Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2020} \right) + x$. Tính $f\'(1)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có
$\begin{array}{l}\nf\'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 2020} \right) + x - 1}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 2020} \right) + 1} \right] = 2019! + 1\n\end{array}$
Đáp án C
Cho hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{a x^{2}+b x+1} & {k h i \quad x \geq 0} \\ {a x-b-1} & {k h i \quad x<0}\end{array}\right.$. Khi hàm số có đạo hàm tại $x=0$ . Tính $T=a+2 b$
Để hàm số có đạo hàm tại điểm $x=x_0$ thì hàm số phải liên tục tại $x=x_0$ và $f\'(x_0^-)=f\'(x_0^+)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $f(0)=1$
Để hàm số có đạo hàm tại $x=0$ thì hàm số phải liên tục tại $x=0$ nên
$f(0)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$ suy ra $-b-1=1 \Leftrightarrow b=-2$
Khi đó $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{a x^{2}-2 x+1, x \geq 0} \\ {a x+1, x<0}\end{array}\right.$
Xét $\begin{array}{l}{\text { +) } \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{a x^{2}-2 x+1-1}{x}} \ {=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}}(a x-2)=-2} \\ {\text { +) } \lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \dfrac{a x+1-1}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}(a)=a}\end{array}$
Hàm số có đạo hàm tại $x=0$ thì $a=-2$
Đáp án C
Cho hàm số $f\left( x \right) = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + 2008} \right)$. Tính $f\'(-1004)$
- Theo định nghĩa đạo hàm $f\'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có theo định nghĩa đạo hàm
$\begin{array}{l}\nf\'\left( { - 1004} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1004} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1004} \right)}}{{x + 1004}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1004} \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + 2018} \right) - 0}}{{x + 1004}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1004} x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)...\left( {x + 1003} \right).\left( {x + 1005} \right)...\left( {x + 2008} \right) = {\left( {1004!} \right)^2}\n\end{array}$
Đáp án D
Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)...\left( {{x^2} - 2020} \right)}}$. Giá trị của $f\'(0)$
Theo định nghĩa đạo hàm ta có $f\'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo định nghĩa đạo hàm ta có:
$f\'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{x}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)...\left( {{x^2} - 2020} \right)}} - 0}}{{x - 0}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)..\left( {{x^2} - 2020} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)..\left( { - 2020} \right)}} = \dfrac{1}{{2020!}}$
Đáp án C
Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm chỉ ra $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + x + \left| {x + 1} \right|}}{x}$ tại $x=-1$
- Hàm số có đạo hàm tại điểm nào đó thì phải liên tục tại điểm đó và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0} + } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 0$ suy ra hàm số liên tục tại điểm $x=-1$
$\begin{array}{l}\n\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 0\\\n\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\n\end{array}$
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x=-1$
Đáp án D
Tìm $a,b$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\na{x^2} + bx + 1\\\na\sin x + b\cos x\n\end{array} \right.$ có đạo hàm tại điểm $x_0=0$
+, Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại $x=0$
+, Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa
+, Hàm số có đạo hàm tại $x=0<=>\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} < = > a = 1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Để đạo hàm có hàm số tại $x=1$ thì hàm số phải liên tục tại $x=1$
Ta có: $f(0) = 1$
$\begin{array}{l}\n\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (a{x^2} + bx + 1) = 1 = f(0)\\\n\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (a\sin x + b\cos x) = b\n\end{array}$
Để hàm số liện tục tại $x=1$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0) < = > b = 1$
Khi đó , ta có:
