Giới hạn nào sau đây đúng để định nghĩa đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0 < 1$
Định nghĩa đạo hàm của hàm số
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng
Đáp án C
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x} \text { khi } \quad x>1} \\ {x^{2} \quad \text { khi } x\quad \leq 1}\end{array}\right.$. Tính $f^{\prime}(1) ?$
Sử dụng định nghĩa của đạo hàm và tính giới hạn bên trái bên phải
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{2}}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + 1) = 2}\\ { \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}} \end{array}$
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x=1$.
Đáp án: D
Tính tỷ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ của hàm số $y=2 x^{3}$ theo x và $\Delta x$
Sử dụng công thức tính số gia $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có:
$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=2(x+\Delta x)^{3}-2 x^{3}=6 x^{2} \Delta x+6 x(\Delta x)^{2}+2(\Delta x)^{3}$
$\Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=6 x^{2}+6 x \Delta x+2(\Delta x)^{2}$
Đáp án: C
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\dfrac{3-\sqrt{4-x}}{4}} & {\text { khi } x \neq 0} \\ {\dfrac{1}{4}} & {\text { khi } x=0}\end{array}\right.$. Tính $f^{\prime}(0)$.
Sử dụng định nghĩa của đạo hàm và tính giới hạn tại điểm $x=0$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \dfrac{1}{4}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{(2 - \sqrt {4 - x} )(2 + \sqrt {4 - x} )}}{{4x(2 + \sqrt {4 - x} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{4x(2 + \sqrt {4 - x} )}}$=$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4(2 + \sqrt {4 - x} )}} = \dfrac{1}{{16}}$
Đáp án: B
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $(0 ;+\infty)$ bởi $f(x)=\dfrac{1}{x}$. Đạo hàm của $f(x)$ tại $x_{0}=\sqrt{2}$ là
- Sử dụng công thức tính số gia $\displaystyle \Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$
- Sử dụng công thức tính đạo hàm $f\'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\Delta x$ là số giá của đối số tại $x_{0}$.
Ta có $\displaystyle \Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=\dfrac{1}{x_{0}+\Delta x}-\dfrac{1}{x_{0}}=-\dfrac{\Delta x}{x_{0}\left(x_{0}+\Delta x\right)}$
$\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - \dfrac{1}{{{x_0}\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}$
Vậy $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)=-\dfrac{1}{x_{0}^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(\sqrt{2})=-\dfrac{1}{2}$
Đáp án: B
Khi tính đạo hàm của hàm số $f(x)=x^{2}+5 x-3$ tại điểm $x_{0}=2$, một học sinh đã tính theo các bước sau:
Bước 1: $f(x)-f(2)=f(x)-11$
Bước 2: $\displaystyle \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{x^{2}+5 x-3-11}{x-2}=\frac{(x-2)(x+7)}{x-2}=x+7$
Bước 3: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 7) = 9 \Rightarrow {f^\prime }(2) = 9$
Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào ?
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Bài giả trên hoàn toàn đúng.
Đáp án: D
Cho hàm số $f(x)$ liên tục $x_{0}$. Đạo hàm của $f(x)$ tại $x_{0}$ là
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Định nghĩa ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}$ hay ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}$
Đáp án: C
Cho hàm số $f(x)$ là hàm số trên $\mathbb{R}$ định bởi $f(x)=x^{2} \text { và } x_{0} \in \mathbb{R}$. Chọn câu đúng
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_{0}$
Ta có $\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}-x_{0}^{2}=\Delta x\left(2 x_{0}+\Delta x\right)$
$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2{x_0} + \Delta x} \right) = 2{x_0}$
Vậy $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=2 x_{0}$
Đáp án: C
Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x+1}$. Tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}=1$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
TXĐ: $D=[-1 ;+\infty)$
${f^\prime }(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + 1 - 2}}{{(x - 1)(\sqrt {x +\displaystyle 1} + \sqrt 2 )}}$
$ \displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt 2 }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$
Đáp án: A
Gọi (P) là đồ thị của hàm số $y=2 x^{2}-x+3$. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y_{0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: (P) cắt trục tung tại điểm M(0;3).
$y^{\prime}=4 x-1$
Hệ số góc tiếp tuyến: $y^{\prime}(0)=-1$
Phương trình tiếp tuyến của đô thị (P) tại M(0;3) là $y=-1(x-0)+3=-x+3$.
