Cho tứ diện $ABCD$. Gọi G là trọng tâm của tam giác $BCD$. Giao tuyến của mặt phẳng $(ACD)$ và $(GAB) $là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
+) A là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Ta có: $B G \cap C D=N \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{N \in B G \subset(A B G) \Rightarrow N \in(A B G)} \\ {N \in C D \subset(A C D) \Rightarrow N \in(A C D)}\end{array}\right.$
$\Rightarrow N$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Vậy $(A B G) \cap(A C D)=A N$.
Đáp án: B
Cho tứ diện ABCD, gọi M,N lần lượt là hai điểm thuộc các đoạn thẳng AB, AC . Giao tuyến của hai mặt phẳng (DNB) và (DCM) là:
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Dễ thấy D là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
Trong mp(ABC) gọi $G=B N \cap C M \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{G \in B N \subset(B D N)} \\ {G \in C M \subset(D C M)}\end{array}\right.$
$\begin{array}{l}{\Rightarrow G \in(D B N) \cap(D C M)} \\ {\Rightarrow D G=(D B N) \cap(D C M)}\end{array}$.
Do M, N là các điểm bất kì thuộc hai đường thẳng AB, AC nên ta chưa thể kết luận được vị trí của G.
Đáp án: B
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là một tứ giác với AB cắt CD. Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NB, O là giao điểm của AC và BD. Giả sử đường thẳng d là giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$. Nhận xét nào sau đây là sai:
- Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng
- Xét từng phương án
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi $I = AB \cap CD$. Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}\nI \in AB,AB \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right)\\\nI \in CD,CD \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {SCD} \right)\n\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$
Lại có $S \in (SAB) \cap (SCD)$
Do đó $SI= (SAB) \cap (SCD)$
Suy ra d trùng với SI
Vậy d cắt AB, CD, SO
Suy ra phương án A, C, D đúng
Đáp án B
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Gọi I là giao điểm của AM với mặt phẳng $(SBD)$. Khi đó tỉ số $\dfrac{MA}{IA}$ bằng bao nhiêu:
- Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng
- Sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Gọi O là giao điểm của AC với BD.
Ta có $SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$; $I = AM \cap SO$
Suy ra $I= AM \cap (SBD)$.
Xét tam giác SAC có hai đường trung tuyến SO và MA cắt nhau tại điểm I.
Suy ra I là trọng tâm của tam giác SAC
Vậy $\dfrac{MA}{IA}=\dfrac32$
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy ABCD là hình thang $(AD//BC, AD > BC)$. E là điểm thuộc cạnh SA sao cho SE=2EA. Mặt phẳng $(EBC)$ cắt cạnh SD tại F. Khi đó tỷ số $\dfrac {SF}{SD}$ bằng
- Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng $(EBC);(SAD)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có :
$\left\{ \begin{array}{l} \left( {EBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = d,E \in d\\ BC \subset \left( {EBD} \right),AD \subset \left( {SAD} \right)\\ BC//AD \end{array} \right. \Rightarrow d//BC//AD$
$\left( {SAD} \right):d \cap SD = F \Rightarrow EF//AD//BC$
Suy ra $\dfrac{{SF}}{{SD}} = \dfrac{{SE}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}$
Đáp án A.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AD và SO. Gọi H là giao điểm của SC với $(MNP)$. Tính $\dfrac {SH}{SC}$
- Sử dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác
- Áp dụng định lý ta-lét
- gọi I là giao điểm của MN và AO.sau đó tính $\dfrac{AI}{AC}$ rồi tính kết quả của bài
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong mặt phẳng đáy, gọi I là giao điểm của MN và AO.
Dễ thấy H là giao điểm của PO và SC
Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm của AO
Suy ra $\dfrac{AI}{AC}= \dfrac 14$ và PI là đường trung bình của tam giác OSA.
