Cho $\left(u_{n}\right)$ là một cấp số nhận công bội $q=\dfrac{1}{3}$ và số hạng đầu $u_{1}=2$. Đặt $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}$ .Giá trị $\lim S_{n}$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $0 < q=\dfrac{1}{3} < 1$ nên
$\begin{array}{l}{S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}=\dfrac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}} \\ {\Rightarrow \lim S_{n}=\lim \dfrac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\dfrac{u_{1}}{1-q}=\dfrac{2}{1-\dfrac{1}{3}}=3}\end{array}$
Đáp án: D
Dãy $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn $-\infty$ ta viết là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn $-\infty$ nếu mọi số hạng của dãy số đều nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.
Khi đó, ta viết $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}\right)=-\infty$, viết tắt là $\lim \left(u_{n}\right)=-\infty \text { hoặc } \lim u_{n}=-\infty$.
Đáp án: B
Chọn khẳng định đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn $+\infty$ nếu mọi số hạng của dãy số đều lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Đáp án: B
Giả sử $\lim u_{n}=L$ . Khi đó:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\lim u_{n}=L$. Khi đó $\lim \left|u_{n}\right|=|L|$.
Đáp án: D
Cho cấp số nhận lùi vô hạn $\left(u_{n}\right)$ công bội $q$. Đặt $S=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots$ thì :
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}+\ldots=\dfrac{u_{1}}{1-q}$.
Đáp án: A
Cho $\left(u_{n}\right)$ là dãy số có giới hạn bằng $1-\sqrt{2}$. Giới hạn của dãy số $\lim | u_{n}|$ là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Do $\lim u_{n}=1-\sqrt{2}$ nên $\lim \left|u_{n}\right|=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$.
Đáp án: B
Dãy số $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn là số thực L nếu:
Ta nói dãy số $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn là số thực L nếu $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}-L\right)=0$.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Định nghĩa: Ta nói dãy số $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn là số thực L nếu $\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}-L\right)=0$.
Đáp án: A
Chọn kết luận không đúng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta thấy: $\dfrac{1}{2^{n}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} ; \dfrac{1}{3^{n}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}, \dfrac{1}{(0,5)^{n}}=\left(\dfrac{1}{0,5}\right)^{n}=2^{n}, \dfrac{1}{(\sqrt{2})^{n}}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}$
Mà $\dfrac{1}{2}<1, \dfrac{1}{3}<1, \dfrac{1}{\sqrt{2}}<1$ nên A, B, D đúng.
Vì 2>1 nên $\lim 2^{n}=+\infty$ nên C sai.
Đáp án: C
Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn $L=-\dfrac{1}{2}$. Chọn kết luận đúng:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Vì $\lim u_{n}=-\dfrac{1}{2} \text { nên } \lim \left(u_{n}+\dfrac{1}{2}\right)=0$
Đáp án: B
Cho hai dãy số $\left(u_{n}\right),\left(v_{n}\right)$ thỏa mãn $\left|u_{n}\right| \leq v_{n}$ với mọi n và $\lim v_{n}=0$ thì:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Định lý: Cho hai dãy số $\left(u_{n}\right) \text { và }\left(v_{n}\right)$ . Nếu $\left|u_{n}\right| \leq v_{n}$ với mọi n và $\lim v_{n}=0 \text { thì } \lim u_{n}=0$.
Đáp án: A
Cho $\boldsymbol{n} \in \boldsymbol{N}^{*}$, nếu $|q|<1$ thì:
Định lý: Nếu $|q|<1 \text { thì } \lim q^{n}=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Định lý: Nếu $|q|<1 \text { thì } \lim q^{n}=0$
Đáp án: A
Cho hai dãy số $\left(u_{n}\right),\left(v_{n}\right)$ với $u_{n}=\dfrac{1}{n}, v_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n}$ . Biết $\left|\dfrac{(-1)^{n}}{n}\right| \leq \dfrac{1}{n}$. Chọn kết luận không đúng?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dễ thấy $\lim u_{n}=0$ nên A đúng.
Do $\left|\frac{(-1)^{n}}{n}\right| \leq \dfrac{1}{n} \text { và } \lim \dfrac{1}{n}=0$ nên $\lim \dfrac{(-1)^{n}}{n}=0 \text { hay } \lim v_{v}=0$.
Do đó cả B, C đúng.
Đáp án: D
Dãy số nào dưới đây không có giới hạn 0?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Các dãy số có giới hạn 0 là: $u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}, u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}, u_{n}=0$
Dãy số $\left(u_{n}\right)$ ở đáp án C có $\lim u_{n}=\lim \dfrac{\sqrt[3]{n}}{2}=+\infty$.
Đáp án: C
Biết $\lim u_{n}=+\infty$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\lim \dfrac{u_{n}+1}{3 u_{n}^{2}+5}=\lim \dfrac{u_{n}^{2}\left(\dfrac{1}{u_{n}}+\dfrac{1}{u_{n}^{2}}\right)}{u_{n}^{2}\left(3+\dfrac{5}{u_{n}^{2}}\right)}=\lim \dfrac{\dfrac{1}{u_{n}}+\dfrac{1}{u_{n}^{2}}}{3+\dfrac{5}{u_{n}^{2}}}=\dfrac{0+0}{3+0}=0$.
Đáp án: B
Chọn khẳng định đúng.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta nói dãy số $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Đáp án: A
Biết $\lim u_{n}=3$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\lim \dfrac{3 u_{n}-1}{u_{n}+1}=\dfrac{3 \lim u_{n}-1}{\lim u_{n}+1}=\dfrac{3.3-1}{3+1}=\dfrac{8}{4}=2$.
Đáp án: C
Dãy số nào sau đây có giới hạn 0?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số $\left(u_{n}\right)$ mà $u_{n}=\dfrac{2}{n}$ có giới hạn 0.
Đáp án: B
Kí hiệu nào sau đây không dùng kí hiệu cho dãy số có giới hạn 0?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dãy số $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn 0 nên ta có thể viết:
$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty}\left(u_{n}\right)=0$, viết tắt là $\lim u_{n}=0$. suy ra $\lim \left(|u_{n}|\right)=0$
Đáp án: C
Giá trị $\lim \left(5 n-n^{2}+1\right)$ bằng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có : $5 n-n^{2}+1=n^{2}\left(-1+\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\right)$
Vì $\lim n^{2}=+\infty$ và $\lim \left(-1+\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\right)=-1<0$ nên $\lim \left(5 n-n^{2}+1\right)=-\infty$
Đáp án B
Trong các giớn hạn sau giới hạn nào bằng -1?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\lim \dfrac{2 n^{2}-3}{-2 n^{2}-1}=\lim \dfrac{2-\dfrac{3}{n^{2}}}{-2-\dfrac{1}{n^{2}}}=\dfrac{2}{-2}=-1$
Đáp án B