Đáp án: A
Cho hàm số $y=-x^{3}+3 x-2$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành có phương trình:
+) Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành
+)Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x=x_0$ là $y-y_0=y\'_0(x-x_0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\begin{array}{l}{-x^{3}+3 x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x=-2 \Rightarrow M(-2 ; 0)} \\ {x=1 \Rightarrow N(1 ; 0)}\end{array}\right.} \\ {y^{\prime}=-3 x^{2}+3}\end{array}$
$y^{\prime}(-2)=-9 \Rightarrow$ Phương tiếp tuyễn của (C) tại M(-2;0) là
$y=-9(x+2)+0=-9 x-18$
$y^{\prime}(1)=0 \Rightarrow$Phương tiếp tuyễn của (C) tại M(1;0) là
$y=0(x-1)+0=0$
Đáp án: B
Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+7 x+2$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2 là:
+) Tìm hoành độ thỏa mãn tung độ bằng 2
+) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x=x_0$ là $y-y_0=y\'_0(x-x_0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Xét phương trình: $\dfrac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+7 x+2=2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} x^{3}-3 x^{2}+7 x=0 \Leftrightarrow x=0$
Do đó tiếp điểm $A(0 ; 2)$
Ta có: $y^{\prime}=x^{2}-6 x+7$
Hệ số góc tiếp tuyến $y^{\prime}(0)=7$
Phương trình tiếp tuyến tại $A(0 ; 2)$ là: $y=7(x-0)+2=7 x+2$
Đáp án: A
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị (C) và điểm $M\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ thuộc (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là:
Ý nghĩa của đạo hàm
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y_{0}$
Đáp án B
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=2 x^{3}+3 x^{2}$ tại điểm có tung độ bằng 5 có phương trình là:
+) Tìm điểm có hoành độ sao cho tung độ bằng 5
+) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y_{0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$\begin{array}{l}{y=5 \Leftrightarrow 2 x^{3}+3 x^{2}=5 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow(C) \cap O y=M(1 ; 5)} \\ {y^{\prime}=6 x^{2}+6 x \Rightarrow y^{\prime}(1)=12}\end{array}$
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(1 ; 5)$ là:
$y=12(x-1)+5=12 x-7$
Đáp án: A
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{2 x+1}{x-1}$ tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc $k=?$
Hệ số góc k = đạo hàm của hàm số tại $x_0$
Hệ số góc $k=f’(x_0)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có: $y^{\prime}=\dfrac{-3}{(x-1)^{2}} \Rightarrow k=y^{\prime}(2)=-3$
Đáp án B
Tiếp tuyến của đường cong $(C) : y=x \sqrt{x}$ tại điểm $M(1 ; 1)$ có phương trình là:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y_{0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y=x \sqrt{x}=x^{\dfrac{3}{2}} \Rightarrow y^{\prime}=\dfrac{3}{2} x^{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3}{2} \sqrt{x} \Rightarrow y^{\prime}(1)=\dfrac{3}{2}$
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đường cong tại $M(1 ; 1)$ là:
$y=\dfrac{3}{2}(x-1)+1=\dfrac{3}{2} x-\dfrac{1}{2}$
Đáp án: C
Phương trình tiếp tuyến của đường cong $(C) : y=x^{3}-2 x+3$ tại điểm $M(1 ; 2)$ là:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_0$ là $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+y_{0}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
$y^{\prime}=3 x^{2}-2 \Rightarrow y^{\prime}(1)=1$
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đường cong tại $M(1 ; 2)$ là:
$y=1(x-1)+2=x+1$
Đáp án: C
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + ax + b\left( {x \ge 2} \right)\\\n{x^3} - {x^2} - 8x + 10\left( {x < 2} \right)\n\end{array} \right.$. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng
Hàm số có đạo hàm tại điểm $x=x_0$ khi và chỉ
+) Hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$
+) $f\'(x_0^+)=f\'(x_0^-)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\n{x^2} + ax + b\left( {x \ge 2} \right)\\\n{x^3} - {x^2} - 8x + 10\left( {x < 2} \right)\n\end{array} \right. \Rightarrow f\'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\n2x + a\left( {x \ge 2 } \right)\\\n3{x^2} - 2x - 8\left( {x < 2} \right)\n\end{array} \right.$
Hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2\n$$ \Rightarrow f\'\left( {{2^ + }} \right) = f\'\left( {{2^ - }} \right) \Leftrightarrow 4 + a = 0 \Leftrightarrow a = - 4$
Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm $x=2$ thì hàm số liên tục tại điểm $x=2$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 4 + 2a + b = - 2 \Leftrightarrow b = 2$
Vậy $a^2+b^2=20$
Đáp án A
Tính số gia $\Delta y$ của hàm số $f(x)=x^3$ tại $x_0=1, \Delta x=1$
Sử dụng công thức tính số gia $\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có $\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 7$
Đáp án C
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số $f\'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số ta có $f\'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = 1$
Đáp án D