Delta^{\prime}$ nên $t=-9$
Vậy : Phương trình $\Delta^ {\prime}: x-2y-9=0$
Cho $\Delta ABC$ và đường tròn tâm $O$. Trên đoạn $AB$, lấy điểm $E$ sao cho $BE=2AE$, $F$ là trung điểm của $AC$ và $I$ là đỉnh thứ tự của hình bình hành $AEIF$ . Với mỗi điểm $P$ trên $(O)$ ta dựng điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow {PA} + 2\overrightarrow {PB} + 3\overrightarrow {PC} = 6\overrightarrow {IQ} $ . Khi đó tập hợp điểm $Q$ khi $P$ thay đổi là:
Gọi một điểm trung gian $K$ có tính chất: $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 $
Từ đó xác định quan hệ giữa $K,I ,Q ,P$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $K$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0 $
Khi đó: $\overrightarrow {KA} + 2(\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AB} ) + 3(\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} $
Mặt khác: $AEIF$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} $ nên $K \equiv I$
Từ giả thiết $ \Rightarrow 6\overrightarrow {PK} + (\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} + 3\overrightarrow {KC} ) = 6\overrightarrow {IQ} \Leftrightarrow \overrightarrow {PK} = \overrightarrow {IQ} $ hay $\overrightarrow {PI} = \overrightarrow {IQ} $
$ \Rightarrow {Đ_I}(P) = Q \Rightarrow $ khi $P$ di động trên $(O)$ thì $Q$ di động trên $(O^{\prime})$ là ảnh của $(O)$ qua phép đối xứng tâm $I$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $(C)$ có phương trình: $x^2+y^2-4x-2y-4=0$. Tìm ảnh đường tròn $(C’)$ của $(C)$ qua phép đối xứng trục $Oy$
Phép đối xứng trục $Oy$ sẽ giữ nguyên tung độ còn hoành độ đổi dấu
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương pháp quỹ tích: từ biểu thức tọa độ : ${Đ_{Oy}}:M(x;y) \to M^{\prime}(x^{\prime};y^{\prime}) \in (C^{\prime})$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - x^{\prime}\\ y = y^{\prime} \end{array} \right. \Rightarrow {( - x^{\prime})^2} + {(y^{\prime})^2} + 4x^{\prime}- 2y^{\prime}- 4 = 0$
Vậy phương trình đường tròn $(C^{\prime})$ là: ${x^2} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta : 2x+y-3=0$, Tìm ảnh $\Delta ’$ đối xứng với $\Delta$ qua đường thẳng $d:2x-3y+1=0$
Tìm giao điểm của trục đối xứng $d$ và đường thẳng ban đầu
Gọi một điểm thuộc đường thẳng ban đầu, tìm ảnh của điểm đó qua phép trục đối xứng $d$, ảnh này thuộc đường thẳng đối xứng cần tìm
Viết phương trình khi biết 2 điểm thuộc đường thẳng đó
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 2x + y - 3 = 0\\ x - 3y + 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \Delta \cap d = M(1;1)$
Chọn $N(0;3) \in \Delta$ . Gọi $N^{\prime}$ là ảnh của $N$ qua $Đ_d$ ta tìm được $N’(\dfrac{{32}}{{13}}; - \dfrac{9}{{13}}) \Rightarrow \overrightarrow {N’M} = ( - \dfrac{{19}}{{13}};\dfrac{{22}}{{13}})$
$ \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {22;19} \right)$ là vector pháp tuyến của $\Delta ^{\prime}$
Vậy phương trình đường thẳng $\Delta ^{\prime}$ là: $22x + 19y - 41 = 0$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2+6x+5=0$. Tìm ảnh đường tròn $(C^{\prime})$ của $(C)$ qua $Q_{(O;90^o)}$.
Ảnh của đường tròn qua phép quay tâm không làm thay đổi bán kính , chỉ thay đổi tâm đường tròn , phép quay có chiều dương ngược kim đồng hồ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(-3;0)$ và bán kính $R=2$
${Q_{(O,{{90}^o})}}(I) = I^{\prime} \Rightarrow I^{\prime}(0; - 3)$
Phương trình đường tròn $(C^{\prime}):x^2+(y+3)^2=4$
Tìm ảnh của điểm $N(2;-4)$ qua phép biến hình có được bằng cách thực hiện phép quay tâm $O$ góc quay $-90^o$ và phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow u = ( - 1;2)$
Thực hiện lần lượt phép biến hình
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Thực hiện lần lượt phép biến hình:
Ảnh của điểm $N(2;-4)$ qua phép quay tâm $O$ góc quay tâm $O$ góc quay $-90^o$ là $N_1(4;-2)$
Ảnh của điểm $N_1(-4;-2)$ qua phép tịnh tiến theo vector $\overrightarrow u = ( - 1;2)$ là $N^{\prime}(-5;0)$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng $d:\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{4} = 1$ và $d’:2x - y - 6 = 0$. Phép vị tự $V_{(O,k)}(d)=d^{\prime}$ . Tìm $k$
Sử dụng định nghĩa phép vị tự
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$d:2x-y-4=0$
Chọn $M(2;0) \in d \Rightarrow {V_{(O;k)}}(M) = M^{\prime}(x^{\prime};y^{\prime}) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^{\prime} = - 2k\\ y’ = 0 \end{array} \right.$
Do $M’ \in d’ \Rightarrow 2.2k - 0 - 6 = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{3}{2}$
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $d:2x-y=0$ thỏa mãn phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$ và phép đối xứng trục $Oy$ sẽ biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng nào sau đây?
Thực hiện lần lượt các phép biến hình
Phép vị tự sẽ không làm thay đổi phương đường thẳng
Phép đối xứng trục $Oy$ chỉ làm đổi dấu hoành độ
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: ${V_{(O, - 2)}}(d) = d\' \Rightarrow d\'//d$
$ \Rightarrow d^{\prime}$ có dạng: $2x-y+c=0$
Chọn $N(1;2) \in d:{V_{(O, - 2)}}(N) = N\'( - 2; - 4) \in d \Rightarrow - 4 + 4 + c = 0 \Rightarrow c = 0$
Khi đó phương trình đường thẳng $d^{\prime}: 2x-y=0$
Qua phép đối xứng trục $Oy:Đ_{Oy}(d^{\prime})=d^{\prime{\prime}}$
Suy ra phương trình ảnh $d^{\prime{\prime}}$ cần tìm là: $-2x-y=0$