Do đó $IH//SA$
Áp dụng đinh lý ta-lét ta có $\dfrac{SH}{SD}= \dfrac{AI}{AC}= \dfrac 14$
Đáp án B
Cho hình chóp $S.ABCD$. Giả sử AD và BCD cắt nhau tại H. Gọi O là giao điểm của AC và BD, E và F lần lượt là trung điểm của SA và SB. Điểm M di động trên cạnh SC. Gọi N là giao điểm của SD và mặt phẳng $(EFM)$. Tìm tập hợp giao điểm J của EN và FM
- Tìm giao tuyến của các mặt phẳng $(SAC);(SBD)$ và $(SBC);(SAD)$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Ta có O là giao điểm của AC và BD suy ra $SO=(SAC) \cap (SBD)$
Gọi I là giao điểm của EM và SO. Khi đó FI cắt SD tại N
Do FM thuộc mặt phẳng $(SBC)$ cố định và EN thuộc mặt phẳng $(SAD)$ cố định nên giao điểm J của FM và EN phụ thuộc vào giao tuyến của mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$
Gọi H là giao điểm của AD và BC suy ra $SH=(SBC) \cap (SAD)$. Do đó I thuộc đường thẳng SH.
Giới hạn: Nếu M trùng S thì J trùng S; Nếu M trùng C thì J trùng $J_1$ với $J_1=CF \cap SH$
Vậy tập hợp J là đoạn thẳng $SJ_1$
Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ thuộc miền trong của tam giác $ACD$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là hai điểm trên cạnh $BC$ và $BD$ sao cho $IJ$ không song song với $CD$. Gọi $H,K$ lần lượt là giao điểm của $IJ$ với $CD$, của $MH$ và $AC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(IJM)$ là:
- Tìm giao điểm dễ thấy của hai mặt phẳng
- Tìm giao điểm thứ hai bằng cách tìm hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng mà cắt nhau.
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trong mặt phẳng $(BCD),IJ$ cắt $CD$ tại $H => H \in (ACD)$
Điểm $H \in IJ$ suy ra 4 điểm $M,I,J,H$ đồng phẳng
Nên trong mặt phẳng $(IJM),MH$ cắt $IJ$ tại $H$ mà $MH \subset (IJM)$
Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}\nM \in (ACD)\\\nH \in (ACD)\n\end{array} \right.$ => $MH \subset (ACD)$
Vậy: $(ACD) \subset (IJM) = MH$
Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $a$. Trong $(P)$ lấy hai điểm $A,B$ nhưng không thuộc $a$ và $S$d là một điểm không thuộc $(P)$. Các đường thẳng $SA,SB$ cắt $(Q)$ tương ứng tại các điểm $C,D$ . Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $a$. Khẳng định nào sau đây đúng?
Kéo dài $AB, CD$ và tìm giao giữa chúng với $a$
Hướng dẫn giải (chi tiết)
Trước tiên, ta có: $S \ne AB$ vì ngược lại thì $S \in AB \subset (P) => S \in (P)$
( mâu thuẫn giả thiết) do đó $S,A,B$ không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng $(SAB)$.
Do $C=SA \cap (Q)$ => $\left\{ \begin{array}{l}\nC \in SA \subset (SAB)\\\nC \in (Q)\n\end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l}\nC \in (SAB)\\\nC \in (Q)\n\end{array} \right.$ (1)
Tương tự: $D = SB \cap (Q) = > \left\{ \begin{array}{l}\nD \in SB \subset (SAB)\\\nD \in (Q)\n\end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l}\nD \in (SAB)\\\nD \in (Q)\n\end{array} \right.$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $CD = (SAB) \cap (Q)$
Mà $E = AB \cap a = > \left\{ \begin{array}{l}\nE \in AB \subset (SAB)\\\nE \in a \subset (Q)\n\end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l}\nE \in (SAB)\\\nE \in (Q)\n\end{array} \right.$
Vậy: $AB,CD$ và $a$ đồng qui tại $E$