Hướng dẫn giải (chi tiết)

Các dãy $\left(u_{n}\right),\left(v_{n}\right),\left(x_{n}\right)$ đều là các dãy số không có giới hạn.

Dãy $\left(y_{n}\right)$ mà $y_{n}=\dfrac{1}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}$ có giới hạn $\lim y_{n}=\dfrac{1}{2}$ nên D đúng.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\lim \left(u_{n}. v_{n}\right)=\lim \left(\dfrac{1}{n} \cdot n^{2}\right)=\lim n=+\infty$.

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $u_{1}=\dfrac{1}{2} ; q=\dfrac{1}{2} \Rightarrow S=\dfrac{u_{1}}{1-q}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=1$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\lim n=+\infty, \lim \sqrt{n}=+\infty, \lim \sqrt[3]{n}=+\infty, \lim \dfrac{1}{n}=0$.

Vậy chỉ có D sai.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Vì $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}$ nên đây là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân công bội $q=\dfrac{1}{2}$.

Theo công thức tính tổng $S_{n}=\dfrac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}$, ta được: $S_{n}=\dfrac{2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}=4\left(1-\dfrac{1}{2^{n}}\right)$

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có: $\lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=\sqrt{3}-2 \sqrt{3}=-\sqrt{3}<0$.

Đáp án: C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Đáp án A: $\lim \left(u_{n}-2 v_{n}\right)=\dfrac{5}{3}-2 \cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)=3 \neq \dfrac{1}{3}$

Đáp án B: $\lim \left(2 u_{n}-v_{n}\right)=2 \cdot \dfrac{5}{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=4$ nên B đúng

Đáp án C: $\lim \left(u_{n}-v_{n}\right)=\dfrac{5}{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{7}{3} \neq 1$

Đáp án D: $\lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=\dfrac{5}{3}+\left(-\dfrac{2}{3}\right)=1 \neq \dfrac{1}{3}$

Đáp án: B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả sử $\lim u_{n}=L, \lim v_{n}=M$ và c là một hằng số. Khi đó:

$\lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=L+M, \lim \left(u_{n}-v_{n}\right)=L-M, \lim \left(u_{n} \cdot v_{n}\right)=L . M, \lim \left(c . u_{n}\right)=c . L$

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Định lý 1: Giả sử $\lim u_{n}=L$. Khi đó:

$i)$ $\lim \left|u_{n}\right|=|L| \text { và } \lim \sqrt[3]{u_{n}}=\sqrt[3]{L}$.

$ii)$ Nếu $u_{n} \geq 0$ với mọi n thì $L \geq 0$ và $\lim \sqrt{u_{n}}=\sqrt{L}$

Từ định lý trên ta thấy chỉ có D đúng.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Dễ thấy các đáp án A, B, C đúng theo các định lý về dãy số có giới hạn hữu hạn.

Đáp án: D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Giả sử $\lim u_{n}=L, \lim v_{n}=M$. Khi đó $\lim \left(u_{n}+v_{n}\right)=L+M$.

Đáp án: A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có : $\left|\dfrac{\sin (n !)}{n^{2}+1}\right| \leq \dfrac{1}{n^{2}+1}$ mà $\lim \dfrac{1}{n^{2}+1}=0$

Đáp án A

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{\lim \left(\sqrt{n^{2}-n}-n\right)=\lim \dfrac{\left(\sqrt{n^{2}-n}-n\right) \cdot\left(\sqrt{n^{2}-n}+n\right)}{\sqrt{n^{2}-n}+n}} \\ {=\lim \dfrac{n^{2}-n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}-n+n}}=\lim \dfrac{-n}{\sqrt{n^{2}-n}+n}=\lim \dfrac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}+1}}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}}\end{array}$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\lim \dfrac{2 n^{2}-n+4}{\sqrt{2 n^{4}-n^{2}+1}}=\lim \dfrac{2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n^{2}}}{\sqrt{2-\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{4}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{\lim \left(\sqrt{n^{2}-n+1}-\sqrt{n^{2}+1}\right)} \\ {=\lim \dfrac{\left(\sqrt{n^{2}-n+1}-\sqrt{n^{2}+1}\right)\left(\sqrt{n^{2}-n+1}+\sqrt{n^{2}+1}\right)}{\sqrt{n^{2}-n+1}+\sqrt{n^{2}+1}}} \\ {=\lim \dfrac{n^{2}-n+1-n^{2}-1}{\sqrt{n^{2}-n+1}+\sqrt{n^{2}+1}}} \\ {=\lim \frac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n^{2}}}}} \\ {=-\dfrac{1}{2}}\end{array}$

