Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau $y=\sin x+\sqrt{2-\sin ^{2} x}$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y \geq 0; \forall x$ và $y^{2}=2+2 \sin x \sqrt{2-\sin ^{2} x}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$2\left|\sin x \sqrt{2-\sin ^{2} x}\right| \leq \sin ^{2} x+2-\sin ^{2} x=2$
Suy ra $0 \leq y^{2} \leq 4 \Rightarrow 0 \leq y \leq 2$
Tìm $m$ để hàm số $y=\sqrt{5 \sin 4 x-6 \cos 4 x+2 m-1}$ xác định với mọi $x$
Hàm số xác định với mọi $x$ $\Leftrightarrow 5 \sin 4 x-6 \cos 4 x \geq 1-2 m; \forall x$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số xác định với mọi $x$ $\Leftrightarrow 5 \sin 4 x-6 \cos 4 x \geq 1-2 m; \forall x$
Do $\min (5 \sin 4 x-6 \cos 4 x)=-\sqrt{61} \Rightarrow-\sqrt{61} \geq 1-2 m \Leftrightarrow m \geq \dfrac{\sqrt{61}+1}{2}$
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau $y=\dfrac{3 \sin 2 x+\cos 2 x}{\sin 2 x+4 \cos ^{2} x+1}$
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{y=\dfrac{3 \sin 2 x+\cos 2 x}{\sin 2 x+4 \cos ^{2} x+1}=\dfrac{3 \sin 2 x+\cos 2 x}{\sin 2 x+2 \cos 2 x+3}} \\ {\Leftrightarrow(y-3) \sin 2 x+(2 y-1) \cos 2 x=-3 y}\end{array}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow(y-3) \sin 2 x+(2 y-1) \cos 2 x=-3 y} \\ {\Leftrightarrow-3 y=(y-3) \sin 2 x+(2 y-1) \cos 2 x}\end{array}$
$\begin{array}{l}{\text { BCS }} \\ { \leq \sqrt{\left[(y-3)^{2}+(2 y-1)^{2}\right]\left(\sin ^{2} 2 x+\cos ^{2} 2 x\right)}=\sqrt{(y-3)^{2}+(2 y-1)^{2}}} \\ {\Leftrightarrow 9 y^{2} \leq(y-3)^{2}+(2 y-1)^{2}} \\ {\Leftrightarrow 4 y^{2}+10 y-10 \leq 0} \\ {\Leftrightarrow \dfrac{-5-3 \sqrt{5}}{4} \leq y \leq \dfrac{-5+3 \sqrt{5}}{4}}\end{array}$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{\sin 2 x+2 \cos 2 x+3}{2 \sin 2 x-\cos 2 x+4}$
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $2 \sin 2 x-\cos 2 x+4 \geq 4-\sqrt{5}>0 ;\forall x \in \mathbb{R}$
$y=\dfrac{\sin 2 x+2 \cos 2 x+3}{2 \sin 2 x-\cos 2 x+4} \Leftrightarrow(2 y-1) \sin 2 x-(y+2) \cos 2 x=3-4 y $
$\Rightarrow(2 y-1)^{2}+(y+2)^{2} \geq(3-4 y)^{2} \Leftrightarrow 11 y^{2}-24 y+4 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{11} \leq y \leq 2$
Suy ra $\min y=\dfrac{2}{11} ; \max y=2$
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{\sin ^{2} 2 x+3 \sin 4 x}{2 \cos ^{2} 2 x-\sin 4 x+2}$
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$y=\dfrac{6 \sin 4 x-\cos 4 x+1}{2 \cos 4 x-2 \sin 4 x+6}$ ( do $\cos 4 x-\sin 4 x+3>0 ; \forall x \in \mathbb{R}$ )
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow(6+2 y) \sin 4 x-(1+2 y) \cos 4 x=6 y-1} \\ {\Leftrightarrow(6+2 y)^{2}+(1+2 y)^{2} \geq(6 y-1)^{2} \Leftrightarrow 7 y^{2}-10 y-9 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{5-2\sqrt{22}}{7} \leq y \leq \dfrac{5+2\sqrt{22}}{7}}\end{array}$
Vậy $\max y=\dfrac{5+2\sqrt{22}}{7}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3(3 \sin x+4 \cos x +5 )^{2}+4(3 \sin x+4 \cos x+ 5 )+1$
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=3 \sin x+4 \cos x+ 5$
${\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} \le 25\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 25$
Nên $t=3 \sin x+4 \cos x+5(t \in[0 ; 10])$
Khi đó $y=3 t^{2}+4 t+1=f(t)$ với $t \in[0 ; 10]$
