Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. 
Ta có $\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha$ và $\tan \alpha .\cot \alpha = 1$
Suy ra $M = \tan 1^\circ .\tan 2^\circ .\tan 3^\circ ...\tan 89^\circ\n \Leftrightarrow M = \tan 1^\circ .\tan 2^\circ .\tan 3^\circ ...\tan \left( {90^\circ  - 2^\circ } \right).\tan \left( {90^\circ  - 1^\circ } \right)$

$ \Leftrightarrow M = \left( {\tan 1^\circ .\cot 1^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\cot 2^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ .\cot 44^\circ } \right).\tan 45^\circ $

$\Leftrightarrow M = 1.1.1...1 \Leftrightarrow M = 1.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
Ta có \[\sin x + \cos x = m \Rightarrow {m^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow {m^2} = 1 + 2\sin x.\cos x\]\[ \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A. 
Ta có $\cos \left( {90^\circ  + \alpha } \right) =  - \sin \alpha  \Rightarrow {\cos ^2}\left( {90^\circ  + \alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha. $
Suy ra $A = {\cos ^2}10^\circ  + {\cos ^2}20^\circ  + ... + {\cos ^2}180^\circ \ = \left( {{{\cos }^2}10^\circ  + {{\sin }^2}10^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}90^\circ  + {{\sin }^2}90^\circ } \right)$
$\Leftrightarrow A = 1 + ... + 1 = 9.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 
Ta có $\frac{{\sin 7\alpha  - \sin 5\alpha }}{{\sin 7\alpha  + \sin 5\alpha }} = \frac{{2\cos 6\alpha .\sin \alpha }}{{2\sin 6\alpha .\cos \alpha }} = \cot 6\alpha .\tan \alpha .$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
Ta có $Q = \frac{1}{{\sin 18^\circ }} - \frac{1}{{\sin 54^\circ }} = \frac{{\sin 54^\circ  - \sin 18^\circ }}{{\sin 18^\circ \sin 54^\circ }}$

\[ = \frac{{2\cos 36^\circ \sin 18^\circ }}{{\sin 18^\circ \sin 54^\circ }}\]\[ = \frac{{2\cos \left( {90^\circ  - 54^\circ } \right)}}{{\sin 54^\circ }}\]\[ = \frac{{2\sin 54^\circ }}{{\sin 54^\circ }} = 2\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
+ ${\sin ^4}a - {\cos ^4}a = \left( {{{\sin }^2}a - {{\cos }^2}a} \right).\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) = \left( {{{\sin }^2}a - {{\cos }^2}a} \right).1 =  - \cos 2a$ nên A sai.
+ $2\left( {{{\sin }^4}a + {{\cos }^4}a} \right) = 2\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}a.{{\cos }^2}a} \right] = 2\left( {1 - 2.\frac{1}{4}{{\sin }^2}2a} \right) = 2 - {\sin ^2}2a$ nên B đúng. 
+ ${\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} = 1 - 2\sin a.\cos a = 1 - \sin 2a$ nên C sai.
+ ${\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)^3} = 1 và 1 + 2{\sin ^4}a.{\cos ^4}a = 1 + 2.{\left( {\frac{1}{2}\sin 2a} \right)^4} = 1 + \frac{1}{8}{\sin ^4}2a$ nên D sai.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C.
Cung $\alpha $ có mút đầu là A và mút cuối là B nên $\alpha  = \frac{\pi }{2}$    $\left( 1 \right)$
OMB' và ONB' là các tam giác đều nên $\widehat {MOB'} = \widehat {NOB'} = \frac{\pi }{3}$

Cung $\alpha $ có mút đầu là $A$ và mút cuối là $M$ hoặc $N$ nên 
, $\left( 2 \right)$
Chu kì của $\alpha $ là $\frac{{2\pi }}{3}$
Từ (1) và (2) ta có $\alpha  = \frac{\pi }{2} + k\frac{{2\pi }}{3}.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C
Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi  \Rightarrow \sin a > 0, \cos a < 0.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A
Vì \[2\pi  < a < \frac{{5\pi }}{2}\]\[ \Rightarrow \tan a > 0\], \[\cot a > 0\].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A
$A = \left( {1-{{\sin }^2}x} \right).{\cot ^2}x + \left( {1-{{\cot }^2}x} \right) = {\cot ^2}x - {\cos ^2}x + 1 - {\cot ^2}x = {\sin ^2}x.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C.
Theo công thức.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn D.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A.

$A = \frac{{\cos {{30}^0} + \sin {{60}^0}}}{{\sin {{30}^0} - \cos {{30}^0}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = - 3 - \sqrt 3.$

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn A .
\[A = \sin \alpha  + \cos \alpha  + \sin \alpha  - \cos \alpha \]\[ \Leftrightarrow A = 2\sin \alpha \].

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
Ta có : ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\text{ = 1}} - {\text{si}}{{\text{n}}^2}\alpha  = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}$

 $\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\n  \cos \alpha  = \frac{4}{5} \hfill \\\n  \cos \alpha  =  - \frac{4}{5} \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$. 
Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \Rightarrow {\text{cos}}\alpha  =  - \frac{4}{5}$.

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B. 
${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\text{ = 1}} - {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}\n  {\text{cos}}\alpha  = \frac{4}{5} \hfill \\\n  {\text{cos}}\alpha  =  - \frac{4}{5} \hfill \\ \n\end{gathered}  \right.$ 
Vì ${\text{9}}{{\text{0}}^{\text{0}}} < \alpha  < {180^0} \Rightarrow {\text{cos}}\alpha  =  - \frac{4}{5}$. Vậy $\tan \alpha  =  - \frac{3}{4} và \cot \alpha  =  - \frac{4}{3}. \nE = \frac{{\cot \alpha  - 2\tan \alpha }}{{\tan \alpha  + 3\cot \alpha }} = \frac{{ - \frac{4}{3} - 2.\left( { - \frac{3}{4}} \right)}}{{ - \frac{3}{4} + 3.\left( { - \frac{4}{3}} \right)}} =  - \frac{2}{{57}}. $

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn C. 
$A = \frac{{3\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }} = \frac{{3\tan \alpha  + 1}}{{\tan \alpha  - 1}} = 7$. 

Hướng dẫn giải (chi tiết)

Chọn B
Ta có $A = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x$
$= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1$.