Giá trị lớn nhất của hàm số $y=1-2 \cos x-\cos ^{2} x$ là
Miền giá trị của $-1 \leq \cos x \leq 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$y=1-2 \cos x-\cos ^{2} x=2-(\cos x+1)^{2}$
Mặt khác $-1 \leq \cos x \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq \cos x+1 \leq 2 \Rightarrow 0 \leq(\cos x+1)^{2} \leq 4$
Do đó $y=2-(\cos x+1)^{2} \leq 2-0=2$
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y=1-4 \sin ^{2} 2 x$
Miền giá trị của $0 \leq \sin ^{2} f(x) \leq 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $0 \leq \sin ^{2} 2 x \leq 1 \Rightarrow-3 \leq y \leq 1$
Tổng $\min y+\max y=-2$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y=\sqrt{3-2 \sin ^{2} 2 x}+4$
Miền giá trị của $0 \leq \sin ^{2} f(x) \leq 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\sqrt{3-2}+4 \leq \sqrt{3-2 \sin ^{2} 2 x}+4 \leq \sqrt{3-0}+4$
Nên $\min y=5, \max y=4+\sqrt{3}$
Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y=\dfrac{4}{1+2 \sin ^{2} x}$
Miền giá trị của $0 \leq \sin ^{2} f(x) \leq 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\begin{array}{l}{0 \leq 2 \sin ^{2} x \leq 2} \\ {\Rightarrow \dfrac{4}{3} \leq \dfrac{4}{1+2 \sin ^{2} x} \leq 4} \\ {\min y . \max y=\dfrac{16}{3}}\end{array}$
Giá trị lớn nhất của hàm số $y=3 \sin x+4 \cos x+1$
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxiki
$(a c+b d)^{2} \leq\left(c^{2}+d^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$(3 \sin x+4 \cos x)^{2} \leq\left(3^{2}+4^{2}\right)\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)=25$
$\Rightarrow-5 \leq 3 \sin x+4 \cos x \leq 5 \Rightarrow-4 \leq y \leq 6$
Vậy $\max y =6$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2 \sin ^{2} x+3 \sin 2 x-4 \cos ^{2} x+1$
Sử dụng công thức nhân đôi và công thức cộng trong lượng giác.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$y=1-\cos 2 x+3 \sin 2 x-2(1+\cos 2 x) +1$
$=3 \sin 2 x-3 \cos 2 x=3 \sqrt{2} \sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{4}\right)$
Suy ra $\min y = -3 \sqrt 2$
Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sin ^{2} x+3 \sin 2 x+3 \cos ^{2} x$
Sử dụng công thức hạ bậc và bất đẳng thức bunhiacopxki
$(a c+b d)^{2} \leq\left(c^{2}+d^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$y=\dfrac{1-\cos 2 x}{2}+3 \sin 2 x+\dfrac{3(1+\cos 2 x)}{2}=3 \sin 2 x+\cos 2 x+2$
Mà $-\sqrt{10} \leq 3 \sin 2 x+\cos 2 x \leq \sqrt{10} \Rightarrow 2-\sqrt{10} \leq y \leq 2+\sqrt{10}$
Suy ra $\max y=2+\sqrt{10} $
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau $y=4 \sin 6 x+3 \cos 6 x$
Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki
$(a c+b d)^{2} \leq\left(c^{2}+d^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{(4 \sin 6 x+3 \cos 6 x)^{2} \leq\left(4^{2}+3^{2}\right)(\sin 6 x+\cos 6 x)^{2}=25} \\ {\Leftrightarrow-5 \leq 4 \sin 6 x+3 \cos 6 x \leq 5}\end{array}$
Vậy tổng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là : 0
Giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y=\tan ^{2} x-4 \tan x+1$
Đặt t = $\tan x$ ;
Ghép về bình phương của 1 tổng (hiệu)
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=\tan x$ ; ta có : $t^2-4t+1=(t-2)^2-3 \geq -3$ .
$y=(\tan x-2)^{2}-3 \geq-3$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-3$ khi $\tan x=2$
Gọi M,m là giá trị lớn nhất và giá trị của hàm số $y=\sqrt{3} \cos x+\sin x+4$ . Tính $\dfrac{M}{m}$
Chuyển về hàm sin
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $y=2 \sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+4$
Vậy $\mathrm{m}=\min y=2 ; \mathrm{M}=\max y=6 \Rightarrow \dfrac{M}{m}=3$
Hàm số $y=\dfrac{2-\sin 2 x}{\sqrt{m \cos x+1}}$ có tập xác định khi
Hàm số phải xác định với mọi x
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Hàm số có tập xác định $R$ khi $m \cos x+1>0, \forall x(*)$
Khi $m=0$ thì $(*)$ luôn đúng nên nhận giá trị m=0
Khi $m>0$ thì $m \cos x+1 \in[-m+1 ; m+1]$ nên $(*)$ đúng $-m+1>0 \Rightarrow 0< m <1$
Khi $m<0$ thì $m \cos x+1 \in[m+1 ;-m+1]$ nên $(*)$ đúng $m+1>0 \Rightarrow-1< m <0$
Vậy giá trị m thỏa mãn $-1< m<1$
Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\dfrac{1-\cos 3 x}{1+\sin 4 x}}$ là:
Trong căn bậc chẵn phải không âm và mẫu số phải khác 0
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $1-\cos 3 x \geq 0; \forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số xác định khi $\Leftrightarrow 1+\sin 4 x \neq 0 $
$\begin{array}{l}{\Leftrightarrow \sin 4 x \neq-1 \Leftrightarrow x \neq-\dfrac{\pi}{8}+k \dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}} \\ {\text { TXD: } D=\mathbb{R} \backslash\left\{-\dfrac{\pi}{8}+k \dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}}\end{array}$
Khẳng định nào sau đây là sai ?
Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn $f(-x)=f(x)$
Hàm số lẻ là hàm số thỏa mãn $f(-x)=-f(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hàm số $y=f(x)=\sin x+2$
$\mathrm{TXD} : D=\mathbb{R}$
Chọn $\pm \dfrac{\pi}{2} \in \mathbb{R}$
Ta có: $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=1 \neq \pm f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\pm 3$ nên hàm số $y=f(x)=\sin x+2$ là hàm số không chẵn không lẻ
Hàm số $y=\tan x+2 \sin x$ là:
Hàm số chẵn là hàm số thỏa mãn $f(-x)=f(x)$
Hàm số lẻ là hàm số thỏa mãn $f(-x)=-f(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét hàm số $y=f(x)=\tan x+2 \sin x$
Tập xác định $D=\mathbb{R} \backslash\left\{\dfrac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$
$\forall x \in D \Rightarrow-x \in D$ và $f(-x)=\tan (-x)+2 \sin (-x)=-f(x)$
Vậy $y=\tan x+2 \sin x$ là hàm số lẻ trên tập xác định của nó.
Chu kì của hàm số $y=\cot x$ là :
Chu kì của hàm số là khi thay đổi biến thành giá trị liền kề mà không làm thay đổi giá trị của hàm số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Tập xác định của hàm số $D=\mathbb{R} \backslash\{k \pi, k \in \mathbb{Z}\}$
Với mọi $x \in D, k \in \mathbb{Z}$ ta có $x-k \pi \in D ; x+k \pi \in D, \cot (x+k \pi)=\cot x$
Vậy $y=\cot x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$ là số dương nhỏ nhất $\cot (x+k \pi)=\cot x$
Giá trị của hàm số nào dưới đây khác dấu với giá trị của các hàm số còn lại trên khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2} ; \pi \right)$ ?
Xác định giá trị của các hàm số trên khoảng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l} \sin x > 0;\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\\ \cos x,\tan x,\cot x < 0;\forall x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right) \end{array}$
Vậy hàm số $y=\sin x$ khác dấu với các hàm số còn lại
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1+\sqrt{2+\sin 2 x}$ là
Miền giá trị của $-1 \leq \sin 2 x \leq 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\begin{array}{l} \sin 2x \ge - 1 \Leftrightarrow 2 + \sin 2x \ge 1\\ \Rightarrow 1 + \sqrt {2 + \sin 2x} \ge 2 \end{array}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là : 2
Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2 \sin ^{2} x+\cos ^{2} 2 x$
Sử dụng công thức nhân đôi và có $0 \le {\sin ^2}x \le 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Đặt $t=\sin ^{2} x, 0 \leq t \leq 1 \Rightarrow \cos 2 x=1-2 t$
$\Rightarrow y=2 t+(1-2 t)^{2}=4 t^{2}-2 t+1=\left(2 t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}$
Do $0 \leq t \leq 1 \Rightarrow-\dfrac{1}{2} \leq 2 t-\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{3}{2} \Rightarrow 0 \leq\left(2 t-\dfrac{1}{2}\right)^{2} \leq \dfrac{9}{4} \Rightarrow \dfrac{3}{4} \leq y \leq 3$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là: 3
Tìm $m$ để $2{\cos ^2}x + \cos 2x - 1 \ge m + 2$ luôn đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$
Biểu thức luôn đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ khi thay mọi giá trị của $x$ thì biểu thức đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\begin{array}{l}{2 \cos ^{2} x+\cos 2 x-1 \geq m+2 ; \forall x \in \mathbb{R}} \\ {\Leftrightarrow 2 \cos 2 x-2 \geq m ; \forall x \in \mathbb{R}} \\ {\Leftrightarrow m \leq-4}\end{array}$
Giá trị lớn nhất của hàm số $y=1-\sqrt{2 \cos ^{2} x+1}$
Có $0 \le {\cos ^2}x \le 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$1 \leq \sqrt{2 \cos ^{2} x+1} \leq \sqrt{3} \Rightarrow 1-\sqrt{3} \leq y \leq 0$