$\begin{array}{l}\nf\'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\\\n\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{a{x^2} + x + 1 - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (ax + 1) = 1\\\n\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{a\sin x + \cos x - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{2a\sin \frac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2} - 2{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{\dfrac{x}{2}}}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos \dfrac{x}{2} - 2\sin \dfrac{x}{2}} \right) = a\n\end{array}$
Để tồn tại $f\'(0) < = > \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} < = > a = 1$
Tìm $a,b$ để hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\\\nax + b\n\end{array} \right.$có đạo hàm tại điểm $x=0$
+, Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại $x=0$
+, Sử dụng công thức tính đạo hàm bằng định nghĩa
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(0);\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b$
Hàm số liên tục tại $x = 0 < = > b = 1$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = - 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} a = a$
Hàm số có đạo hàm tại điểm $x = 0 < = > a = - 1$
Vậy : $a=-1;b=1$
Trên đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{{x - 1}}$ có điểm $M$ sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng $2$. Tọa độ $M$ là
+,Viết phương trình tiếp tuyến tại M cho giao với 2 trục tọa độ , tìm được 2 điểm đó
+,Thay vào diện tích tam giác từ đó tìm được điểm M
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y\' = - \dfrac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}$ . Lấy điểm $M({x_0};{y_0}) \in (C)$
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$ là : $y = - \dfrac{1}{{{{({x_0} - 1)}^2}}}(x - {x_0}) + \dfrac{1}{{{x_0} - 1}}(\Delta )$
Giao với trục hoành: $(\Delta ) \cap Ox = A(2{x_0} - 1;0)$
Giao với trục tung: $(\Delta ) \cap Oy = B\left( {0;\dfrac{{2{x_0} - 1}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}}} \right)$
${S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB < = > 4 = {\left( {\dfrac{{2{x_0} - 1}}{{{x_0} - 1}}} \right)^2} < = > {x_0} = \dfrac{3}{4}$
Vậy : Giá trị điểm $M$ là $M(\dfrac{3}4;-4)$
Cho hàm số $\left\{ \begin{array}{l}\n\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\\\n{x^2} + ax + b\n\end{array} \right.$. Tìm $a;b$ để hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$.
Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ ta xét hàm số liên tục tại điểm khác 0 và tại 0
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Với $x \ne 0$ ta luôn có đạo hàm
Để hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải có đạo hàm tại $x=0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = b = > b = 1$
Để hàm số liên tục tại $x=0=>b=1$
Xét: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} - 1}}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \dfrac{{a{x^2} + ax + b - 1}}{x}=a$
$=>a=0$
Vậy: $a=0;b=1$
Cho hàm số $y=2x^3-3x^2+1$ có đồ thị $(C)$. Xét điểm $A_1$ có hoành độ $x_1=1$ thuộc $(C)$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại $A_1$ cắt $(C)$ tại điểm thứ hai $A_2 \ne A_1$ có hoành độ $x_2$ .Tiếp tuyến của $(C)$ tại $A_2$ cắt $(C)$ tại điểm thứ hai $A_3 \ne A_2$ có hoành độ $x_3$ . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của $(C)$ tại $A_{n-1}$ cắt $(C)$ tại điểm thứ hai $A_n \ne A_{n-1}$ có hoành độ $x_n$ .Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để $x_n > 5^{100}$
Viết phương trình hoành độ giao điểm tại $A_k$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $x_k=a$ => Tiếp tuyến tại $A_k$ có phương trình hoành độ giao điểm:
$2x^3-3x^2+1=2a^3-3a^2+1+(6a^2-6a)(x-a)\\<=>(x-a)^2(2x+4a-3)=0<=>x_{k+1}=-2x_k+\dfrac{3}2$
Vậy : $\left\{ \begin{array}{l}\n{x_1} = 1\\\n{x_{n + 1}} = - 2{x_n} + \dfrac{3}{2}\n\end{array} \right. = > {x_n} = \alpha .{( - 2)^n} + \beta $. Xét $\left\{ \begin{array}{l}\n{x_1} = - 2\alpha + \beta \\\n{x_2} = 4\alpha + \beta = - \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l}\n\alpha = - \dfrac{1}{4}\\\n\beta = \dfrac{1}{2}\n\end{array} \right.$
Do đó : ${x_n} = - \dfrac{1}{4}.{( - 2)^n} + \dfrac{1}{2} > {5^{100}}$.
Chọn $\begin{array}{l}\nn = 2k + 1 = > - \dfrac{1}{4}{.4^k}.( - 2) + \dfrac{1}{2} > {5^{100}} < = > {4^k} + 1 > {2.5^{100}}\\ < = > {4^k} > {2.5^{100}} - 1 < = > k > {\log _4}({2.5^{100}} - 1)\n\end{array}$
=> Chọn $k=117=>n=235$