Giới hạn $\lim \dfrac{(2-5 n)^{3}(n+1)^{2}}{2-25 n^{5}}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim \dfrac{(2-5 n)^{3}(n+1)^{2}}{2-25 n^{5}}=\lim \dfrac{\dfrac{(2-5 n)^{3}}{n^{3}} \cdot \dfrac{(n+1)^{2}}{n^{2}}}{\dfrac{2-25 n^{5}}{n^{5}}}=\lim \dfrac{\left(\dfrac{2}{n}-5\right)^{3} \cdot\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2}}{\dfrac{2}{n^{5}}-25}=\dfrac{(-5)^{3} \cdot 1^{2}}{-25}=5$
Đáp án C
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u_{1}=2} \\ {u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+1}{2},(n \geq 1)}\end{array}\right.$ . Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{aligned} u_{2}=& \dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2}=\dfrac{2^{1}+1}{2^{1}} \\ u_{3}=& \dfrac{\dfrac{3}{2}+1}{2}=\dfrac{5}{4}=\dfrac{2^{2}+1}{2^{2}} \\ u_{4}=\dfrac{\dfrac{5}{4}+1}{2} &=\dfrac{9}{8}=\dfrac{2^{3}+1}{2^{3}} \end{aligned}$
Dễ thấy $u_{n+1}=\dfrac{2^{n}+1}{2^{n}}, \forall n=1 ; 2 ; \ldots \quad(*)$ (chứng minh bằng phương pháp quy nạp)
Từ (*) ta có $u_{n+1}-u_{n}=1+\dfrac{1}{2^{n}}-\left(1+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)$
$=\dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{1}{2^{n+1}}<0 \forall n=1,2, \ldots \Rightarrow$ $(u_n)$ là dãy giảm và $\lim u_{n}=\lim \left(1+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)=1$
Đáp án A
Cho dãy số $u_{n}=\dfrac{(2 n+1)(1-3 n)}{\sqrt[3]{n^{3}+5 n-1}}$. Khi đó $\lim u_{n}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{\lim u_{n}=\lim \dfrac{(2 n+1)(1-3 n)}{\sqrt[3]{n^{3}+5 n-1}}=\lim \dfrac{-6 n^{2}-n+1}{\sqrt[3]{n^{3}+5 n-1}}=\lim \dfrac{\dfrac{-6 n^{2}-n+1}{n^{2}}}{\sqrt[3]{\dfrac{n^{3}+5 n-1}{n^{6}}}}} \\ {=\lim \dfrac{-6-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}{\sqrt[3]{\dfrac{1}{n^{3}}+\dfrac{5}{n^{5}}-\dfrac{1}{n^{6}}}}=-\infty}\end{array}$
Đáp án A
Cho dãy số $u_{n}=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right) \cdot\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right) \dots\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$ . Khi đó $\lim u_{n}$ bằng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{u_{n}=\left(1-\dfrac{1}{2^{2}}\right) \cdot\left(1-\dfrac{1}{3^{2}}\right) \ldots\left(1-\dfrac{1}{n^{2}}\right)=\left(\dfrac{2^{2}-1}{2^{2}}\right) \cdot\left(\dfrac{3^{2}-1}{3^{2}}\right) \ldots\left(\dfrac{n^{2}-1}{n^{2}}\right)} \\ {=\dfrac{(1.3) \cdot(2.4) \cdot(3.5) \cdot(4.6) \ldots[(n-1) \cdot(n+1)]}{2^{2} \cdot 3^{2} \ldots n^{2}}=\dfrac{n+1}{2 n}} \\ {\Rightarrow \lim u_{n}=\lim \dfrac{n+1}{2 n}=\lim \dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{2}=\dfrac{1}{2}}\end{array}$
Đáp án B
Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{c}{u_{1}=\dfrac{1}{2}} \\ {u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_{n}}, \quad(n \geq 1)}\end{array}\right.$. Khi đó mệnh đề nào sau đây đúng ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\left(u_{n}\right) :\left\{\begin{array}{c}{u_{1}=\dfrac{1}{2}} \\ {u_{n+1}=\dfrac{1}{2-u_{n}},(n \geq 1)}\end{array}\right.$
$\begin{array}{l}{u_{2}=\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{2+1}} \\ {u_{3}=\dfrac{1}{2-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{3+1}}\end{array}$
Dễ dàng thấy $u_{n}=\dfrac{n}{n+1}, \quad \forall n=1 ; 2 ; \dots$ chứng minh đơn giản bằng phương pháp quy nạp
