Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 
Vì \[0 < x < \frac{\pi }{2}\] nên \[\cos \frac{x}{n} > 0\], \[\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]
\[\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} } } \]\[ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}} } \]\[ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{4}}  = \cos \frac{x}{8}\]
Vậy \[n = 8\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D. 
${\sin ^4}x = {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)$
\[ = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x = \frac{a}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{b}{8}\cos 4x\]
Vậy \[a + b = 3 + 1 = 4\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. 
\[{\sin ^8}x + {\cos ^8}x\]\[ = {\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)^2} - 2{\sin ^4}x.{\cos ^4}x\]\[ = {\left( {1 - 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right)^2} - \frac{1}{8}{\sin ^4}2x\]
\[ = {\left( {1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)^2} - \frac{1}{8}{\sin ^4}2x\]\[ = 1 - {\sin ^2}2x + \frac{1}{8}{\sin ^4}2x\]\[ = 1 - \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{1}{8}{\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)^2}\]
\[ = 1 - \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{1}{{32}}\left( {1 - 2\cos 4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right)\]\[ = \frac{{35}}{{64}} + \frac{7}{{16}}\cos 4x + \frac{1}{{64}}\cos 8x\]
\[ \Rightarrow a = 35\], \[b = 7\], \[c = 1\]\[ \Rightarrow a - 5b + c = 1\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 
Ta có: \[0 < \alpha  < 90^\circ \]\[ \Leftrightarrow 0 < \frac{\alpha }{2} < 45^\circ \]\[ \Rightarrow 0 < \sin \frac{\alpha }{2} < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\frac{{x - 1}}{{2x}}}  < \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]\[ \Leftrightarrow x > 0\]
\[{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\]\[ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} \], vì \[0 < \frac{\alpha }{2} < 45^\circ \]
\[ \Leftrightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x + 1}}{{2x}}} \]\[ \Rightarrow \tan \frac{\alpha }{2} = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \]
\[tan\alpha  = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \]
\[ \Rightarrow \cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^2} - 1}}\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. 
Ta có: $P = \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi  - 2\alpha } \right) + \cot \left( {\pi  - \alpha } \right) = \cos \left( { - \alpha } \right) - \cos \left( { - 2\alpha } \right) + \cot \left( { - \alpha } \right) $

$ = \cos \alpha  - \cos 2\alpha  - \cot \alpha  = \cos \alpha  - \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right) - \cot \alpha .$
Mặt khác $ = \cos \alpha  - \cos 2\alpha  - \cot \alpha  = \cos \alpha  - \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right) - \cot \alpha .{\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}$ 

mà $- \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0$  nên $\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. 
Suy ra $\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} =  - \sqrt 3$.
Do đó $P = \cos \alpha  - \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right) - \cot \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( {2.\frac{3}{4} - 1} \right) + \sqrt 3  = \frac{{3\sqrt 3  - 1}}{2}$ nên A đúng.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. 
$G = {\cos ^2}\frac{\pi }{6} + {\cos ^2}\frac{{2\pi }}{6} + ... + {\cos ^2}\frac{{5\pi }}{6} + {\cos ^2}\pi = \left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{6} + {{\cos }^2}\frac{{2\pi }}{6}} \right) + \left( {{{\cos }^2}\frac{{4\pi }}{6} + {{\cos }^2}\frac{{5\pi }}{6}} \right) + \left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{2} + {{\cos }^2}\pi } \right).$

$= \left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{6} + {{\cos }^2}\frac{\pi }{3}} \right) + \left( {{{\cos }^2}\frac{{2\pi }}{6} + {{\cos }^2}\frac{\pi }{6}} \right) + 1.\n= 2\left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{6} + {{\cos }^2}\frac{\pi }{3}} \right) + 1 = 2\left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{6} + {{\sin }^2}\frac{\pi }{6}} \right) + 1 = 3.$

 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C.
ĐK: $\sin 2x \ne {\text{0}}$

$\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{\text{co}}{{\text{s}}^2}x}} + \frac{1}{{{{\tan }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cot }^2}x}} = 6$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{\text{co}}{{\text{s}}^2}x}} + {\cot ^2}x + {\tan ^2}x = 8$

$ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{2}{{{\text{co}}{{\text{s}}^2}x}} = 8\Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = 8 \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}} = 8 \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 4x = 0.$
Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy có 8 điểm cuối M thỏa ycbt.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A.
Vì L là điểm chính giữa  nên 
Vì N là điểm chính giữa  nên 
Ta có cung $AN = \frac{{ - 3\pi }}{4}$ và cung $cung AN = + \pi $
Vậy L hoặc N là mút cuối của $\alpha  =  - \frac{{3\pi }}{4} + k\pi .$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Số đo cung $AM = {45^0} = \frac{\pi }{4}$
Ta có cung $MN = NP = PQ = {90^0} = \frac{\pi }{2}$
Để mút cuối cùng trùng với một trong bốn điểm M,N,P,Q thì
chu kì của cung $\alpha$ là $\frac{\pi }{2}$
Vậy số đo cung $\alpha  = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}$.