Đáp án B

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{K=\lim \left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}-1}-3 \sqrt{4 n^{2}+n+1}+5 n\right)} \\ {=\lim \left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}-1}-n\right)-3 \lim \left(\sqrt{4 n^{2}+n+1}-2 n\right)}\end{array}$

Ta có :

$\begin{array}{l}{A=\lim \left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}-1}-n\right)} \\ {=\lim \dfrac{\left(\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}-1}-n\right)\left(\sqrt[3]{\left(n^{3}+n^{2}-1\right)^{2}}+\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}-1}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(n^{3}+n^{2}-1\right)^{2}}+\sqrt[3]{n^{3}+n^{2}-1}+1}} \\ {=\lim \dfrac{1-\dfrac{1}{n^{2}}}{\sqrt[3]{\left(1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^{3}}\right)^{2}}+\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^{3}}}+1}} \\ {=\dfrac{1}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}}\end{array}$

$\begin{array}{l}{B=\lim \left(\sqrt{4 n^{2}+n+1}-2 n\right)} \\ {=\lim \dfrac{\left(\sqrt{4 n^{2}+n+1}-2 n\right)\left(\sqrt{4 n^{2}+n+1}+2 n\right)}{\sqrt{4 n^{2}+n+1}+2 n}} \\ {=\lim \dfrac{4 n^{2}+n+1-4 n^{2}}{\sqrt{4 n^{2}+n+1}+2 n}} \\ {=\lim \dfrac{n+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{4+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}}+2}} \\ {=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{4}}\end{array}$

$\Rightarrow K=A-3 B=\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{5}{12}$

Đáp án C

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{B=\lim \left(\sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}}-n\right)\\ =\lim \dfrac{\left(\sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}}-n\right)\left(\sqrt[3]{\left(n^{3}+9 n^{2}\right)^{2}}+n \sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}}+n^{2}\right)}{\sqrt[3]{\left(n^{3}+9 n^{2}\right)^{2}}+n \sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}}+n^{2}}} \\ {=\lim \dfrac{n^{3}+9 n^{2}-n^{3}}{\sqrt[3]{\left(n^{3}+9 n^{2}\right)^{2}}+n \sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}}+n^{2}}=\lim _{3} \dfrac{9 n^{2}}{\sqrt[3]{\left(n^{3}+9 n^{2}\right)^{2}}+n \sqrt[3]{n^{3}+9 n^{2}}+n^{2}}} \\ {=\lim \dfrac{9}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{9}{n}\right)^{2}}+\sqrt{1+\dfrac{9}{n}}+1}=\dfrac{9}{1+1+1}=3}\end{array}$

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

$\begin{array}{l}{\lim \dfrac{2^{n+1}-3.5^{n}+5}{3.2^{n}+9.5^{n}}=\lim \dfrac{2.2^{n}-3.5^{n}+5}{3.2^{n}+9.5^{n}}=\lim \dfrac{2 \cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}-3+5 \cdot\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}}{3 \cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}+9}} \\ {=\dfrac{-3}{9}=-\dfrac{1}{3}}\end{array}$

Đáp án D

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Ta có : $\left|\dfrac{(-1)^{n}}{n(n+1)}\right|=\dfrac{1}{n(n+1)}<\dfrac{1}{n . n}=\dfrac{1}{n^{2}}$ mà $\lim \dfrac{1}{n^{2}}=0$ nên $\lim \dfrac{(-1)^{n}}{n(n+1)}=0$

Đáp án D