Ta có $\min f\left( t \right) = \min f\left( 0 \right) = 1$
Cho $x ; y \in\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ thỏa mãn $\cos 2 x+\cos 2 y+2 \sin (x+y)=2$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P=\dfrac{\sin ^{4} x}{y}+\dfrac{\cos ^{4} y}{x}$
Sử dụng bất đẳng thức $\dfrac{a^{2}}{m}+\dfrac{b^{2}}{n} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{m+n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\cos 2 x+\cos 2 y+2 \sin (x+y)=2 \Leftrightarrow \sin ^{2} x+\sin ^{2} y=\sin (x+y)$
Suy ra $x+y=\dfrac{\pi}{2}$
ta có: $P \geq \dfrac{\left(\sin ^{2} x+\sin ^{2} y\right)^{2}}{x+y}=\dfrac{2}{\pi}$ . Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\pi}{4}$
Do đó: $\min P=\dfrac{2}{\pi}$
Tìm $k$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{k \sin x+1}{\cos x+2}$ lớn hơn $-1$
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $y=\dfrac{k \sin x+1}{\cos x+2} \Leftrightarrow y \cos x-k \sin x+2 y-1=0$
$\Rightarrow y^{2}+k^{2} \geq(2 y-1)^{2} \Leftrightarrow 3 y^{2}-4 y+1-k^{2} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{3 k^{2}+1}}{3} \leq y \leq \dfrac{2+\sqrt{3 k^{2}+1}}{3}$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{3 k^{2}+1}}{3}>-1 \Leftrightarrow 5>\sqrt{3 k^{2}+1} \Leftrightarrow|k|<2 \sqrt{2}$
Tìm $m$ để các bất phương trình $\dfrac{3 \sin 2 x+\cos 2 x}{\sin 2 x+4 \cos ^{2} x+1} \leq m+1$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $y=\dfrac{3 \sin 2 x+\cos 2 x}{\sin 2 x+2 \cos 2 x+3}$
Do $\sin 2 x+2 \cos 2 x+3>0 \forall x \Rightarrow$ hàm số xác định trên $R$
$\Leftrightarrow(3-y) \sin 2 x+(1-2 y) \cos 2 x=3 y$
Suy ra $(3-y)^{2}+(1-2 y)^{2} \geq 9 y^{2} \Leftrightarrow 2 y^{2}+5 y-5 \leq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{-5- \sqrt{65}}{4} \leq y \leq \dfrac{-5+ \sqrt{65}}{4} \Rightarrow \max y=\dfrac{-5+ \sqrt{65}}{4}$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \dfrac{-5+ \sqrt{65}}{4} \leq m+1 \Leftrightarrow m \geq \dfrac{ \sqrt{65}-9}{4}$
Tìm $m$ để bất phương trình $\dfrac{4 \sin 2 x+\cos 2 x+17}{3 \cos 2 x+\sin 2 x+m+1} \geq 2$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$
Hàm số phải xác định trên R
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$3 \cos 2 x+\sin 2 x+m+1 \neq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow 3^{2}+1^{2}<(m+1)^{2} \Leftrightarrow m^{2}+2 m-9>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{m<-1-\sqrt{10}} \\ {m>-1+\sqrt{10}}\end{array}\right.} \\ {\bullet m>-1+\sqrt{10} \Rightarrow 3 \cos 2 x+\sin 2 x+m+1>0, \forall x \in \mathbb{R} }\end{array}$
Nên $\dfrac{4 \sin 2 x+\cos 2 x+17}{3 \cos 2 x+\sin 2 x+m+1} \geq 2 \Leftrightarrow 2 \sin 2 x-5 \cos 2 x \geq 2 m-15$
$\Leftrightarrow-\sqrt{29} \geq 2 m-15 \Leftrightarrow m \leq \dfrac{15-\sqrt{29}}{2}$ $\left( {2\sin 2x - 5\cos 2x \ge - \sqrt {29} \left( {BCS} \right)} \right)$
Suy ra $\sqrt{10}-1< m \leq \dfrac{15-\sqrt{29}}{2}$
$\bullet m<-1-\sqrt{10} \Rightarrow 3 \cos 2 x+\sin 2 x+m+1<0, \forall x \in \mathbb{R}$
Nên $\dfrac{4 \sin 2 x+\cos 2 x+17}{3 \cos 2 x+\sin 2 x+m+1} \geq 2 \Leftrightarrow 2 \sin 2 x-5 \cos 2 x \leq 2 m-15$
$\Leftrightarrow \sqrt{29} \leq 2 m-15 \Leftrightarrow m \geq \dfrac{15+\sqrt{29}}{2}$ (loại)
Vậy $\sqrt{10}-1< m \leq \dfrac{15-\sqrt{29}}{2}$ là những giá trị $m$ cần tìm.