Ta có $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{n^{2}+2 n+1-n^{2}-2 n}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}>0$
Suy ra $\left(u_{n}\right)$ là dãy tăng và $\lim u_{n}=\lim \dfrac{n}{n+1}=\lim \dfrac{1}{1+1}=1 \Rightarrow\left(u_{n}\right)$ là dãy tăng tới 1 khi $n \rightarrow+\infty$
Đáp án B
Tìm giới hạn của dãy số $u_{n}=q+2 q^{2}+\ldots+n q^{n}$ với $|q|<1$
Sử dụng công thức cấp số nhân lùi vô hạn để rút gọn dãy số rồi tính giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $u_{n}-q u_{n}=q+2 q^{2}+\ldots+n q^{n}-q \cdot\left(q+2 q^{2}+\ldots+n q^{n}\right)=q+q^{2}+q^{3}+\ldots+q^{n}-n q^{n+1}$
Do $q, q^{2}, q^{3}, \ldots \ldots, q^{n}$ là cấp số nhân có công bội q
$\begin{array}{l}{\Rightarrow u_{n}-q u_{n}=(1-q) u_{n}=q \cdot \dfrac{1-q^{n}}{1-q}-n q^{n+1}} \\ {\Rightarrow u_{n}=q \dfrac{1-q^{n}}{(1-q)^{2}}-n q^{n+1}}\end{array}$
Vì $|q|<1$ nên $\lim q^{n}=\lim q^{n+1}=0$
Vậy $\lim u_{n}=\lim \left[\dfrac{q\left(1-q^{n}\right)}{(1-q)^{2}}-n q^{n+1}\right]=\dfrac{q}{(1-q)^{2}}$
Đáp án C
Cho số thực a,b thỏa mãn $|a|<1 ;|b|<1$. Tìm giới hạn $I=\lim \dfrac{1+a+a^{2}+\ldots+a^{n}}{1+b+b^{2}+\ldots+b^{n}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $1, a, a^{2}, \ldots, a^{n}$ là một cấp số nhân có công bội a $\Rightarrow 1+a+a^{2}+\ldots+a^{n}=\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}$
Tương tự $1+b+b^{2}+\ldots+b^{n}=\dfrac{1-b^{n+1}}{1-b}$
$\Rightarrow \lim I=\lim \dfrac{\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\dfrac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\lim \left(\dfrac{1-a^{n+1}}{1-a} \cdot \dfrac{1-b}{1-b^{n+1}}\right)=\lim \left(\dfrac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}} \cdot \dfrac{1-b}{1-a}\right)$$=\dfrac{1-b}{1-a}$
Đáp án C
Cho dãy số $u_{n}=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\ldots+\dfrac{1}{(2 n-1) \cdot(2 n+1)}$. Khi đó $\lim u_{n}$ bằng
Rút gọn hàm số rồi tính giới hạn
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{u_{n}=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\ldots+\dfrac{1}{(2 n-1) \cdot(2 n+1)}} \\ {=\dfrac{1}{2} \cdot\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\ldots+\dfrac{1}{2 n-1}-\dfrac{1}{2 n+1}\right)} \\ {=\dfrac{1}{2} \cdot\left(1-\dfrac{1}{2 n+1}\right)} \\ {\Rightarrow \lim u_{n}=\lim \dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2 n+1}\right)=\dfrac{1}{2}}\end{array}$
Đáp án A
Giá trị của $C=\lim \dfrac{\sqrt[4]{3 n^{3}+1}-n}{\sqrt{2 n^{4}+3 n+1}+n}$ bằng :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ ta có được $C=\lim \dfrac{\sqrt[4]{\dfrac{3}{n^{5}}+\dfrac{1}{n^{8}}}-\dfrac{1}{n}}{\sqrt{2+\dfrac{3}{n^{3}}+\dfrac{1}{n^{4}}}+\dfrac{1}{n}}=0$
Đáp án C
Tính giới hạn dãy số $u_{n}=\dfrac{1}{2 \sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\ldots+\dfrac{1}{(n+1) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $\dfrac{1}{(k+1) \sqrt{k}+k \sqrt{k+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{k(k+1)}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$
$\Rightarrow u_{n}=\dfrac{1}{2 \sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\ldots+\dfrac{1}{(n+1) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$Suy ra $u_{n}=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \Rightarrow \lim u_{n}=\lim \left(1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1$
Đáp án D